Модель распределения

Курсовая работа по статистике

Работу выполнил ст. гр. ЭР-6-4 Шалыгин Д.А.

Московский государственный технологический университет «Станкин»

Кафедра «Производственный менеджмент»

Москва 2001

Раздел 1. Исследование модели распределения

1. Формирование выборочной совокупности

Обычно бывает затруднительно исследовать генеральную совокупность. Тогда проводят исследование выборочной совокупности, и его результаты распространяют на генеральную совокупность.

Наиболее часто для формирования выборочной совокупности применяют бесповторную случайную выборку. Случайный отбор организуют с помощью жребия, таблицы случайных чисел или программы, генерирующей квазислучайную последовательность чисел. Для этого единицы генеральной совокупности нумеруют. Данные, соответствующие выпавшим, номерам попадают в выборку. При этом повторяющиеся номера пропускаем.

Покажем применение таблицы случайных чисел. В табл. 1 приложения приведено пятьсот четырехзначных случайных чисел.

Рассмотрим пример получения выборки. Генеральная совокупность содержит значения восьми количественных экономических показателей для 100 предприятий. Она представлена в табл.2 приложения.

Наиболее проработанной в статистике является парная корреляция. Положим, нужно установить корреляционную связь между двумя показателями. В нашем случае мы изучаем связь между годовой балансовой прибылью (показатель 5) и электровооруженностью на одного работающего (показатель №7), выбираем в табл.1 приложения четырёхзначное число из 7-го столбца, 5-ой строки; т.к. сумма номеров показателей чётна, то из него берём правую половину; далее выбираем 30 неповторяющихся чисел. Затем из табл.2 приложения выбираем в соответствующих номерах строк 30 пар значений изучаемых показателей, в соответствии с этими данными получаем табл.1.1

Таблица 1.1

№ строки	5	7
5	40,2	35,6
12	35,4	32,9
13	31,4	30,5
18	42,8	37,7
22	36,6	33,7
26	37,8	34,3
27	44,5	38,4
30	42,7	37,2
31	32,8	31,3
32	32,5	30,7
36	32,7	31,4
38	38,9	35,3
40	33,2	31,6
41	36,2	33,7
43	33,3	31,4
45	36,2	33,5
46	38,4	34,6
49	38,8	35,1
52	35,7	33,2
54	33,7	32
57	36,3	33,6
60	40,3	36,1
65	35,8	32,8
68	33,7	31,9
69	41,6	36,3
71	38,8	35
76	34,9	32,6
80	39,4	35,8
86	37,1	33,5
91	35,9	32,6
99	4	42,2

2. Построение интервального ряда распределения

Этот и последующие этапы работы в этом разделе выполняем для каждого изучаемого признака в отдельности.

Принимая во внимание, что выборочная совокупность содержит n значений, величину равных интервалов выбираем по формуле Г.А. Стерджесса:

где К = 1+3,322gn- число интервалов; при n=30 К=5. xmax и xmin - минимальное и максимальное значения признака.

Определяем границы интервалов. Для первого интервала левая граница равна xmin, а правая – xmin +i и, для второго, соответственно - xmin +i и xmin +2i и т.д.

Строим таблицу частоты распределения значений признака по интервалам и гистограмму. Для определенности считаем, что значение признака, лежащее на границе двух интервалов, попадает в правый интервал.

Для показателя x:

Определяем границы интервалов и строим таблицу частоты распределения значений признака по интервалам:

Границы интервалов		Число предприятий
31,4	34,02	8
34,02	36,64	9
36,64	39,26	6
39,26	41,88	4
41,88	44,5	3

Строим гистограмму:






Для показателя y:




Определяем границы интервалов и строим таблицу частоты распределения значений признака по интервалам:

Границы интервалов		Число предприятий
30,5	32,08	8
32,08	33,66	8
33,66	35,24	6
35,24	36,82	5
36,82	38,4	3

Строим гистограмму:



3. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону распределения

Для проверки соответствия эмпирического распределения случайной величины нормальному закону распределения в нашем случае (при n<30) можно использовать критерии Шапиро-Уилкса (W) и Колмогорова (D). В нашем случае мы используем критерий Колмогорова.

Сначала определим среднюю величину и среднее квадратическое отключение от нее, считая выборку малой:




Для признака x:



















Для признака y:













Вычисляем ошибку определения средней по выборочной совокупности (ошибку выборки):




где n - численность выборки; N= 100 - численность генеральной совокупности; t - коэффициент доверия; при доверительной вероятности 95,45% t=2.







