Курсовая Тригонометрические уравнения и неравенства

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 20.2.2025

Элементарные тригонометрические уравнения

Элементарные тригонометрические уравнения --- это уравнения вида , где  --- одна из тригонометрических функций: , , , .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению  удовлетворяют следующие значения: , , ,  и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:

Здесь  может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения)  называют параметром. Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр  принимать любые целые значения.

Решения уравнения , где , находятся по формуле

Уравнение  решается применяя формулу

а уравнение  --- по формуле

 Если  --- основной период функции , то число  является основным периодом функции .

Периоды функций  и  называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа  и , что .

 Если периодические функции  и , имеют соизмеримые  и , то они имеют общий период , который является периодом функций , , .

В теореме говорится о том, что  является периодом функции , , , и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций  и  --- , а основной период их произведения --- .

Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида  является следующий прием: пусть  --- угол, задаваемый равенствами , . Для любых  и  такой угол существует. Таким образом . Если ,  или , , , в других случаях .

Схема решения тригонометрических уравнений

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения  ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: , , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;

3) поскольку , то ответ можно записать в виде , . (В дальнейшем наличие параметра , ,  или  в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Например, при  справедливо равенство . Следовательно, в двух первых случаях, если , мы можем заменить  на .

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения  работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)

 Решить уравнение .

Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два:  и . Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем .

Поскольку , то, заменяя  и  по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим , откуда .

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, , то окажется, что , т.е. уравнение  имеет решение , в то время как первый способ нас приводит к ответу . "Увидеть" и доказать равенство  не так просто.

.

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

В общем случае, если разность прогрессии , нулевой член , формула для любого (-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:

1. Если к нулевому члену  прибавить или отнять разность прогрессии , то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.

2. Если коэффициент при переменной величине  умножить на , то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.

3. Если  последовательных членов бесконечной прогрессии

например , , , ..., , сделать центральными членами  прогрессий с одинаковой разностью, равной :

 Ряд  может быть заменен следующими тремя рядами: , , .

4. Если  бесконечных прогрессий с одинаковой разностью  имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью , то эти  рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью , и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если

то эти  прогрессий объединяются в одну:

 , , ,  обе объединяются в одну группу , так как .

Разложение на множители

    

могут не входить в область определения функции .

 Решить уравнение .

Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

; .

 Решить уравнение .

.

 Решить уравнение .

В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения . В итоге получим равносильное уравнение

, .

Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

 Решить уравнение  

, .

 Решить уравнение .

.

.

Решение уравнений с применением формул понижения степени

 Решить уравнение .

.

; .

Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента

 Решить уравнение .

; .

 Решить уравнение .

Применим формулы понижения степени получим: . Применяя

.

; .

Равенство одноименных тригонометрических функций

 Решить уравнение .

, .

 Решить уравнение .

Преобразуем уравнение.

.

 Известно, что  и  удовлетворяют уравнению

Найти сумму .

.

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Рассмотрим суммы вида




Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на , тогда получим

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:





Пример  Решить уравнение .

Решение. Видно, что множество  является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на  не приведет к появлению лишних корней.

Имеем .

Ответ. ; .
Пример  Решить уравнение .

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на  и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений  и , откуда  и .

Так как корни уравнения  не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить . Значит во множестве  нужно исключить .

Ответ.  и , .
Пример  Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :


Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

то замена  приводит его к квадратному, поскольку  (

Если вместо слагаемого  будет , то нужная замена будет .

представлением  как . Легко проверить, что  при которых , не являются корнями уравнения, и, сделав замену , уравнение сводится к квадратному.

 Решить уравнение .

Перенесем  в левую часть, заменим ее на ,  и  выразим через  и .

После упрощений получим: . Разделим почленно на , сделаем замену :

Возвращаясь к , найдем .

Уравнения, однородные относительно ,

                                                 

где , , , ..., ,  --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения

степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно  и , а число  называется показателем однородности.

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения , при которых , т. е. числа , . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения

При  получим: ,  и левая часть уравнения (1) принимает значение .

Итак, при ,  и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой  легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При  имеем уравнение .

Если , то это уравнение равносильно уравнению , , откуда , .

 Решите уравнение .

Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на  получим: , , , .

.

 При  получим однородное уравнение вида

Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой  легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни , . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: ,  , .

Если , то уравнение не имеет решений.

 Решите уравнение .

Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . , , ; , , .

.

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

В частности, уравнение  сводится к однородному, если заменить  на , тогда получим равносильное уравнение:  

 Решите уравнение .

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

 Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: , , , , .

.

 Решите уравнение .

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: , ,

Пусть , тогда получим , , .

.

Уравнения, решаемые с помощью тождеств

 Решить уравнение .

.

Аналогично, .

 Решить уравнение .

Преобразуем выражение :

.

Принимая , получаем . , . Следовательно

.

где  --- рациональная функция с помощью фомул

можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов , , , , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно  с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

          

                   

может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку  не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.

 Решить уравнение .

По условию задачи . Применив формулы

и сделав замену , получим

откуда  и, следовательно, .

Уравнения вида

Уравнения вида , где  --- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных

  

 Решить уравнение .

и учитывая, что , получим

откуда , .  --- посторонний корень, т.к. . Корнями уравнения  являются .

Использование ограниченности функций

В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций  и . Например:

 Решить уравнение .

Поскольку , , то левая часть не превосходит  и равна , если

Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго: , . Тогда , .

Понятно, что лишь для четных  будет .

.

 Решить уравнение .

Воспользуемся свойством показательной функции: , .

                                

Следовательно левая часть данного уравнения равна  тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

т. е.  может принимать значения , , , а  может принимать значения , .

, .

 Решить уравнение .

, . Следовательно, .

.

        

Обозначим , тогда из определения обратной тригонометрической функции  имеем  и .

Так как , то из уравнения

следует неравенство , т.е. . Поскольку  и , то  и . Однако  и поэтому .

Если  и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

, .

являются .

 при любых  может принимать только положительные значения.

Представим функцию  следующим образом: .

Поскольку , то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства , необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что . Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения

Так как , то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения

не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения

может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

.

Обозначим  и . Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем . Отсюда следует, что . C другой стороны имеет место . Следовательно, уравнение не имеет корней.

.

.

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение  в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций  и , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке , то при наличии у уравнения  корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция  ограничена сверху, причем , а функция  ограничена снизу, причем , то уравнение  равносильно системе уравнений

и решим его как квадратное относительно . Тогда получим,

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции , приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке . На этом промежутке функция  возрастает, а функция  убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим .

.

Пусть ,  и , тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения . Поскольку  функция нечетная, то . В таком случае получаем уравнение .

Так как ,  и  монотонна на , то уравнение  равносильно уравнению , т.е. , которое имеет единственный корень .

.

 Решить уравнение .

На основании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция  убывающая (функция  убывающая,  возрастающая,  убывающая). Отсюда понятно, что функция  определенная на , убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня. Так как , то

.

 Решить уравнение .

а) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению . Которое на промежутке  решений не имеет, т. к. , , а . На промежутке  исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. , а .

б) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

корнями которого на промежутке  являются числа , , , .

в) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

                                       

Которое на промежутке  решений не имеет, т. к. , а . На промежутке  уравнение так же решений не имеет, т. к. , , а .

, , , .

Метод симметрии

 Найти все значения параметра , при которых уравнение  имеет единственное решение.

Заметим, что  и  --- четные функции, поэтому левая часть уравнения есть четная функция.

Значит если  --- решение уравнения, то  есть также решение уравнения. Если  --- единственное решение уравнения, то, необходимо, .

Отберем возможные значения , потребовав, чтобы  было корнем уравнения.

Сразу же отметим, что другие значения  не могут удовлетворять условию задачи.

Но пока не известно, все ли отобранные  в действительности удовлетворяют условию задачи.

1) , уравнение примет вид  .

2) , уравнение примет вид:

Очевидно, что , для всех  и . Следовательно, последнее уравнение равносильно системе:

Тем самым, мы доказали, что при , уравнение имеет единственное решение.

.

Решение с исследованием функции

                           

Основной период исходного уравнения равен . Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке .

Если , то из предыдущих равенств получаем:

Решив полученное уравнение, получим: .

Выполненные вычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку , являются ,  и .

Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа , .

 Решите уравнение .

Найдём основной период уравнения. У функции  основной период равен . Основной период функции  равен . Наименьшее общее кратное чисел  и  равно . Поэтому основной период уравнения равен . Пусть .

Очевидно,  является решением уравнения. На интервале . Функция  отрицательна. Поэтому другие корни уравнения следует искать только на интервалаx  и .

При помоши микрокалькулятора сначала найдем приближенные значения корней уравнения. Для этого составляем таблицу значений функции  на интервалах  и ; т. е. на интервалах  и .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Из таблицы легко усматриваются следующие гипотезы: корнями уравнения, принадлежащими отрезку , являются числа: ; ; . Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу.

; ; .

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

При решении тригонометрических неравенств вида , где  --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа . Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример  Решите неравенство .
Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .



Для  решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число  будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то  также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Ответ. .

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые  и  соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.


Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол  с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки  до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
Пример  Решите неравенство .

