Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-32

____________ Лякишева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

_{Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп}

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

--- пустое множество;

--- множество всех , для которых выполняется условие ;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

--- множество всех целых положительных чисел.

--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении , .

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- порядок элемента группы ;

--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- коммутант группы ;

--- --холловская подгруппа группы ;

--- силовская --подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

--- группа всех автоморфизмов группы ;

--- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу называют --нильпотентной, если .

Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп

Пусть --- произвольная -замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп, --- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Предположим, что не -дисперсивна, где таково, что равносильно . Так как --- формация -дисперсивных групп, то, по лемме , лемма верна. Пусть теперь -дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме . Лемма доказана.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация сверхразрешимых групп, --- несверхразрешимая -группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда --- группа одного из следующих типов:

1) --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой , ;

2) , где , содержит такую абелеву подгруппу , нормальную в , что --- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа сверхразрешима, где --- любая максимальная подгруппа из ;

3) , , --- минимальная нормальная подгруппа группы , подгруппа , где --- произвольная максимальная подгруппа из , является либо сверхразрешимой, либо минимальной не -группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

4) , , где --- минимальная нормальная подгруппа группы , , подгруппа , является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

5) , , --- минимальная нормальная подгруппа из , --- абелева группа, и --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где --- произвольная максимальная подгруппа из ;

6) , , где , --- минимальные нормальные подгруппы группы , , --- минимальная несверхразрешимая группа;

7) , ), где --- минимальная нормальная подгруппа группы , сверхразрешима, подгруппа , где --- произвольная максимальная подгруппа группы , либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;

8) , и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , , со следующими свойствами: , --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы и принадлежат , где --- максимальная подгруппа из , --- максимальная подгруппа из ;

9) , и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , , со следующими свойствами: сверхразрешима, --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо и является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо и является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.

Доказательство. По лемме, группа разрешима. Если группа не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа дисперсивна по Оре.

1. Рассмотрим вначале случай , где и --- различные простые числа. По лемме в группе любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.

1.1. Пусть в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой и --- абелева группа. Так как , то либо , либо . Если предположить, что , то и . Поэтому немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме , . Противоречие. Значит, , и . Из того, что группа дисперсивна по Оре, и , следует, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что и, значит, сверхразрешима. Следовательно, -субнормальна в и в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа сверхразрешима. Итак, в данном случае --- группа типа 2) из данной теоремы.

1.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть вначале максимальна в . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если -субнормальна в , то, по теореме , . Предположим, что не -субнормальна в . Тогда содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Так как , то . Если , то, согласно лемме, --- минимальная не -группа. Пусть . Тогда и . Применяя теорему Машке, получаем, что и . Если , то . Противоречие. По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Если --- произвольная максимальная подгруппа из , то, ввиду леммы, -субнормальна в . Применяя теорему, получаем, что подгруппа . Значит, --- группа типа 2) из данной теоремы, а --- группа типа 3) из данной теоремы.

Пусть теперь немаксимальна в . Тогда, по лемме, содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда группа представима в виде , где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме , принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке , . Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Если же , то группа имеет вид и . Так как максимальна в , то . Рассмотрим подгруппу . Если , то -субнормальна в . Учитывая, что дисперсивна по Оре, по теореме , получаем, что . Противоречие. Каждая собственная подгруппа из будет немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Если максимальна в , то --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что не максимальна в , то она содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Получили, что и . Это значит, что . Противоречие с тем, что --- максимальная подгруппа в .

2. Рассмотрим случай , где , и --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

2.1. Предположим, что в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что . Так как , то и , . Применяя лемму и учитывая, что , получаем . Из того, что разрешима, следует, что либо , либо нормальна в . По теореме, в существует подгруппа . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Предположим, что . Тогда будет немаксимальна в и, по условию, найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому , а это значит, что -субнормальна в . Тогда, по теореме , . Это значит, что . Ясно также, что и максимальна в . Тогда --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой --- абелева группа. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Предположим, что . Так как либо , либо , то пусть для определенности . Из того, что , следует, что и . Имеем и --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому . Значит, подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Пусть --- произвольная подгруппа из , отличная от . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому . Отсюда следует, что -субнормальна в . Предположим, что . Согласно лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 5). Пусть . Тогда , где --- -группа. Если , то, ввиду леммы , --- минимальная несверхразрешимая группа. Если , то, применяя теорему , получаем, что --- циклическая группа. Противоречие. Предположим, что . Тогда . Подгруппа самонормализуема в , так как в и , подгруппа является максимальной. Значит, --- группа Фробениуса с ядром и дополнительным множителем . По теореме , . Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда . По теореме Машке , и . Отсюда получаем, что и . Противоречие. Значит, . Если , то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак, --- группа типа 5) из данной теоремы.