Для признака x:







Для признака y:




Генеральная средняя располагается в следующих границах:






Определяем эти границы:








Ранжируем значения величин x и y по возрастанию (табл.1.2.):

x₁£ x₂ < …£ x_n-1£ x_n

Таблица 1.2.

X	Y
1	2
31,4	30,5
32,5	30,7
32,7	31,4
32,8	31,3
33,2	31,6
33,3	31,4
33,7	32
33,7	31,9
34,9	32,6
35,4	32,9
35,7	33,2
35,8	32,8
35,9	32,6
36,2	33,7
36,2	33,5
36,3	33,6
36,6	33,7
37,1	33,5
37,8	34,3
38,4	34,6
38,8	35,1
38,8	35
38,9	35,3
39,4	35,8
40,2	35,6
40,3	36,1
41,6	36,3
42,7	37,2
42,8	37,7
44,5	38,4

Перейдем к нормированным значениям аргумента (табл.1.3):




Таблица 1.3.

	t(x)	F(tx)	t(y)	F(ty)
1	2	3	4	5
t1	-1,6	0,0548	-1,6	0,0548
t2	-1,3	0,0968	-1,5	0,0668
t3	-1,2	0,1151	-1,2	0,1151
t4	-1,2	0,1151	-1,1	0,1357
t5	-1,1	0,1357	-1,1	0,1357
t6	-1,1	0,1357	-1,1	0,1357
t7	-0,9	0,1841	-0,9	0,1841
t8	-0,9	0,1841	-0,9	0,1841
t9	-0,6	0,2743	-0,6	0,2743
t10	-0,4	0,3446	-0,6	0,2743
t11	-0,4	0,3446	-0,5	0,3085
t12	-0,3	0,3821	-0,4	0,3446
t13	-0,3	0,3821	-0,3	0,3821
t14	-0,2	0,4207	-0,1	0,4602
t15	-0,2	0,4207	-0,1	0,4602
t16	-0,2	0,4207	-0,1	0,4602
t17	-0,1	0,4602	-0,1	0,4602
t18	0,1	0,5398	-0,1	0,4602
t19	0,3	0,6179	0,2	0,5793
t20	0,4	0,6554	0,4	0,6554
t21	0,6	0,7257	0,6	0,7257
t22	0,6	0,7257	0,6	0,7257
t23	0,6	0,7257	0,7	0,7580
t24	0,7	0,7580	0,9	0,8159
t25	1,0	0,8413	0,9	0,8159
t26	1,0	0,8413	1,1	0,8643
t27	1,4	0,9192	1,2	0,8846
t28	1,7	0,9554	1,6	0,9452
t29	1,7	0,9554	1,8	0,9641
t30	2,2	0,9861	2,2	0,9861

Принимаем значения эмпирической функции распределения в точке t равным следующему значению (табл.1.4):







где i= 1, 2,...,n. При t< t₁ F*(t)=0, а при t>t_n F*(t)=l.




Таблица 1.4.

	F*(ti)
1	2
1	0,016667
2	0,05
3	0,083333
4	0,116667
5	0,15
6	0,183333
7	0,216667
8	0,25
9	0,283333
10	0,316667
11	0,35
12	0,383333
13	0,416667
14	0,45
15	0,483333
16	0,516667
17	0,55
18	0,583333
19	0,616667
20	0,65
21	0,683333
22	0,716667
23	0,75
24	0,783333
25	0,816667
26	0,85
27	0,883333
28	0,916667
29	0,95
30	0,983333

Определим максимальное значение модуля разности между эмпирической функцией распределения F*(t) и теоретической функцией для нормального закона распределения F(t) (значения F(t) представлены в табл.3.2):
















и определяем величину:







Для признака x:




Для признака y:










Затем по таблице определяем в зависимости от l вероятность Р(l), того что за счёт чисто случайных причин расхождение между F*(t) и F(t) будет не больше, чем фактически наблюдаемое.

При сравнительно больших Р(l) теоретический закон распределения можно считать совместимым с опытными данными.

Раздел 2. Исследование взаимосвязи двух количественных признаков

1. Оценка тесноты корреляционной связи

Из логических соображений выдвинем предположение, что признак (названный нами y) зависит от второго исследуемого признака x.

Используя проведенное в первом разделе разбиение значений x на интервалы, построим аналитическую таблицу:




Аналитическая таблица исследования зависимости признака y от признака x

Группы предприятий по признаку x	Число предприятий в j-ой группе mj	Признак y
		Суммарное значение в группе	Среднее значение признака yi в j-ой группе на одно предприятие
31,4 – 34,02	8	250,8	31,3500
34,02 – 36,64	9	298,6	33,1778
36,64 – 39,26	6	207,8	34,6333
39,26 – 41,88	4	143,8	35,9500
41,88 – 44,5	3	113,3	37,7667

Далее рассчитываем общую дисперсию:










где - среднее значение признака для всей выборки, и межгрупповую дисперсию:













где - среднее значение признака в j-й группе; m_j- численность j-й группы; k - число групп.




Для оценки тесноты связи между признаками y и x рассчитываем корреляционное отношение:







Оценку тесноты связи признаков y и x проводим по шкале Чеддока:

-если 0,3<h£0,5, то теснота связи заметная;

-если 0,5<h£0,7, то теснота связи умеренная;

-если 0,7<h£0,9, то теснота связи высокая;

-если 0,9<h£0,9(9), то теснота связи весьма высокая.




2. Определение формы связи двух признаков

Примерное представление о виде зависимости y от x даёт линия, проведённая через точки, соответствующие групповым средним и полученные на основе аналитической таблицы следующим образом: среднему значению признака в j-ой группе ставится в соответствие не середина интервала группирования по признаку x, а среднее значение , полученное из соответствующих интервалу значений признака x. Можно воспользоваться следующим приемом: построим все точки, соответствующие парам (х_i;у_i), в декартовой системе координат и провести линию через середины скоплений точек (График № 1).

Затем по справочнику плоских кривых и виду линии подбираем соответствующее уравнение регрессии. Однако не следует брать слишком сложное уравнение. В нашем случае берём линейную функцию:




Вычислив частные производные и приравняв их к нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а и b. В нашем случае система уравнений имеет вид:













Решая эту систему уравнений относительно b, получим:










Решая первое уравнение относительно а, получим:








Т.о.:

Линейный коэффициент корреляции равен:

где s_x и s_y - средние квадратические отклонения признаков x и y.






Рассчитаем общую дисперсию:




и остаточную дисперсию:




где y_x(х_i) - значение величины y, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него значения x_i; y_i- значение величины y в исходной таблице, соответствующее значению x_i.







Определим индекс корреляции:







Индекс корреляции принимает значения 0£ i £1.






Т.к. i близок к единице, то связь между признаками хорошо описана выбранным уравнением регрессии. Для линейной зависимости дополнительным условием для такого заключения является близость значений r и i.

Можно выбрать несколько видов уравнения регрессии. Наилучшим из них будет то уравнение, которому соответствует меньшая средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии:

где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.






Принимая во внимание то, что мы имеем дело с малой выборкой, необходимо оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии, а также индекса корреляции i и линейного коэффициента корреляции r. Значимость линейного коэффициента корреляции r оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Фактическое значение критерия Стьюдента равно:
















Критическое (предельное) значение критерия Стьюдента t_k, берем из табл.4 приложения, задаваясь уровнем значимости a=5,0 и имея число степеней свободы равное:

k=n-2

Если t_r>t_k, то величину линейного коэффициента корреляции считаем значимой и можем использовать в расчетах.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии а и b также оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента равны:










Учитывая, что число степеней свободы также равно k=n-2, сравнение фактических значений критерия Стьюдента ведем с уже найденным критическим значением t_k.

Если t_a>t_k, t_b>t_k, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим, и мы можем им пользоваться. Значимость индекса корреляции определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое значение критерия Фишера равно:




где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.



Табличное значение критерия Фишера F_k; определяется по табл.5 приложения, задаваясь уравнением значимости a и числом степеней свободы k₁=m-l; k₂=n-m.







Если Fi>Fk, то величину индекса корреляции считаем значимой и можем ее использовать в расчетах.

Если коэффициенты а и b, а также линейный коэффициент корреляции r и индекс корреляции i значимы, то все наши расчеты и выводы, опирающиеся на эти величины, правомерны и мы можем использовать полученное уравнение регрессии для прогноза. Ошибка прогноза будет зависеть, в частности, от остаточной дисперсии s²_e.

Раздел 3. Изучение динамических рядов

1. Изучение сезонных явлений

Исследуем сезонные процессы в наших двух динамических рядах. При изучении сезонных явлений из уровней динамического ряда целесообразно вычесть значения, получаемые по уравнению тренда, которые отражают основную тенденцию развития.

