Федеральное агентство по образованию РФ

Дагестанский государственный университет

Математический факультет

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

Статистическое исследование свойств псевдослучайных чисел получаемых методом Джона фон Неймана.

Подготовила:

студентка 4к. 5 гр. Омарова А.Г.

Научный руководитель:

профессор Назаралиев М. А.

Махачкала 2010

Содержание

Введение

Способы получения псевдослучайных чисел. Генератор псевдослучайных чисел Джона фон Неймана

Характеристики генератора псевдослучайных чисел

Равномерный закон распределения

Понятие о критериях согласия

Критерий согласия χ-квадрат (Пирсона)

Критерий Колмогорова

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Программа вычисления. Таблица результатов

Программа вычисления. Таблица результатов

Заключение

Список литературы

Введение

Современная информатика широко использует псевдослучайные числа в самых различных приложениях. При этом от качества используемых генераторов псевдослучайных чисел зависит качество получаемых результатов.

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по опытному (эмпирическому) распределению, представляющему вариационный ряд.

Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическими и теоретическими распределениями неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служат критерии согласия.

Критерий Пирсона и критерий Колмогорова можно использовать для тестирования генераторов случайных чисел на их равномерность. Но доказать «чистую случайность» невозможно, можно лишь с определенной степенью вероятности опровергнуть противоположное утверждение. Таким образом, для решения является ли различие достоверным необходимо установить границы для близости – различие частот в выборке и теоретически ожидаемых частот.

Способы получения псевдослучайных чисел. Генератор псевдослучайных чисел Джона фон Неймана

В программировании достаточно часто находят применение последовательности чисел, выбранных случайным образом из некоторого множества. В качестве примеров задач, в которых используются случайные числа, можно привести следующие:

тестирование алгоритмов;

имитационное моделирование;

некоторые задачи численного анализа;

имитация пользовательского ввода.

Устройства или алгоритмы получения случайных чисел называют генераторами случайных чисел или датчиками случайных чисел.

Для получения случайных чисел можно использовать различные способы. В общем случае все методы генерирования случайных чисел (ГСЧ) можно разделить на следующие:

физические

табличные

алгоритмические.

Физические ГСЧ

Примером физических ГСЧ могут служить: монета («орел» — 1, «решка» — 0); игральные кости; поделенный на секторы с цифрами барабан со стрелкой; аппаратурный генератор шума, в качестве которого используют шумящее тепловое устройство, например, транзистор.

Табличные ГСЧ

Табличные ГСЧ в качестве источника случайных чисел используют специальным образом составленные таблицы, содержащие проверенные некоррелированные, то есть никак не зависящие друг от друга, цифры. В табл.1 приведен небольшой фрагмент такой таблицы. Обходя таблицу слева направо сверху вниз, можно получать равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа с нужным числом знаков после запятой (в нашем примере мы используем для каждого числа по три знака). Так как цифры в таблице не зависят друг от друга, то таблицу можно обходить разными способами, например, сверху вниз, или справа налево, или, скажем, можно выбирать цифры, находящиеся на четных позициях.

Таблица 1.

Равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа

Случайные цифры

Равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа

9

2

9

2

0

4

2

6

0.929

9

5

7

3

4

9

0

3

0.204

5

9

1

6

6

5

7

6

0.269

…

…

Достоинство данного метода в том, что он дает действительно случайные числа, так как таблица содержит проверенные некоррелированные цифры. Недостатки метода: для хранения большого количества цифр требуется много памяти; большие трудности порождения и проверки такого рода таблиц, повторы при использовании таблицы уже не гарантируют случайности числовой последовательности, а значит, и надежности результата.

Алгоритмические ГСЧ

Числа, генерируемые с помощью этих ГСЧ, всегда являются псевдослучайными, то есть каждое последующее сгенерированное число зависит от предыдущего:

Последовательности, составленные из таких чисел, образуют петли, то есть обязательно существует цикл, повторяющийся бесконечное число раз. Повторяющиеся циклы называются периодами.

Достоинством данных ГСЧ является быстродействие; генераторы практически не требуют ресурсов памяти, компактны. Недостатки: числа нельзя в полной мере назвать случайными, поскольку между ними имеется зависимость, а также наличие периодов в последовательности псевдослучайных чисел.

К алгоритмическим методам получения ГСЧ относиться метод серединных квадратов, предложенный в 1946 г. Дж. фон Нейманом.

Метод серединных квадратов

Имеется некоторое четырехзначное число R0. Это число возводится в квадрат и заносится в R1. Далее из R1 берется середина (четыре средних цифры) — новое случайное число — и записывается в R0. Затем процедура повторяется . Отметим, что на самом деле в качестве случайного числа необходимо брать не ghij, а 0.ghij — с приписанным слева нулем и десятичной точкой. Поясним его на примере. Пусть задано 4-значное целое число n1 = 9876. Возведем его в квадрат. Получим, вообще говоря, 8-значное число 97 535 376. Выберем четыре средние цифры из этого числа и обозначим n2 = 5353. Затем возведем его в квадрат (28 654 609) и снова извлечем 4 средние цифры. Получим n3 = 6546. Далее, 42 850116, n4 = 8501 и т. д. В качестве значений случайной величины предлагается использовать значения 0,9876; 0,5353; 0,6546; 0,8501; 0,2670; 0,1289.

Недостатки метода:

1) если на некоторой итерации число R0 станет равным нулю, то генератор вырождается, поэтому важен правильный выбор начального значения R0;

2) генератор будет повторять последовательность через Mn шагов (в лучшем случае), где n — разрядность числа R0, M — основание системы счисления.

Для примера : если число R0 будет представлено в двоичной системе счисления, то последовательность псевдослучайных чисел повторится через 24 = 16 шагов. Заметим, что повторение последовательности может произойти и раньше, если начальное число будет выбрано неудачно.

Характеристики генератора псевдослучайных чисел

Последовательности случайных чисел, формируемых тем или иным ГСЧ, должны удовлетворять ряду требований. Во-первых, числа должны выбираться из определенного множества, чаще всего это действительные числа в интервале от 0 до 1 либо целые от 0 до N. Во-вторых, последовательность должна подчиняться определенному распределению на заданном множестве ,чаще всего распределение равномерное.

ГСЧ должен выдавать близкие к следующим значения статистических параметров, характерных для равномерного случайного закона:

— математическое ожидание; — дисперсия; — среднеквадратичное отклонение.

Необязательным является требование воспроизводимости последовательности. Если ГСЧ позволяет воспроизвести заново однажды сформированную последовательность, отладка программ с использованием такого ГСЧ значительно упрощается.

Поскольку псевдослучайные числа не являются действительно случайными, качество ГСЧ очень часто оценивается по «случайности» получаемых чисел. В эту оценку могут входить различные показатели, например, длина цикла (количество итераций, после которого ГСЧ зацикливается), взаимозависимости между соседними числами (могут выявляться с помощью различных методов теории вероятностей и математической статистики) и т.п.

За эталон генератора случайных чисел (ГСЧ) принят такой генератор, который порождает последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале (0; 1). За одно обращение данный генератор возвращает одно случайное число.

Если наблюдать такой ГСЧ достаточно длительное время, то окажется, что, например, в каждый из десяти интервалов (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), …, (0.9; 1) попадет практически одинаковое количество случайных чисел — то есть они будут распределены равномерно по всему интервалу (0; 1).

Если изобразить на графике k = 10 интервалов и частоты Ni попаданий в них, то получится экспериментальная кривая плотности распределения случайных чисел.

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность распределения f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

f(x)=

Кривая распределения f(x) и график функции распределения F(x) случайной величины X приведены рис. 1.1.

а б

рис. 1.1

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

F(x)=

ее математическое ожидание

M(X) = (1.3)

а дисперсия

D(X) = (1.4)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению. Так, случайная величина Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [0,1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

Понятие о критериях согласия

Полного совпадения между теоретическими и эмпирическими частотами нет. Более того, иногда между опытными и теоретическими частотами наблюдаются значительные расхождения. Например, если исходить из того, что рост мужчины имеет нормальное распределение, то из 1000 мужчин 173 должны иметь рост от 161 до 164 см. В действительности их оказалось 181. Если предположить, что число распадающихся за 1/8 мин атомов радиоактивного вещества следует по закону Пуассона, то из 2608 промежутков должно быть 407 таких, в которых распадается по 2 атома. На самом деле их было 383. Разница составляет 24 промежутка и кажется значительной. Эти расхождения можно объяснить двояко:

1. Несовпадения между опытными и теоретическими частотами несущественны, они объясняются случайностью отбора отдельных элементов или результатов единичных наблюдений. Допущение о распределении изучаемого признака по закону, выбранному в качестве предполагаемого теоретического, должно быть признано не противоречащим имеющимся опытным данным, согласованным с ними.

