Часть 1.

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.


Дано:

Для схемы:

U₀(t)= U₀=const           U₀=5 В

i₀(t)=I₀d₁(t)                   I₀=2 A
1.1 
Составить уравнения состояния для цепи при
t
³
0.

Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С₁ и С₄. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:
(1)                                           
Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:

(2)
Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:


Таким образом, уравнения состояния будут иметь вид:




1.2 Найти точные решения уравнений состояния.

Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:


Общий вид точных решений уравнений состояния:


Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:




Начальные условия (находятся из схемы):
Для нахождения постоянных интегрирования A₁, A₂, A₃, A₄ требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.





     При t=0:
Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:


Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:


При t=0:
Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:


Точные решения уравнений состояния:




1.2 
Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:


Подставляя выражения производных из уравнений состояния:


h – шаг расчета =2*10^-6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.


1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)


e^(A)t = a₀ + a₁(A)                                 e^(A)t=
(X) = [e^(A)t-1][A]^-1[B][V]


1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния.


Часть 2.

Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.
Анализу подлежит следующая цепь:


Параметры импульса:           U_m=10 В          t_u=6*10^-5 c

Форма импульса:


2.1 Определить функцию передачи:      



воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U₀(s)=1/s.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:


Решаем эту систему:


Таким образом:


Функция передачи:


2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.Полюсы:



Нули:


Плоскость комплексной частоты:


2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.
Импульсная характеристика:
Выделим постоянную часть в H_U(s):


Числитель получившейся дроби:


Упрощенное выражение H_U(s):


Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:


Коэффициенты разложения:


Оригинал импульсной характеристики:




Переходная характеристика:
Этим же методом находим оригинал характеристики:






2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.
Изабражение по Лапласу фукции f(t):


Входной импульс представляет собой функцию
Поэтому изображение входного сигнала будет





2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя
H_U
(
s
).

Изображение выходного сигнала:

Найдем отдельно оригиналы части выражения при  и при части, не имеющей этого множителя:


Для части выражения при ,используя теорему о разложении:


Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении:

Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:





2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы.
Переходная h₁(t) и импульсная h(t) характеристики.


Входной и выходной сигналы.







Часть 3.

Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.
3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи H_U(s).
амплитудно-фазовая характеристика:



амплитудно-частотная характеристика:


фазо-частотная характеристика:

График АЧХ:


График ФЧХ:

3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707
.

Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с^-1.
3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1
.

Амплитудный спектр входного сигнала:


Фазовый спектр входного сигнала:


График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:


Ширина спектра с^-1 .

3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.
Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*10⁴ с^-1, где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис.
3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала.
Получаются по формулам:






3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.

Вещественная характеристика:



Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и  вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции.


График вещественной характеристики:


Тогда:
График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2.



Часть 4.

Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.
Дано: T=18*10^-5c. U_m=10 В. t_u=6*10^-5c.

форма сигнала u₀(t):


4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.

Коэффициенты ряда Фурье для u₀(t) найдём из следующего соотношения:



где w₁ = 2p/Т , k=0, 1, 2, ... w₁₌3.491*10⁴с.

Значения A_k и a_k приведены в табл. ,на рис. ,  построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u₀(t).


Таким образом, в соответствии с шириной спектра .





4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3.


4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений kw₁, k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда









В итоге получим:




4.4 Построить напряжение на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.