Выборка банков
Таблица 1 – Список 30 крупнейших банков России по размеру капитала, млн. руб.

Ранг	Название банка	Город	Чистые активы	Прибыль
1	Внешторгбанк	Москва	25286	1962
2	ОНЭКСИМбанк	Москва	19221	266
3	Инкомбанк	Москва	17275	744
4	Империал	Москва	6649	429
5	Международный московский банк	Москва	7609	290
6	Международный промышленный банк	Москва	4887	18
7	Российский кредит	Москва	12278	367
8	МЕНАТЕП	Москва	11058	146
9	Промстройбанк России	Москва	5651	239
10	Уникомбанк	Москва	3743	57
11	Возрождение	Москва	4079	158
12	Московский деловой мир	Москва	1951	340
13	Нефтехимбанк	Москва	2568	41
14	Ланта-банк	Москва	630	35
15	ИнтерТЭКбанк	Москва	1295	57
16	Гута-банк	Москва	5636	66
17	Совфинтрейд	Москва	1356	215
18	Совиндбанк	Москва	811	301
19	Русский банк имущественной опеки	Москва	425	21
20	Чейз Манхеттен Банк Интернэшил	Москва	2317	335
21	Еврофинанс	Москва	1283	96
22	Омскпромстройбанк	Омск	650	62
23	Запсибкомбанк	Тюмень	1137	133
24	Диалог-Банк	Москва	1012	127
25	Кредит Свисс АО	Москва	2869	118
26	МАПО-Банк	Москва	1237	5
27	Росэксимбанк	Москва	339	95
28	Уральский банк реконструкции и развития	Екатеринбург	513	115
29	Уралтрансбанк	Екатеринбург	622	143
30	Пробизнесбанк	Москва	1486	88

Способ отбора банков – механический. Я выбрал каждый второй банк.
a)                 1 Анализ выборочной совокупности
b)                а) Количество групп определяем по формуле Стерджесса:
n = 1+3,322 lg N
где: n – число групп;

N – число единиц совокупности.

n=1+3,322 lg 30=5,906997≈6

Величина интервала определяется по формуле:
h = (X_max – X_min) /n
где: X_max – максимальное значение группировочного признака;

X_min – минимальное значение группировочного признака.

h₁=(25286–425)/6 = 4143,5 млн. руб.
Таблица 2 – Группировка банков по чистым активам, млн. руб.

№ группы	Группы банков по чистым активам	Число банков
1	425–4568,5	20
2	4568,5–8712	5
3	8712–12855,5	2
4	12855,5–16999	0
5	16999–21142,5	2
6	21142,5–25286	1
Итого		30

h₂ = (1962–5)/6=326,2 млн. руб.




Таблица 3 – Группировка банков по прибыли, млн. руб.

№ группы	Группы банков по прибыли	Число банков
1	5–331,16	24
2	331,16–657,32	4
3	657,32–983,48	1
4	983,48–1309,64	0
5	1309,64–1635,8	0
6	1635,8–1962	1
Итого		30

б) Графики по данным полученных рядов:

Рисунок 1 – Группировка банков по чистым активам, млн. руб.


Рисунок 2 – Группировка банков по прибыли, млн. руб.


в) Средняя арифметическая взвешенная находится по формуле:
x = ∑ x_i * f_i / ∑ f_i



Таблица 4 – Таблица для расчета средней арифметической по чистым активам

№ группы	Группы банков по чистым активам	Число банков, f	Середина интервала, X i	X*f	S
1	425–4568,5	20	2496,75	49935	20
2	4568,5–8712	5	6640,25	33201,25	25
3	8712–12855,5	2	10783,75	21567,5	27
4	12855,5–16999	0	14927,25	0	27
5	16999–21142,5	2	19070,75	38141,5	29
6	21142,5–25286	1	23214,25	23214,25	30
Итого		30		166059,5

х=166059,5/30=5535,3 млн. руб.
Таблица 5 – Таблица для расчета средней арифметической по прибыли

№ группы	Группы банков по прибыли	Число банков, f	Середина интервала, X i	X* f	S
1	5–331,16	24	168,08	4033,92	24
2	331,16–657,32	4	494,24	1976,96	28
3	657,32–983,48	1	820,4	820,4	29
4	983,48–1309,64	0	1146,56	0	29
5	1309,64–1635,8	0	1472,72	0	29
6	1635,8–1962	1	1798,9	1798,9	30
Итого		30		8630,18

х=8630,18/30=287,7 млн. руб.
Мода находится по формуле:


Мо = Хо + К*(F_MO – F_MO-1 / (F_MO – F_MO-1)+(F_MO – F_MO+1))
где: Хо – нижняя (начальная) граница модального интервала;

К – величина интервала;

F_MO - частота модального интервала;

F_MO-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

F_MO+1-частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Находим модальный интервал по наибольшей частоте f₁. Наибольшая частота равна 20. Модальный интервал – [425–4568,5]. Хо = 425, К=4143,5

Мо ₁ = 425 + 4143,5*(20–0/(20–0)+(20–5))= 2604,04 млн. руб.

Вывод: наиболее часто встречается банк с размером чистых активов 2604,04 млн. руб.

f₂ =24. Модальный интервал – [5–331,16]. Хо = 5, К=326,2

Мо ₂ = 5 + 326,2*(24–0/(24–0)+(24–4))= 178,8 млн. руб.

Вывод: наиболее часто встречается банк с размером прибыли 178,8 млн. руб.

Для определения медианы рассчитывают ее порядковый номер (N_Me)
N_Me = (n+1)/2
N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Рассчитываем медиану (Ме) по формуле:
Ме = Хо + К*((S f / 2 – S_Me-1) / f_Me)
где: Хо – нижняя граница медианного интервала;

К – величина интервала;

Sf = n – число единиц совокупности;

S_Me-1 – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу;

f_Me – медианная частота.

Ме ₁ = 425 + 4143,5*((30/2 – 0)/20) = 3426,4 млн. руб.

То есть 15 банков имеет чистые активы более 3426,4 млн. руб. и 15 – менее 3426,4 млн. руб.

Ме ₂ = 5 + 326,2*((30/2 – 0)/24) = 207 млн. руб.

То есть 15 банков имеет прибыль более 207 млн. руб. и 15 – менее 207 млн. руб.

Абсолютные показатели вариации

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значением статистической совокупности. Находится по формуле:
R=X_max – X_min



где: X_max - максимальное значение признака;

X_min - минимальное значение признака.

R₁ = 25286–425 = 24861 млн. руб.

Разница между банком с максимальным размером чистых активов и банком с минимальным размером чистых активов равна 24861 млн. руб.

R₂ =1962–5 = 1957 млн. руб.

Разница между банком с максимальным размером прибыли и банком с минимальным размером прибыли равна 1957 млн. руб.

Среднее линейное отклонение – это средняя величина из отклонений значений признака от их средней. Находится по формуле:
d = S |X_i – X| *f_i / S f_i
где X_i - значение признака;

Х – среднее значение признака;

f – частота.




Таблица 6 – Расчет среднего линейного отклонения по чистым активам

№ группы	Группы банков по чистым активам	Число банков, f	Середина интервала, X i	|X i – Х|	|X i – Х|*f
1	425–4568,5	20	2496,75	-3038,55	-60771
2	4568,5–8712	5	6640,25	1104,95	5524,75
3	8712–12855,5	2	10783,75	5248,45	10496,9
4	12855,5–16999	0	14927,25	9391,95	0
5	16999–21142,5	2	19070,75	13535,45	27070,9
6	21142,5–25286	1	23214,25	17678,95	17678,95
Итого		30			0,5

d = 0,5/30 = 0,02 млн. руб.

Средняя величина из отклонений размера чистых активов от их средней составляет 0,02 млн. руб.
Таблица 7 – Расчет среднего линейного отклонения по прибыли

№ группы	Группы банков по прибыли	Число банков, f	Середина интервала, X i	|X i – Х|	|X i – Х|*f
1	5–331,16	24	168,08	-119,62	-2870,88
2	331,16–657,32	4	494,24	206,54	826,16
3	657,32–983,48	1	820,4	532,7	532,7
4	983,48–1309,64	0	1146,56	858,86	0
5	1309,64–1635,8	0	1472,72	1185,02	0
6	1635,8–1962	1	1798,9	1511,2	1511,2
Итого		30			-0,82

d = -0,82/30 = -0,03 млн. руб.
Средняя величина из отклонений размера прибыли от их средней составляет -0,03 млн. руб.

Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Находится по формуле:


s ² = S (X_i – X)² *f_i / S f_i
Таблица 8 – Расчет дисперсии по чистым активам

Группы банков по чистым активам	Число банков, f	Середина интервала, X i	X i – Х	(X i – Х)2	(X i – Х) 2 *f
425–4568,5	20	2496,75	-3038,55	9232786,1	184655722
4568,5–8712	5	6640,25	1104,95	1220914,5	6104572,5
8712–12855,5	2	10783,75	5248,45	27546227,4	55092454,8
12855,5–16999	0	14927,25	9391,95	88208724,8	0
16999–21142,5	2	19070,75	13535,45	183208406,7	366416813,4
21142,5–25286	1	23214,25	17678,95	312545273,1	312545273,1
Итого	30				924814835,8

s ² =924814835,8/30=30827161,2 млн. руб.
Таблица 9 – Расчет дисперсии по прибыли

Группы банков по прибыли	Число банков, f	Середина интервала, X i	X i – Х	(X i – Х)2	(X i – Х) 2 *f
5–331,16	24	168,08	-119,62	14308,9	343414,7
331,16–657,32	4	494,24	206,54	42658,8	170635,1
657,32–983,48	1	820,4	532,7	283769,3	283769,3
983,48–1309,64	0	1146,56	858,86	737640,5	0
1309,64–1635,8	0	1472,72	1185,02	1404272,4	0
1635,8–1962	1	1798,9	1511,2	2283725,4	2283725,4
Итого	30				3081544,5

s ² = 3081544,5 /30 =102718,1 млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии. Находится по формуле:
σ= Ö (S (X_i – X)²*f_i /S f_i)


σ= Ö 30827161,2 =5552,2 млн. руб.

σ= Ö 102718,1 = 320,5 млн. руб.

Относительные показатели вариации

В общем виде они показывают отношение абсолютных показателей вариации к средней величине. К ним относятся:

Коэффициент осцилляции. Находится по формуле:
V_R = R / x * 100%
V_R1 = 24861 / 5535,3 * 100% = 449,1%

V_R2 =1957 / 287,7 *100% = 680,2%

Относительное линейное отклонение. Находится по формуле:
V_d = d / x * 100%
V_d1 = 0,02 / 5535,3 * 100% = 0,0004%

V_d1 = -0,03 / 287,7* 100% =-0,01%

Коэффициент вариации (характеризует однородность совокупности). Находится по формуле:
V_σ = σ / x * 100%
V_σ1= 5552,2 / 5535,3 * 100% = 100% > 33% (совокупность неоднородная)

V _σ1= 320,5/ 287,7* 100% = 111%> 33% (совокупность неоднородная)

г) Определение количественных характеристик распределения. К ним относятся:

– Показатель асимметрии. Находится по формуле:
As = m₃ / s ³


m₃ = S (X_i – X)³ * f_i / S f_i
где: m₃ – центральный момент 3 – го порядка;

s ³ - среднее квадратичное отклонение в кубе.
Таблица 10 – Расчет асимметрии по чистым активам, млн. руб.

Группы банков по чистым активам	Число банков, f	Середина интервала, X i	X i – Х	(X i – Х)3	(X i – Х) 3 *f
425–4568,5	20	2496,75	-3038,55	-28054282211,7	-561085644234
4568,5–8712	5	6640,25	1104,95	134909479,5	674547397,5
8712–12855,5	2	10783,75	5248,45	144574997210,6	289149994421,2
12855,5–16999	0	14927,25	9391,95	828451932908,8	0
16999–21142,5	2	19070,75	13535,45	2479808228501,3	4959616457002,6
21142,5–25286	1	23214,25	17678,95	5525472255915,4	5525472255915,4
Итого	30				10213827610502,7

m₃ =10213827610502,7 / 30 = 340460920350,1
As = 340460920350,1/171157252096,6 = 1,9 > 0, асимметрия правосторонняя
Таблица 11 – Расчет асимметрии по прибыли, млн. руб.

Группы банков по прибыли	Число банков, f	Середина интервала, X i	X i – Х	(X i – Х)3	(X i – Х) 3 *f
5–331,16	24	168,08	-119,62	-1711635,9	-41079261,6
331,16–657,32	4	494,24	206,54	8810742,7	35242970,8
657,32–983,48	1	820,4	532,7	151163900,8	151163900,8
983,48–1309,64	0	1146,56	858,86	633529919,5	0
1309,64–1635,8	0	1472,72	1185,02	1664090879,9	0
1635,8–1962	1	1798,9	1511,2	3451165884,9	3451165884,9
Итого	30				3596493494,9

m₃ = 3596493494,9 / 30 = 119883116,5

As = 119883116,5/32921840,1= 3,6>0, асимметрия является правосторонней.

Чтобы определить является ли асимметрия существенной или несущественной рассчитывают отношение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению:
As / s_As
где: s_As - среднеквадратическая ошибка асимметрии.

Она зависит от объема совокупности и рассчитывается по формуле:
s_As = Ö 6*(n – 1)/(n+1)*(n+3)
s_As = Ö 6 * (30 – 1)/(30+1)*(30+3) = 0,4

As / s_As (по чистым активам) = 1,9 / 0,4 = 4,75>3

As / s_As (по прибыли) = 3,6/ 0,4 = 9>3

Таким образом, As / s_As во всех случаях > 3 Þ асимметрия существенна. Так как асимметрия существенна, эксцесс не рассчитывается.

д) Нахождение эмпирической функции и построение ее графика.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находим плотность распределения нормированной случайной величины:
t = (x_i – x) / s
f ^| = (S f * k / s)* j (t)




Таблица 14 – Расчет теоретических частот по чистым активам

Середина интервала, X i	Число банков, f	X i – Х	t	j (t)	f |
2496,75	20	-3038,55	-0,54	0,3448	8,0
6640,25	5	1104,95	0,19	0,3918	9,0
10783,75	2	5248,45	0,94	0,2565	6,0
14927,25	0	9391,95	1,69	0,0957	2,0
19070,75	2	13535,45	2,44	0,0203	0
23214,25	1	17678,95	3,18	0,0025	0
Итого	30				25

Таблица 15 – Расчет теоретических частот по прибыли

Середина интервала, X i	Число банков, f	X i – Х	t	j (t)	f |
168,08	24	-119,62	-0,37	0,3726	11,0
494,24	4	206,54	0,64	0,3251	10,0
820,4	1	532,7	1,66	0,1006	3,0
1146,56	0	858,86	2,68	0,0110	0
1472,72	0	1185,02	3,69	0,0004	0
1798,9	1	1511,2	4,71	-	0
Итого	30				24

Рисунок 3 – