Министерство образования и науки Украины

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Факультет ПММ

Кафедра ПМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий.

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнил: Проверил:

ст. группы ******** проф. **********

*****************

Харьков 2007

РЕФЕРАТ

В данном курсовом проекте представлено описание понятий корреляционного момента и его свойств, коэффициента корреляции, случайных событий и их основных числовых характеристик, применения на практике корреляции, а также приведено решение практических задач.

Пояснительная записка состоит из вступления, основной части, выводов, списка литературы.

Записка 28с.

Ключевые слова и выражения:

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ, КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАВИСИМОСТЬ.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..….4

1 Теоретическая часть……….……………………………………………………5

1.1 Доверительные оценки…………………………………………..……….….5

1.2 Метод наибольшего правдоподобия………………………………….…...10

1.3 Точечные оценки…………………………………………………………..13

1.4 Критерий согласия…………………………………………………….……18

1.5 Теорема Чебышева…………………………………………...……….……19

1.6 Понятие доверительного интервала………………...……………….….…23

1.7 Сравнение средних………………………………………………………....25

1.8 Метод минимума X² ……………………………………………………..…26

1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий…..…28

2 Практическая часть……………………………………………………………30

Выводы…………………………………………………………………………...37

Список литературы……………………………………………………………...38

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. При научном исследовании физических и технических задач, часто приходится встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайности неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяют самые главные, решающие. Влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Изучая закономерности в рамках некоторой теории, основные факторы, влияющие на то или иное явление, входят в понятия или определения, которыми оперирует рассматриваемая теория.

Как и всякая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей также содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие – это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен быть конечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только объясняются.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Доверительные оценки

Выборочная оценка, являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из данной выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данные поставляют доверительные оценки. Пусть случайная выборка из генеральной совокупности со случайной величиной , распределение которой зависит от параметра . Пусть – такие функции выборок, что при произвольном выполняется равенство

. (1.1.1)

Тогда случайный интервал называется доверительной оценкой параметра с мерой надежности (с уровнем значимости ).
Если имеется реализация выборки , то реализация доверительной оценки дает доверительный интервал и в большом ряду выборок истинное значение лежит примерно в случаев внутри вычисленных доверительных границ и . Равенство (1.1.1) можно интерпретировать и так: случайный интервал “покрывает” истинный параметр с доверительной вероятностью .

В математической статистике часто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критических границ и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p–квантилью случайной величины с функцией распределения называется решение уравнения .
Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости (процентной точкой уровня ), непрерывной случайной величины с функцией распределения называется значение случайной величины , для которой , или . Нижней и верхней критическими границами, отвечающими уровню значимости непрерывной случайной величины с функцией распределения называются значения случайной величины и , для которых ; ;

.

Для симметричных случайных величин, у которых плотности
распределения симметричны относительно некоторой точки, нижние и верхние критические границы удовлетворяют условию , что дает возможность приводить таблицы лишь для процентных точек или квантилей, больших . Так, для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости .

Квантиль, односторонние и двухсторонние критические границы изображены на рис.1.

Рис.1. р-квантиль и критические точки для закона распределения .

1.1.1 Доверительная оценка при неизвестной вероятности по большим выборкам

Частота является точечной оценкой , она асимптотически нормально распределена с и .

Если ,то . Зададим . Величина такая, что может быть найдена из уравнения при помощи таблиц для функций Лапласа. Эти же рассуждения применим к . По заданному можно найти так, чтобы . Из неравенства следует, что , откуда можно вычислить оба значения и , которые представляют доверительные оценки для . Если выбрано достаточно малым, то случайный интервал “покрывает” почти наверное.

1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона

1.1.2.1 Доверительная оценка при известном

,, тогда .

Соответственно,

.

Для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости нижняя и верхняя критические границы соответственно равны и .

Имеем

или

.

.

Таким образом, - доверительная оценка для параметра a с мерой надежности .

1.1.2.2 Доверительная оценка при неизвестном

Оценка основана на том факте, что при высказанных предположениях величина удовлетворяет t- распределению с n-1 степенями свободы.

Определяя одностороннюю критическую точку из условия ,получим доверительную оценку для а в виде

.

Для конкретной выборки объема n доверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.