2. Различия между теоретическими и наблюденными частотами объяснить случайностью нельзя, опытное и теоретическое распределения противоречат друг другу. Допущение о распределении изучаемого признака по избранному закону необходимо признать ошибочным.

Но что позволит сделать первый или второй вывод? Эту возможность дают критерии согласия.

Можно рассмотреть различные виды расхождений между теоретическим и опытным распределениями. Каждый вид такого расхождения является случайной величиной. Иногда удается установить ее закон распределения. Зная его, можно сформулировать предложение (правило), устанавливающее когда полученное в действительности расхождение между предполагаемым теоретическим и опытным распределениями следует признать несущественным, случайным, а когда существенным, неслучайным. Это предложение и будет критерием согласия.

Итак, предположим, что неизвестен закон распределения случайной величины Х, которая характеризует некоторый вид или функцию расхождений между предполагаемым теоретическим и опытным распределениями. С другой стороны, имея опытное распределение признака, можно найти значение α, которое в рассматриваемом случае приняла случайная величина Х.

Закон распределения случайной величины Х определяет вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не меньшее α. Пусть эта вероятность Р(Х≥α)=β. Согласно принципу практической уверенности при однократном наблюдении происходит немаловероятное событие. Поэтому если величина α была получена как результат наблюдения именно случайной величины Х, т.е. при распределении рассматриваемого признака по предполагаемому теоретическому закону, то вероятность β не должна быть малой. Если же вероятность β оказалась весьма малой, то это означает, что наступило маловероятное событие, которое в соответствии с тем же принципом практической уверенности при распределении признака в генеральной совокупности по предложенному закону не должно было наступить. Наступление события с такой вероятностью объясняется, по-видимому, тем, что наблюдалась случайная величина, распределенная не по предположенному закону, а по какому-то другому. Таким образом, в случае, когда вероятность β не мала, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями следует признать несущественными, случайными, а опытное и теоретическое распределения – не противоречащими, согласующимися друг с другом. Если же вероятность β мала, то расхождения между опытным и теоретическим распределениями существенны, объяснить их случайностью нельзя, а гипотезу о распределении признака по предложенному теоретическому закону следует считать не подтвердившейся, она не согласуется с опытными данными. По-видимому, при выборе предполагаемого теоретического закона не были в достаточной степени учтены особенности имеющихся опытных данных или при этом сказались субъективные качества исследователя. Следует внимательнее изучить опытные данные и попытаться найти новый теоретический закон в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, который лучше, полнее учитывал бы особенности опытного распределения.

Необходимо только установить, какие вероятности считаются «малыми». Обычно это вероятности, не превосходящие 0,01. В других случаях считают малыми вероятности, не превосходящие 0,05.

Существует много критериев согласия. Рассмотрим критерий χ-квадрат (Пирсона) и критерий Колмогорова.

Критерий согласия (Пирсона)

Пусть в результате n наблюдений получен вариационный ряд с опытными частотами n1, n2, …, nm. Тогда сумма их n1+n2+..+nm=n. Анализ опытных данных привел, допустим, к выбору некоторого теоретического закона распределения в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а по опытным данным найдены его параметры (если они не были известны заранее). С помощью самого закона вычислены теоретические частоты n01, n02, …,n0m, соответствующие эмпирическим частотам. Сумма теоретических частот также равна объему совокупности n:

n01+ n02+…+n0m=n.

В качестве меры расхождения теоретического и эмпирического рядов частот можно взять величину

Из этого выражения видно, что χ2 равно нулю лишь при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот: ni =n0i (i = 1, 2, …, m). В противном случае χ2 отлично от нуля и тем больше, чем больше расхождения между указанными частотами.

Величина χ2 , определяемая равенством, является случайной, которая как можно показать, имеет χ2-распределение, где k – число степеней свободы. Число k = m – s, где m – число групп эмпирического распределения, а s – число параметров теоретического закона, найденных с помощью этого распределения, вместе с числом дополнительных соотношений, которым подчинены эмпирические частоты. Если же эмпирическое распределение не использовалось для нахождения параметров теоретического закона и теоретических частот, а эмпирические частоты не связаны никакими дополнительными соотношениями, то k равно числу групп эмпирического распределения, причем в обоих случаях наблюденные частоты должны быть не малы. Малые частоты следует объединить с соседними с тем, чтобы укрупнить группы. Это будет показано на приводимом ниже примере.

