МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
1.2 О полугруппах
1.3 Компоненты алгебраической группы
1.4 О -группах
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
2.2 Ранг матрицы
2.3 Критерий совместности
3 Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
3.2 Произведение матриц
3.3 Квадратные матрицы
Заключение
Список использованных источников
Введение
Множество 
матриц 
-ой степени над 
будем рассматривать как аффинное пространство 
с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа 
. В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. 
- совокупность всех невырожденных матриц из 
. Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
где 
- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.
Диагональная группа 
, группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа 
(для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа 
(треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.
Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе 
, нормализатор замкнутого множества из в .
Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц 
из --- алгебраическая группа. Она обозначается 
и называется алгебраической группой, порожденной множеством .
Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из 
в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму 
на 
.
Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), 
--- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу 
и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть
т. е. 
--- структурные константы алгебры . Пусть далее
где 
. Тогда задается в матричных координатах 
очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.
В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.
1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу 
конечного индекса, то сама алгебраическая.
Доказательство. Пусть 
- аннулятор группы в 
, 
- его корень в . Надо показать, что 
. Пусть, напротив, 
. Пусть 
- смежные классы по . Для каждого 
выберем многочлен
и положим
Очевидно, 
, 
. Получили противоречие.
Пусть --- алгебраическая группа, 
, 
--- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества
где 
, замкнуты. Если тоже замкнуто и 
--- общее поле квазиопределения для , , , то 
, 
, 
квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно 
с условием 
(соответственно, 
, 
), то можно считать, что 
(см. 7.1.5).
Если на множестве 
выполняется теоретико-групповое тождество 
, то оно выполняется и на его замыкании 
. В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.
1.2 О полугруппах
Определим действие элементов из на рациональные функции из 
, 
, полагая
Для каждого 
отображение 
(сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение 
есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения 
.
Имеет место следующее предложение.
1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в , то совпадает с
Здесь вместо 
можно написать 
.
Доказательство. Во-первых, 
и, значит, 
. Действительно, если 
, и 
, то 
, т. е. . Подпространство 
многочленов из степени 
отображается оператором 
на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех .
Во-вторых, 
, т. е. 
для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, 
. Найдём 
с условием 
. Тогда 
.
В-третьих, 
, т. е. 
для всех , 
. Действительно, 
. Предложение доказано.
Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.
Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. 
--- многообразие, --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если --- подгруппа, то она совпадает с .
Доказательство. Множества 
и 
тоже густые и плотные, поэтому пересечение 
непусто (см. п. 8.2).
Если --- полугруппа из , то 
.
1.3 Компоненты алгебраической группы
Пусть --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы . наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.
1.3.1 Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента 
, содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы по (в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор 
компоненты связан с аннулятором всей группы следующим образом:
для некоторого 
, зависящего от 
, где --- аннулятор единицы в , 
--- некоторый многочлен из 
.
Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент 
группы . Пусть , 
содержат единицу , 
, 
--- их независимые общие точки над и , 
. Имеем специализации
над , откуда 
, 
, 
. Этим доказана единственность компоненты .
б) Очевидно, что отображения
являются гомеоморфизмами пространства . Так как инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы .
в) Пусть 
. Тогда 
при фиксированном 
--- снова все компоненты группы . В частности, 
, 
. Этим доказано, что --- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .
г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, 
. Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .
д) Для каждого 
возьмем многочлен
Пусть 
--- точка из , в которой 
. Рассмотрим многочлен
Он искомый. В самом деле, очевидно, 
. Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение
Пусть 
, . Имеем:
Если 
, то 
, если же 
, , то 
. В любом случае 
. Следовательно, 
. Теорема доказана.
Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа алгебраической группы тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .
<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что
Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы всегда лежит в центре 
.
В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел 
, то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать 
-порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).
1.4. О -группах
Пусть - поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из 
, выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в . Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с 
, некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области 
. В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.
В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в ) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для -множеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в 
уравнениями с коэффициентами из ).
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
В арифметическом линейном пространстве 
столбцов высоты 
рассмотрим векторов
и их линейную оболочку 
. Пусть дан еще один вектор 
. Спрашивается, принадлежит ли 
подпространству 
, а если принадлежит, то каким образом его координаты 
выражаются через координаты векторов 
. В случае 
вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора в базисе 
. Мы берем линейную комбинацию векторов с произвольными коэффициентами 
и составляем уравнение 
. Наглядный вид этого уравнения
??
есть лишь иная запись системы из линейных уравнений с неизвестными:
??
Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму 
значком 
. При этом 
--- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила
достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,
в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины 
в прямоугольную матрицу размера 
: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.
Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
2.2 Ранг матрицы
Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы размера введенное выше пространство , которое мы будем обозначать теперь символом 
или просто 
(в --- вертикальный). Его размерность 
назовем рангом по столбцам матрицы . Аналогично вводится ранг по строкам матрицы : 
, где 
--- подпространство в 
, натянутое на векторы-строки 
, 
(г --- горизонтальный). Другими словами,
- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства 
величины 
и 
определены правильно.
Будем говорить, что матрица 
получена из при помощи элементарного преобразования типа (I), если 
для какой-то пары индексов 
и 
для 
. Если же для всех 
и 
, 
, то говорим, что к применено элементарное преобразование типа (II).
Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.
2.2.1 Лемма. Если матрица получена из прямоугольной матрицы путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:
(i) 
(ii) 
Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда получена из путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).
(i) Так как, очевидно, 
, то э. п. типа (I) не меняет 
. Далее, 
и, следовательно, 
, так что не меняется и при э. п. типа (II).