1.1.2.3 Доверительная оценка при неизвестном

Отправной точкой является тот факт, что при заданных предпосылках величина удовлетворяет - распределению с n-1 степенями свободы. По заданному уровню значимости и степенями свободы находим критические точки и распределения такие, что

,

, или .

Таким образом , есть доверительная оценка с мерой надежности .

1.2 Метод наибольшего правдоподобия

Пусть дана выборка объема n из генеральной совокупности с непрерывно распределенной случайной величиной X. Пусть плотность вероятности X содержит неизвестный параметр, который следует оценить по выборке, и имеет вид .

Функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением

. (1.2.1)

Рассмотрим случай дискретной случайной величины X с возможными значениями и вероятностями . Обозначим через наибольшее из возможных значений, которое встречается в выборке, а через ­— абсолютные частоты, с которыми появляются значения в выборке . В этом случае функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением

. (1.2.2)

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.

Параметр находят, решая относительно уравнение

. (1.2.3)

Часто вместо (1.2.3) используют уравнение

, (1.2.4)

Если плотность или вероятности зависят от параметров, то наиболее правдоподобную оценку системы параметров получают решением системы уравнений

(1.2.5)

или

. (1.2.6)

Наиболее правдоподобные оценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно общих условиях они являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными (однако не всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотически нормально распределенных оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующее положение: если вообще имеется эффективная оценка, то она получается методом наибольшего правдоподобия.

Пример 1.2.1 Оценить вероятность некоторого события . Пусть

Решение. ; . Пусть в независимых наблюдениях событие произошло раз, т.е. . Таким образом, имеем , . Отсюда следует, что . Следовательно, есть наиболее правдоподобная оценка параметра . Случайная величина k биномиально распределена, ; Следовательно, — несмещенная оценка вероятности, асимптотически состоятельная и асимптотически нормальная.

Пример 1.2.2. Пусть случайная величина распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром . Проведем выборку и получим значения ( – целые числа). Пусть – набольшее из наблюдаемых в выборке чисел, – абсолютные частоты, с которыми числа появляются в выборке ; . Тогда согласно формуле (3.2) . Из соотношения получаем , откуда .

Величина есть, таким образом, правдоподобная оценка для и вместе с тем состоятельная, асимптотически нормально распределенная.

Пример 1.2.3. Пусть случайная величина распределена нормально с параметрами и . Их следует оценить исходя их выборки объема .

Решение. Функция правдоподобия

,

следовательно

.

Согласно (2.5), получаем следующие уравнения для определения и : ; , откуда и . Следовательно, есть наиболее правдоподобная оценка параметров . Мы уже знаем, что не является несмещенной оценкой, а только асимптотически не смещена.

Точечные оценки

Одной из задач математической статистики явля­ется оценка неизвестных параметров выбранной параметриче­ской модели.

Очень часто в приложениях рассматривают параметриче­скую модель. В этом случае предполагают, что закон рас­пределения генеральной совокупности принадлежит множеству

, где вид функции распределения задан, а век­тор параметровнеизвестен. Требуется найти оценку дляили некоторой функции от него (например, ма­тематического ожидания, дисперсии) по случайной выборке из генеральной совокупности X.

Например, предположим, что масса X детали имеет нор­мальный закон распределения, но его параметры неизвестны. Нужно найти приближенное значение параметров по результатам наблюдений х, …, х_п, полученным в экспери­менте (по реализации случайной выборки).

Как уже отмечалось , в математической статисти­ке существуют два вида оценок: точечные и интервальные. В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интерваль­ным оценкам посвящена следующая глава.

1.3.1. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки

Пусть— случайная выборка из генеральной совокупности X, функция распределениякоторой известна, а— неизвестный параметр, т.е. рассматривается параметрическая модель(для простоты изложения будем считать пока, что— скаляр).

Требуется построить статистику, которую можно было бы принять в качестве точечной оценки параметра.

Интуитивно ясно, что в качестве оценки параметрамож­но использовать различные статистики. Например, в качестве точечной оценки дляможно предложить такие статистики:

Какую же из этих статистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какими свойствами должна обла­дать статистика, чтобы она была в неко­тором смысле наилучшей оценкой параметра в? Рассмотрению требований к оценкам и методам их нахождения посвящена на­стоящая глава.