Таким образом, схема расчета критерия согласия χ2 следующая:

По опытным данным выбрать в качестве предполагаемого закон распределения изучаемого признака и найти его параметры.

Определить теоретические частоты с помощью полученного закона распределения. Если среди опытных частот имеются малочисленные, объединить их с соседними.

По формуле (1) вычислить величину χ2. Пусть она оказалась равной χ20.

Определить число степеней свободы k.

В приложении 4 по полученным значениям χ2 и k найти вероятность β того, что случайная величина, имеющая χ2-распределение, примет какое-нибудь значение, не меньшее χ20 : P(χ2 χ20) = .

Сформулировать вывод, руководствуясь общим принципом применения критериев согласия, а именно: если вероятность β больше 0.01, то имеющиеся расхождения между теоретическими и опытными частотами следует считать несущественными, а опытное распределение – согласующимся с теоретическим. В противном случае (β<0.01) указанные расхождения признаются неслучайными, а закон распределения, избранный в качестве предполагаемого теоретического, отвергается.

Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия χ2 часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X, при неограниченном увеличении числа наблюдений (n) вероятность неравенства P(D) стремится к пределу

задавая уровень значимости α, из соотношения

можно найти соответствующее критическое значение .

Проверка гипотезы о равномерном распределении

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности f(x) необходимо вычислив по имеющейся выборке значение, оценить параметры a и b по формулам

,

Где a* и b* - оценки a и b. Действительно, для равномерного распределения

M(X) =

σ== ,

откуда можно получить систему для определения a* и b*:

f(x)=,

решением которой являются выражения (*). Затем, предполагая, что

f(x)=,

можно найти теоретические частоты по формулам:

,

, ,

,

Здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка. Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле:

а критическое по таблице с учетом того, что число степеней свободы k=s-3.

Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием

,

где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством , а область принятия гипотезы – . Таким образом, если , то нулевую гипотезу принимают, если , то ее отвергают.

Для критерия Колмогорова теоретические и эмпирические функции распределения находим таким же образом, как и для критерия Пирсон.

Схема применения критерия Колмогорова:

Строятся предполагаемое теоретическая функция распределения F(x).

Находим величину по следующей формуле

где

;

3. Если вычисленное значение

,

где α критическое значение найденное при заданном уровне значимости, то проверяемая нулевая гипотеза о том что случайная величина Х имеет заданный закон распределения, отвергается, в противном случае гипотеза не отвергается.

Программа вычисления . Таблица результатов

uses crt;

const n=100;s=10;

var

A1,h, R, min, max, x_v, D_v, at, bt, Xi2:real;

a:array[1..N]of real;

alfa:array[1..s+1]of real;

x,mt:array[1..s]of real;

m:array[1..s]of integer;

i,k:integer;

begin

clrscr;

writeln('A1');

read(A1);

for I:=1 to n do

begin

a[i]:=sqr(a1)/1000000;

a[i]:=(trunc((a[i]-trunc(a[i]))*10000));

if a[i]<100 then A1:=random(7999)+2000

else a1:=a[i];

a[i]:=a[i]/10000;

writeln(a[i]:8:4);

end;

begin

min:=a[1];

max:=a[1];

for i:=1 to N do

if max<a[i] then max:=a[i];

for i:=1 to N do

if min>a[i] then min:=a[i];

R:=max-min;

h:=R/s;

alfa[1]:=min;

for k:=2 to S+1 do

alfa[k]:=alfa[k-1]+h;

for k:=1 to s do

x[k]:=alfa[k]+h/2;

for k:=1 to s do

for i:=1 to N do

if (a[i]>=alfa[k])and(a[i]<alfa[k+1]) then

m[k]:=m[k]+1;

x_v:=0; D_v:=0;

for k:=1 to s do

x_v:=x_v+x[k]*m[k];

x_v:=x_v/n; writeln(' X_v=',x_v:8:4);

for k:=1 to s do

D_v:=D_v+sqr(x[k])*m[k];