При изучении периодических процессов в качестве аналитической модели используем ряд Фурье:







где k=1; j=1.

Для нахождения коэффициентов a₀, a_j, b_j применяем метод наименьших квадратов.

Получаем:

























Для признака x: Для признака y:































Обычно для расчётов используют ежемесячные данные за один год или несколько лет. В этом случае интервал между двумя соседними месяцами принимают равным:









Построив модель сезонных колебаний, положим для уточнённого изучения основной тенденции a₀ =0. Исключим сезонные колебания из уровней динамического ряда (табл.3.1.1).




Таблица 3.1.1

xt	yt
2661,669	3613,236
2875,587	3822,011
2963,355	3982,202
3123,42	4283,029
3220,836	4428,087
3326,98	4610,676
3286,852	4566,172
3263,324	4538,486
3116,237	4319,251
3036,962	4198,99
2900,234	3993,958
2894,491	3990,848
2874,626	3974,423
2997,766	4181,021
3084,173	4339,299
3262,659	4638,991
3338,698	4783,995
3444,038	4907,625
3403,894	4924,979
3381,141	4899,469
3315,414	4682,148
3157,719	4563,026
3022,368	4358,052
3017,432	4353,904
2997,586	4365,623

2. Определение основной тенденции развития

Для выявления основной тенденции развития применяют аналитическое выравнивание. В результате выравнивания получают зависимость изучаемого показателя от времени, т.е. трендовую модель. Используем линейную трендовую модель:









Наиболее тщательно выбирают модель для целей экстраполяции значений показателя. Значение х и у выбираем из табл.6 приложения.

Коэффициенты уравнения определяем методом наименьших квадратов. В нашем случае система уравнений относительно коэффициентов a₀ и a₁ имеет вид:




и коэффициенты a₀ и a₁ равны:










Для признака x:













Для признака y:



























3. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов

Продолжаем рассмотрение двух выбранных нами рядов динамики. При исследовании тесноты связи между их уровнями на первое место выступает анализ смысла связи между рядами и установление факторного и результативного признаков. Без такого анализа значение коэффициента корреляции может выражать только случайное сопутствие в изменении уровней двух рядов.

Применение традиционных приемов изучения корреляции к динамическим рядам сопряжено со следующими особенностями:

1. В социально-экономических рядах динамики имеет место тенденция, вызванная действием постоянных факторов: последующие уровни рядов динамики зависят от последующих, т.е. имеется автокорреляция и авторегрессия. Это говорит о том, что нарушена одна из предпосылок применения теории корреляции - независимость отдельных наблюдений друг от друга. Если автокорреляцией при этом пренебречь, то полученная зависимость будет отражать взаимосвязь, которой в действительности не существует, или искажать реально существующую взаимосвязь.

2. Второй особенностью изучения корреляции динамических рядов является наличие временного лага, т.е. сдвига по времени изменения уровней одного ряда по отношению к изменению уровней другого ряда. Если сдвинуть уровни одного ряда относительно другого и убрать временной лаг, то получим верную оценку тесноты корреляционной связи уровней двух динамических рядов.

3. Третьей особенностью является изменение тесноты корреляционной связи уровней динамических рядов со временем.

Вначале устраняем временной лаг, значение которого определяем графически или подбором; с расчетом коэффициента корреляции.

Затем приступаем к исследованию взаимосвязи уровней. Существует четыре направления изучения корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов:

- коррелирование уровней;

- коррелированно разностей;

- коррелирование остатков (отклонений от трендов);

- коррелирование с учетом фактора времени.

3.1. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования уровней

Нам следует построить уравнение авторегрессии для каждого из изучаемых динамических рядов, проверив наличие временного лага:



















где L – величина временного лага (L=1).































Для динамического ряда x_i:

























Для динамического ряда y_i:



















Т.к. полученные коэффициенты корреляции больше табличного, то переходим к следующему методу.

3.2. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования разностей

По первоначальным динамическим рядам x_i, y_i с количеством членов n строим новые динамические ряды u_i, w_i с количеством членов n-1(табл.3.2.1), где:



















Таблица 3.2.1

ui	wi
640	224
336	-164
164	-276
-144	-530
-316	-410
-530	-396
-450	-44
-396	104
-84	456
104	470
416	590
470	336
550	224
336	-164
184	-276
-164	-530
-316	-470
-530	-336
-450	-44
-316	104
-164	456
104	470
416	590
470	366

Далее считаем автокорреляцию для динамических рядов u и w:




Для динамического ряда u_i:



















Для динамического ряда w_i:



















Т.к. полученные коэффициенты корреляции больше табличного, то переходим к следующему методу.




3.3.Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования остатков (отклонений от трендов)

В данном случае зависимость ищется в виде ey_i=f(ex_i), где:





































Значения и представлены в табл.3.3.1:

Таблица 3.3.1

3642,182105	5521,14579
4045,276912	5549,19234
4270,521342	5237,823029
4251,468517	4673,817411
3987,065165	4011,580844
3541,933559	3431,813196
3029,073401	3093,139015
2579,614001	3089,646833
2307,713526	3425,703505
2280,001083	4014,785285
2497,741411	4702,638546
2896,496334	5308,570463
3363,373599	5673,816955
3767,245937	5704,040732
3993,851263	5394,583544
3976,378415	4831,713105
3713,351191	4169,53091
3269,023502	3588,722272
2756,179857	3248,190391
2305,945146	3242,52107
2032,68507	3576,663941
2003,392677	4164,607546
2219,755627	4852,402924
2617,70444	5459,372744
3084,562645	5826,4751

Для признака x_i:
















Для признака y_i:



















Т.к. полученные коэффициенты корреляции опять больше табличного, то переходим к следующему методу.

3.4. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования с учётом фактора времени

Для более удобного расчёта изменяем масштаб времени, т.е. Dt =1. Простейшее уравнение регрессии имеет вид:







Тогда система уравнений, полученная методом наименьших квадратов имеет следующий вид:































Необходимо отметить, что в этом методе коэффициент автокорреляции не исследуется.

Решение системы уравнений методом Гаусса, все необходимые данные в табл.3.4.1:




Таблица 3.4.1

	t	x2	xt	yx	t2	yt
	1	2	3	4	5	6	7
	1	8410000	2900	14111400	1	4866	710092,7896
	2	12531600	7080	18018600	4	10180	534945,7467
	3	15023376	11628	19093176	9	14778	144386,4657
	4	16321600	16160	18786000	16	18600	0,047492264
	5	15178816	19480	16051520	25	20600	234012,5049
	6	12816400	21480	13281800	36	22260	583789,6833
	7	9302500	21350	10107700	49	23198	858020,2697
	8	6760000	20800	8502000	64	26160	601299,3152
	9	4857616	19836	7436296	81	30366	252847,3424
	10	4494400	21200	8119600	100	38300	899,2211526
	11	4946176	24464	9563200	121	47300	133539,1856
	12	6969600	31680	12909600	144	58680	531592,5221
	13	9672100	40430	16252860	169	67938	660179,6832
	14	13395600	51240	19947000	196	76300	555049,3853
	15	15968016	59940	21122856	225	79290	154919,9389
	16	17472400	66880	20941800	256	80160	16,86990836
	17	16128256	68272	17991680	289	76160	221023,9832
	18	13690000	66600	14837000	324	72180	656820,769
	19	10048900	60230	11646580	361	69806	832979,8976
	20	7398400	54400	9873600	400	72600	580367,2874
	21	5779216	50484	8976536	441	78414	278922,6984
	22	5017600	49280	9385600	484	92180	267,9934274
	23	5494336	53912	10923040	529	107180	143676,3624
	24	7617600	66240	14490000	576	126000	551633,6354
	25	10432900	80750	18139680	625	140400	732960,1726
Сумма	325	255727408	986716	350509124	5525	1453896	9954243,77

Далее определяем индекс корреляции:






















где y_x(x_i) – значение величины y, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него значений x_i и t_i; y_i – значения y из исходной таблицы.




























Значимость индекса корреляции определяем с помощью критерия Фишера, фактическое значение критерия Фишера равно:






















Табличное значение критерия Фишера определяем по табл.5 приложения, задаваясь уравнением значимости a и числом степеней свободы k₁=m-1; k₂=n-m.










Если то величину индекса корреляции считаем значимой.




Определим коэффициент детерминации:













Следовательно, величина y зависит от величин x и t на 98,01%. Остальные 1,99% - это зависимость величины y от неучтённых величин.

Подводя итог необходимо отметить, что в исследовании методом коррелирования динамических рядов, с учётом фактора времени была определена весьма высокая теснота связи, равная 0,9900; величина коэффициента детерминации равная 0,9801 говорит о том, что величина y зависит от величин x и t, включённых в уравнение, на 98,01%, все остальные 1,99% - это зависимость величины y от неучтённых величин.