Заметим, что в дальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметрапараметрической модели, хотя все ска­занное можно перенести и на функцию от в.

Определение 1.3.1.1 Статистикуназывают состоятельной оценкой параметра, если с ростом объема выборки п она сходится по вероятности к оцениваемому пара­метру , т.е.

Иными словами, для состоятельной оценкиотклонение ее отна величину е и более становится маловероятным при большом объеме выборки. Это свойство оценки является очень важным, ибо несостоятельная оценка практически беспо­лезна. Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы­борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко­торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра.

Определение 1.3.1.2. Статистикуназывают несмещенной оценкой параметра, если ее математическое ожи­дание совпадает с, т.е.для любого фиксирован­испер.

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра­нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценкаявляется асимптотически несмещенной, если приона сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра. Если дисперсииудовлетворяют условию

(1.3.1)

для любого фиксированного пи, то следует предпочесть оценку, поскольку разброс статистики относительно параметраменьше, чем разброс статистики

Определение 1.3.1.3. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра, имеющих конечную дисперсию, существу­ет такая оценка, что неравенство (2.1) выполняется для всех оценокиз этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы­борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко­торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра.

Определение 1.3.1.4. Статистикуназывают несмещенной оценкой параметра, если ее математическое ожи­дание совпадает с, т.е.для любого фиксирован­ниспер

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра­нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценкаявляется асимптотически несмещенной, если приона сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра. Если диисперсии

удовлетворяют условию

(1.3.2)

для любого фиксированного пи, то следует предпочесть оценку, поскольку разброс статистикиотносительно параметраменьше, чем разброс статистики

Определение. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра, имеющих конечную дисперсию, существу­ет такая оценка, что неравенство (3.2) выполняется для всех оценокиз этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.

Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несме­щенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок".

Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической ста­тистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оце­нок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка

(выборочное среднее) математического ожидания

генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех ли­нейных оценок, т.е. оценок вида

где , для произвольнойпараметрической модели.

Напомним, что элементы случайной выборки

являются независимыми случайными величинами и распре­деленными так же, как и сама генеральная совокупность X. Следовательно,

1.4 Критерии согласия

Пусть (X1,..,Xn) - выборка с неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)¹F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения.

Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи - –ритерием согласия.

Рассмотрим критерий согласия c2, или критерий Пирсона.

Разобьем ось х на т интервалов Если истинная функция распределения F(x) совпадает с F0(x), то при больших n

Рассмотрим случайную величину (ni - –лучайное)

при она стремится к c2 - –аспределению случайной величины с т-е-1 степенями свободы (е- число статистических параметров).

Решающее правило для уровня значимости a:

При построении c2n должно выполняться условие ni³10, в противном случае объединяют интервалы.

В случае применения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) является случайным с доверительной вероятностью 1-a и обусловлено конечностью выборки.

1.5 Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство

где a — любое положительное число.

Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка (MX-a; MX+a), то есть

А: {|X-MX|³a}

a a

MX -a MX MX+a

Вероятность попадания Х в этот участок равна

Найдём дисперсию случайной величины Х

Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Тогда вместо интеграла во всех формулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi , для которых

|xi-MX|³a,

что и требовалось доказать.

Определение. Пусть имеется последовательность чисел

x1, x2, ... , xn , ...

Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события

{|Хп-а|< e},

(где e>0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть

Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа e>0 и d>0 всегда существует N, такое, что при n>N

P{|Xn-a|<e}>1-d

Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... , Хп (п “экземпляров” случайной величины Х). Пусть

Тогда последовательность сходится по вероятности к MX:

Доказательство. Найдём MYn и DYn :

Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим a равным e, где e>0 — сколь угодно малое, наперёд заданное число.

Как бы ни было мало e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодно малого положительного числа d; следовательно, при достаточно большом п

P{|Yn-MX|³e}<d

ÞP{|Yn-MX|<e}>1-d,

а это равносильно сходимости по вероятности Yn к MX

Замечание 1.5.1. Первую теорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX

Замечание 1.5.2. Первая теорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2, ... , Хп независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX.

Рассмотрим случай, когда условия производимых опытов меняются.

Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность

Х1, Х2, ..., Хn, ...