D_v:=sqrt(D_v/N-sqr(x_v)); writeln(' D_v=',D_v:8:4);

at:=x_v-D_v*sqrt(3);

bt:=x_v+D_v*sqrt(3);

mt[1]:=N*(alfa[2]-at)/(bt-at);

for k:=2 to s-1 do

mt[k]:=N*(alfa[k+1]-alfa[k])/(bt-at);

mt[s]:=N*(bt-alfa[s])/(bt-at);

Xi2:=0;

for k:=1 to s do

if mt[k]<>0 then

Xi2:=Xi2+(sqr(m[k]-mt[k]))/mt[k];

for k:=1 to s do

writeln('i',k,' x[k]=',x[k]:8:4,' n[k]=', m[k], 'nt[k]=', mt[k]:8:4);

writeln('Xi2=',Xi2:8:4); readkey;

end; end;

end.

Таблица результатов N = 1000, m = 10, k = 7; A1=9887

xi
0.05	112	103.87
0.15	91	100.92
0.25	103	100.12
0.35	94	100.92
0.45	113	100.89
0.55	99	100.92
0.65	98	100.72
0.75	95	109.42
0.85	107	109.42
0.95	88	958.76

По таблице хи-квадрат распределения =9.037. Так как , то гипотеза H0 согласуется с опытными данными.

Программа вычисления . Таблица результатов

uses crt;

const n=100;

var A1,min,max, alf,min1,max1:real;

a,D,D1,b:array[1..N]of real;

i,k,j:integer;

procedure swap(var x,y:real);

var t:real;

begin

t:=x; x:=y; y:=t;

end;

function f(s:real):real;

begin

if s<=0 then

f:=0;

if (s>0) and(s<=1) then

f:=s;

if s>1 then

f:=1; end;

begin

clrscr;

writeln('A1'); read(A1);

for I:=1 to n do

begin

a[i]:=sqr(a1)/1000000;

a[i]:=(trunc((a[i]-trunc(a[i]))*10000));

if a[i]<100 then A1:=random(7999)+2000

else a1:=a[i];

a[i]:=a[i]/10000;

end;

begin

for j:=1 to n-1 do

for i:=n downto j do

if a[i-1]>a[i] then

swap(a[i-1],a[i]);

for i:=1 to n do

end;

begin

for i:=1 to n do

D[i]:=abs(i/n-f(a[i]));

for i:=1 to n do

begin

max:=d[1];

min:=d[1];

for i:=1 to N do

if max<d[i] then max:=d[i];

for i:=1 to N do

if min>d[i] then min:=d[i];

begin

for i:=1 to n do

D1[i]:=abs(f(a[i])-(i-1)/n);

for i:=1 to n do

begin

max1:=d1[1];

min1:=d1[1];

for i:=1 to N do

if max1<d1[i] then max1:=d1[i];

for i:=1 to N do

if min1>d1[i] then min1:=d1[i];

writeln('max',max:8:4)

writeln('max1',max1:8:4);

alf:=sqrt(n)*max;

writeln('alf',alf:8:3);

readkey;

end;

end.

Таблица результатов

N = 100 ; A1=9876

При уровне значимости 0,1 критическое значение равняется 1,22.

По формуле подставляя это значение получим следовательно гипотеза о равномерном распределении случайных чисел полученных методом Неймана неотвергается .

Заключение

Установленный теоретический закон отличается незначительно от закона, полученного в результате эксперимента. Эти расхождения объясняются случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений.

Критерий Пирсона опровергает гипотезу о том, что псевдослучайные числа полученные методом Неймана не распределены по равномерному закону распределения с уровнем значимости α=0.25.

Критерий Колмогорова подтверждает гипотезу о равномерном распределении случайных чисел полученных методом Неймана с уровнем значимости α=0.1

Числовые характеристики близки к статистическим параметрам, характерных для равномерно распределенных чисел

Следовательно, случайные числа получаемые методом Неймана распределены равномерно на интервале (0,1).

Список литературы

1. Гмурман В. Е. - Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высш. шк., 2003

2. Кремер Н. Ш. – Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Юнити, 2006

3. Крамер Г. – Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975

4. Гнеденко Б. В. – Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Наука, 1970

5. Ветцель Е.С.; Овчаров Л.А. - Теория вероятностей. - М.:Наука,1986

6. Ермаков С.М.; Михайлов Г.А.- Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1983