Пусть теперь --- минимальная несверхразрешимая группа и . Так как , то , и . Предположим, что . По теореме , в существует подгруппа , содержащая . Так как , то и содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Предположим, что . Применяя лемму, получаем, что , а значит, . Подгруппа немаксимальна в , так как , и . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Отсюда следует, что -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Итак, --- минимальная несверхразрешимая группа. Так как , то . Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в нет -абнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак, , и . Ясно, что и . Ввиду того, что группа дисперсивна по Оре, получаем, что --- наибольший простой делитель и , а значит, . Из следует, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует такая -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому сверхразрешима. Отсюда следует, что -субнормальна в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа сверхразрешима. Следовательно, --- группа типа 2) из данной теоремы.

2.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме --- -группа. По лемме либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть максимальна в . Так как , то . Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае группа типа 7) из данной теоремы.

Предположим теперь, что не максимальна в . Тогда , где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке, . Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь . В этом случае . Так как , то . Согласно лемме , подгруппы и будут -субнормальны в . Очевидно, что , . Поэтому и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда , где --- -группа и . Так как , то --- элементарная абелева группа. Значит, и --- минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно, --- группа типа 6) из данной теоремы.

3. Рассмотрим случай , где , , и --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

3.1. Предположим, в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как , то и , . Отсюда получаем, что и . Применяя леммы и получаем, что . Рассмотрим подгруппу . Такая группа существует согласно теореме . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то и, согласно лемме, . Подгруппа немаксимальна в . Поэтому, по лемме , -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Следовательно, и, согласно лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа циклическая согласно теореме. Поэтому --- абелева группа. Так как , то . Аналогично получаем, что коммутантом группы . является . Пусть . Легко видеть, что сверхразрешима. Ввиду теоремы, . Так как и , то и . Отсюда получаем, что . Значит, и . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует -субнормальная максимальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому принадлежит и -субнормальна в . Применяя теорему, получаем . Так как и --- циклические группы, согласно теоремы, то в два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы и , где --- максимальная подгруппа из , --- максимальная подгруппа из . Значит, подгруппы вида и принадлежат , и --- группа типа 8) из данной теоремы.

3.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Предположим, что --- максимальная подгруппа в . В существует максимальная подгруппа , не -субнормальная в и . Рассмотрим подгруппу . Так как и , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что . Тогда , ввиду леммы. Подгруппа , поэтому, согласно теоремы Машке, и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа будет минимальной нормальной подгруппой группы , в противном случае в существует минимальная нормальная подгруппа , для которой и . Применяя лемму, получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в существует подгруппа такая, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Значит, , и --- циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы . По доказанному выше, может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если --- группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа из -субнормальна в , --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.

Так как подгруппа максимальна в и , то и . Из того, что все силовские подгруппы из циклические, следует, что в всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как и --- циклическая группа, то максимальная подгруппа из нормальна в . Подгруппа максимальна в . Рассмотрим теперь подгруппу . Если , то . Если предположить, что , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда максимальна в , причем --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Пусть , где --- максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если , то и, по доказанному, -субнормальна в . По теореме , . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Подгруппа , и циклические, поэтому в три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в три класса -нормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы: , и . Группа в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.

Пусть теперь не максимальна в . Тогда , где . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда . Ввиду дисперсивности группы . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа. Если --- -число, то сверхразрешима. Предположим, что --- степень . Тогда . содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Значит, . Подгруппа максимальна в , так как в противном случае сверхразрешима. По лемме --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора , получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие.

4. Рассмотрим случай . Согласно лемме в группе -абнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа , то и, ввиду разрешимости группы , . Противоречие. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если немаксимальна в , то, по доказанному выше, . Остается случай, когда --- максимальная подгруппа в . В этом случае и в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Рассмотрим подгруппу . . Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа из -субнормальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то, по лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит, и максимальна в . По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Противоречие. Теорема доказана.

В случае, когда --- формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- формация всех сверхразрешимых групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда является холловой -абнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число , и холлова -подгруппа группы сверхразрешима, утверждается, что холлова -подгруппа из не максимальна в , что в общем случае не верно.

Заключение

В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случаях, когда --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы и такие, что , не максимальна в , и из всегда следует, что не -субнормальна в .

Литература

1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.

4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.

6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.

7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.

8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.

9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.

10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.

11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.

12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.

13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.