с различными, в общем случае, MХi и DXi (i=). Пусть

Если DXi£D i=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то

Доказательство.

(1.5.1)

Согласно неравенства Чебышева

или, учитывая (1.5.1), имеем

Как бы ни было мало произвольное наперёд заданное e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше произвольно малого d. Следовательно

,

что и требовалось доказать.

Замечание 1.5.3. При формулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что

так как зависят от n, а понятие “сходимость по вероятности” определено нами только для постоянной а, не зависящей от n.

1.6 Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

Определение 1.6.1  

-доверительным интервалом называется интервал вида     где такой, что

Число называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью .

Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п.

Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов.

Выбираем функцию , зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения

не зависит от неизвестного параметра .

Выбираем два числа и таким образом, чтобы . Подбираем и , удовлетворяющие условиям

(6.1)

Таким образом,

(6.2)

причем и не зависят от .

Решим двойное неравенство относительно . В том случае, когда его решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через и соответственно. Естественно, они зависят от выборки: , . В силу (6.2)

Следовательно, -- искомый -доверительный интервал.

Замечание 1.6.1  

Описанная процедура, разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции  решается в каждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых, совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будет интервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный выше метод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправдано применение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке функция является строго монотонной и непрерывной по переменной .

Замечание 1.6.2  

В силу неоднозначности выбора функции и чисел  и  , можно заключить, что -доверительный интервал неединственен.

1.7 Сравнение средних

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравных генеральных дисперсиях принято называть проблемой Беренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первую работу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральной дисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями:  σ₁² ≠ σ₂². Соответственно имеем и две выборочные дисперсии  s₁² и s₂². Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:

             (1.7.1)

Введём обозначения: θ= σ₁² / σ₂²  , u = s₁² / s₂² и N= n₁/ n₂ .   В этом случае выражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:

 (1.7.2).

Основная сложность этого случая заключается в том, что  подкоренное выражение в знаменателе не имеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс, Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провели детальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при  равных объёмах выборок n₁ =  n₂ незнание величины θ= σ₁² / σ₂²  не очень сильно влияет на итоговый результат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьма значительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы.

1.8 Метод минимума X².

Метод минимума X² применим лишь и случае группированного непрерывною рас­пределения или дискретного распределения. Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентны оценкам, полу­ченным с помощью более простого видоизмененного метода миниму­ма X², выражаемого уравнениями

(1.8.1)

или

(1.8.2)

в рассматриваемых случаях последний метод совладает с методом максимума правдоподобия.

Основная теорема о предельном распределении X² для случая, когда некоторые параметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененного метода минимума X². Однако там же было указано, что имеется целый класс методов нахождения оценок, приводящих к тому же самому пре­дельному распределению для X². Теперь мы докажем это утверждение.

Асимптотические выражения для оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X² были приведены в явной форме

(1.8.3)

для общего случая у неизвестных параметров а₁,...,а_г. Предположим, что выполнены условия 1)—3) предыдущего параграфа или аналогичные условия для дискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотически нормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны.

Во всех множествах асимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметров имеются члены порядка n^-1/2 та­кие же, как и в (1.8.3). Однако из вывода предельного распреде­ления для у² следует, что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n^-1/2 в (1.8.3). Действительно, по формулам и

получаем и показывает,что предельное распределение для .у = (, .... ) определяется именно указанными членами.

Таким образом, теорема о предельном распреде­лении величины X² справедлива для любого множества асимптоти­чески нормальных и асимптотически-эффективных оценок пара­метров.

1.9  Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0, 1, 2, ... , т, ... (бесконечное, но чёткое множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:

x	0	1	…	k	…
P	e-l	le-l	…		…

Число l называется параметром распределения.

Простейший поток событий – такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени.

Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий:

При таких допущениях с большой степенью точности выполняются следующие условия:

Отсутствие последействия: вероятность того, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины и расположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в момент времени, предшествующему этому моменту.

Однородность потока: Вероятность того, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,n событий зависит только от его длины и не зависит от положення этого отрезка на временной оси.

Пусть Dt - длина временного промежутка, тогда: (Dt)=l Dt+o(Dt), Dt®0.

(Dt)=1-l Dt+o(Dt), Dt®0.

Математическое ожидание распределения Пуассона равно:

M=

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Вариант 23

Задача 1

На отрезок единичной длины наугад ставится точка. Вычислить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превышает величину .

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть дан отрезок длины (Рис. 2.1). Расстояние от точки до концов отрезка превышает величину в том случае, если , где , .

Рис. 2.1

Пусть А – событие, когда . Тогда искомая вероятность .

Для заданных значений и .

Задача 2

В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, которые имеют площади и .

Решить задачу при , , .

Решение:

Поскольку фигуры не пересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна . Общая площадь, в которую может попасть точка, равна . Таким образом искомая вероятность . Для заданных значений , и .

Задача 3

Среди лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли билетов. Определить вероятность того, что среди них не менее L выиграшных.

Решить задачу при , , ,.

Решение:

Число способов купить билетов, среди которых L выигрышных составляет .

Число способов купить билетов, среди которых L+1 выигрышных составляет , и так далее.

Число способов купить билетов, среди которых выигрышных составляет .

Таким образом, число способов купить билетов, среди которых не менее половины выигрышных составляет

++…+.

Общее число способов купить билетов из составляет .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , и .

Задача 4

В лифт -этажного дома сели пассажиров (). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этажа. Определить вероятность того, что хотя бы двое вышли на одном этаже.

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть – событие, когда все пассажиры вышли на разных этажах. Тогда вероятность искомого события .

Найдем . Количество способов всем пассажирам выйти на разных этажах составляет . Общее число способов выхода пассажиров на одном из -го этажа составляет . Тогда .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , .

Задача 5

В двух партиях и процентов доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них одно доброкачественное и одно бракованное?

Решить задачу при и .

Решение:

Пусть – событие обнаружить доброкачественное изделие из -й партии. – событие обнаружить бракованное изделие из -й партии. Тогда искомая вероятность .

,

,

,

.

.

Для заданных значений , искомая вероятность .

Задача 6

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком – р1, вторым – р2. Первый сделал n1, второй n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

р1 = 0,76; р2 = 0.39; n1 = 2; n2 = 3.

Решение:

Пусть событие А – цель не поражена. Вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель при одном выстреле равна (1 – р1). Вероятность того, что первый стрелок не попадет при n1 выстрелах равна (1 – р1)ⁿ¹, вероятность того, что второй стрелок не попадет в цель при n2 выстрелах равна (1 – р2)ⁿ². Получим

Р(А) = (1 – р1)ⁿ¹ (1 – р2)ⁿ² =

= 0,24²*0,61³= 0,013.

Ответ: 0,013.

Задача 7

Урна содержит М занумерованных шаров от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Событие B – хотя бы 1 раз совпадет номер шара и порядковый номер извлечения. Определить вероятность события С. Найти предельное значение вероятности при М .

М = 10.

Решение:

Количество совпадений одного номера шара и порядкового номера извлечения равно ; количество совпадений двух номеров – ; трех номеров – ; … ; М номеров – . Общее количество способов извлечения М шаров равно . Таким образом получаем вероятность события С:

.

Для М = 10 получим

Найдем предельное значение вероятности:

0

Задача 8

Дана плотность распределения р(х) случайной величины . Найти

параметр ;

функцию распределения случайной величины;

вероятность выполнения неравенства .

, .

Решение:

найдем значение параметра из

.

Задача 9

Случайная величина имеет плотность распределения . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины

= ,

Решение:

Найдем по формуле

= .

Найдем

=

Ответ: =

ия номера шара и порядкового номера извлечения при одном выстреле равна 1 - р1

ВЫВОДЫ

Корреляция и корреляционные моменты являются достаточно важными понятиями, имеющими применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики решаются с помощью вычисления коэффициента корреляции или корреляционных моментов. Корреляционный момент – характеристика системы случайных величин, описывающая рассеивания случайных величин и связь между ними. Степень зависимости случайных величин удобнее характеризовать посредством безразмерной величины – коэффициента корреляции.

Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Корреляционный анализ считается одним из главных методов в маркетинге, наряду с оптимизационными расчетами, а также математическим и графическим моделированием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая

статистика., М.: Наука, 1979.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.–М.:Наука, 1969.

В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория

вероятностей и математическая сатистика. М., 1991.

«Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.

А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987.

И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М., 1998.