(ii) Пусть 
--- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что
Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство 
. Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, 
. Тогда, заменяя в (1) на 
и все 
на 0, мы видим, что 
--- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы 
, получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу . Так как система кратко записывается в виде 
, то мы приходим к соотношению 
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:
2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство 
(это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом 
).
Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками 
, матрицу можно привести к ступенчатому виду:
??
с 
. Согласно лемме 
так что нам достаточно доказать равенство 
.
Столбцы матриц и 
с номерами 
, отвечающими главным неизвестным 
линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения
связывающего векторы-столбцы 
, 
, 
матрицы (3), получим последовательно: 
, 
, 
, 
, 
, а так как , то 
. Значит, 
и 
. Но пространство 
, порожденное столбцами матрицы , отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из удалением последних 
нулевых строк. Поэтому 
. Сопоставление двух неравенств показывает, что 
(неравенство 
вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).
С другой стороны, все ненулевые строки матрицы линейно независимы: любое гипотетическое соотношение
как и в случае со столбцами, дает последовательно , 
, , 
. Откуда 
. Стало быть, 
2.3 Критерий совместности
Ступенчатый вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается
Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где --- матрица системы.
Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы . Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств. 
В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.
2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы
Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов матрицы . Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то 
и 
, откуда 
(см. формулировку теоремы 1).
Обратно, если ранги матриц и 
совпадают и 
--- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы , то расширенная система 
будет линейно зависимой, а это означает, что --- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть, система (2) совместна.
3. Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, 
--- матрица размера . Определим отображение 
, полагая для любого 
где --- столбцы матрицы . Так как они имеют высоту , то в правой части (1) стоит вектор-столбец 
. Более подробно (1) переписывается в виде
Если 
,
то 
.
Аналогично 
.
Обратно, предположим, что 
--- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:
(i) 
для всех 
;
(ii) 
для всех 
.
Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств и 
соответственно символами 
и 
, мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору
:
Соотношение (2) показывает, что отображение 
полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив
мы обнаруживаем, что задание равносильно заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить 
.
3.1.1 . Определение. Отображение 
, обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в . Часто, в особенности при 
, говорят о линейном преобразовании. Матрица называется матрицей линейного отображения 
.
Пусть , 
--- два линейных отображения 
с матрицами и 
. Тогда равенство 
равносильно совпадению значений 
для всех 
. В частности, 
, откуда 
и 
.
Резюмируем наши результаты:
3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями в и матрицами размера существует взаимно однозначное соответствие.
Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях 
произвольных множеств и 
. Условия (i), (ii) предполагают, что и --- подпространства арифметических линейных пространств , .
Обратим внимание на специальный случай 
, когда линейное отображение 
, обычно называемое линейной функцией от переменных, задается скалярами 
:
Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных и можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть 
--- два линейных отображения. Отображение
определяется своими значениями:
В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.
Так как
то - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице 
. Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером 
:
Матрицу 
с элементами 
естественно назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и 
:
Итак, 
.
Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.
3.2 Произведение матриц
Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.
Пусть 
, 
--- линейные отображения, 
--- их композиция.
Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что 
--- линейное отображение, но это довольно ясно:
(i) 
;
(ii) 
;
поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица .
Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле (
):
С другой стороны,
Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что 
--- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям
Будем говорить, что матрица получается в результате умножения матрицы на матрицу . Принято писать 
. Таким образом, произведением прямоугольной матрицы 
размера 
и прямоугольной матрицы 
размера 
называется прямоугольная матрица 
размера с элементами 
, задающимися соотношением (7). Нами доказана
3.2.1 Теорема. Произведение 
двух линейных отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,
Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).
Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение 
двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец 
", согласно которому
Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, 
, как показывает хотя бы следующий пример:
Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.
Следствие. Умножение матриц ассоциативно:
Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).
3.3 Квадратные матрицы
Пусть 
(или 
) --- множество всех квадратных матриц () порядка с вещественными коэффициентами ,
Единичному преобразованию 
, переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица
Можно записать 
, где
- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить 
на 
, показывает, что справедливы соотношения
Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений 
для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с 
.
Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под 
, где , матрицу 
.
Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:
- известная нам скалярная матрица.
В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности 
с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.
3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.
Доказательство. Введем матрицу 
, в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если 
--- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,
Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы
с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям 
при 
и 
. Меняя и , получаем требуемое.
Отметим еще соотношения 
, которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.
Для данной матрицы 
можно попробовать найти такую матрицу 
, чтобы выполнялось условие
Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие
означающее, что 
--- преобразование, обратное к . 
существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как 
, то биективность означает, в частности, что
Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы
и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим
Так как 
, то
откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что 
, 
--- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем 
, где --- некоторая матрица. Переписав условие (
) в виде 
(см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).
Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование 
биективно. При этом преобразование 
линейно. Биективность 
равносильна условию, что любой вектор-столбец 
записывается единственным образом в виде (1)
где --- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого 
, а инъективность дает единственность : если 
, то 
, откуда, согласно (12), 
). Значит, совпадает с пространством столбцов 
матрицы , так что 
.
Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом 
. В таком случае (см. ())
Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).
Резюмируем полученные нами результаты.
3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).
Следствие. Невырожденность влечет невырожденность 
и 
. Если 
--- невырожденные 
--- матрицы, то произведение 
также невырождено и 
.
Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия 
.
Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:
где , , --- произвольные матрицы из .
Действительно, полагая 
, мы получим для любых 
равенство (используется дистрибутивность в 
):
левая часть которого дает элемент матрицы 
, а правая --- элементы 
и 
матриц 
и соответственно 
. Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности
для линейных отображений , 
, 
из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (
), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.
Заключение
Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .
Список использованных источников
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. - 120с.
Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152
Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.