Решение. Обозначим , тогда неравенство примет вид простейшего: . Рассмотрим интервал  длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что . Вспоминаем теперь, что необходимо добавить , поскольку НПП функции  . Итак, . Возвращаясь к переменной , получаем, что .

Ответ. .

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Заметим, что если  --- периодическая функция, то для решения неравенства   необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .

Рассмотрим решение неравенства  ().

Поскольку , то при  неравенство решений не имеет. Если , то множество решений неравенства  --- множество всех действительных чисел.

Пусть . Функция синус имеет наименьший положительный период , поэтому неравенство  можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке . Строим графики функций  и  ().

На отрезке  функция синус возрастает, и уравнение , где , имеет один корень . На отрезке  функция синус убывает, и уравнение  имеет корень . На числовом промежутке  график функции  расположен выше графика функции . Поэтому для всех  из промежутка ) неравенство  выполняется, если . В силу периодичности функции синус все решения неравенства  задаются неравенствами вида: .

Аналогично решаются неравенства , , и т.п.

 Пример  Решим неравенство .
Решение. Рассмотрим график функции


и выберем из промежутка  на оси  значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции  все решения неравенства  можно записать так: .

Ответ. .
Пример  Решите неравенство .
Решение. Нарисуем график функции . Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой .


Это точка с абсциссой . По графику видно, что для всех  график функции лежит ниже прямой . Следовательно, эти  и составляют:

Ответ. .




ОТБОР КОРНЕЙ
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.
Пример  Найти ближайший к числу  корень уравнения


Решение.





Подставляя последовательно в формулу  вместо переменной  выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них , а затем сравним полученные минимальные  между собой.

a)

Ясно, что  достигается при , то есть .

б)

.

в).

г).

.

Выберем минимальное из чисел , . Сразу ясно, что  и что . Оталось сравнить  и . Предположим, что







Последнее неравенство --- верное, а все сделанные переходы --- равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа  и  расположен на участке  монотонного возрастания функции . В случае перехода (**) формула  справедлива, так как .

Ответ. .
Пример  Найти корни уравнения: .
Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию . При этом заботится об условии  нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый шаг нас приводит к уравнению , откуда .

Теперь надо определить, при каких  будет . Для этого достаточно для  рассмотреть значения , , , т. е. <<обойти один раз круг>>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .

Ответ. , .

Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.
Пример  Решить уравнение:


Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:




Но  --- не годится.

Ответ. .

Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:

Ответ. .


 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Тест по теме <<Тригонометрические уравнения>>
• Объединение каких множеств , , ,  является решением уравнения

, , , .

a) ,  б) ,  в) ,  г) ,
• Решите уравнение .

a) б) в)  г)
• Решите уравнение .

a)

б)

в)

г)
• Решите уравнение .

a)

б)

в)

г)
• Решите уравнение .

a)

б)

в)

г)
• Среди множеств ,  найдите решение уравнения



и укажите те, которые не являются подмножествами друг друга.

, , , , .

а)  б)  в)  г)
• Среди множеств ,  найдите решение уравнения











а)  б)  в)  г)
• Решите уравнение .

а)  б)

в)  г)
• Решите уравнение



а)

б)

в)

г)
• Решите уравнение .

а)  б)

в)  г)
• Сумма корней уравнения  на отрезке  равна:

а)  б)  в)  г)
• Решите уравнение



В ответе записать количество корней уравнения, принадлежащих отрезку .

а)  б)  в)  г)

• Решить уравнение

а)  б)

в)  г)
• Решите уравнение .

a)  б)

в)  г)
• Решите уравнение



a)

б)

в)

г)
Найдите набольший отрицательный корень уравнения:



a)  б)

в)  г)
• Решите уравнение  на множестве .

a)

б)

в)

г)
• Решите уравнение .

a)  б)

в)  г)
• Решить уравнение .

а)  б)  в)  г)
• Решите уравнение .

a)

б)  или

в)  или  и

г)  или  и  
Ответы 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в или г 14а 15в 16в 17в 18а или б 19г 20в


ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические --- характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств,--- так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.

В дипломной работе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов. Приведены решения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).

Результаты данной дипломной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке курсовых и дипломных работ, при составлении факультативов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к вступительным экзаменам и централизованному тестированию.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.

Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001.

Азаров А.И., уравнения/Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Мн.: Тривиум, 1994.

Литвиненко В.Н., Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н.--- М.: Просвещение, 1991.

Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991.

Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.

Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике/Василевский А.Б. --- Мн.: Народная асвета. 1988. --- 176с.

Сапунов П. И., Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений/Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935.

Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.

Самусенко А.В., Математика: Типичные ошибки абитуриентов: Справочное пособие/Самусенко А.В., Казаченок В.В.--- Мн.: Вышейшая школа, 1991.

Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач/Азаров А.И., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсэв, 2004.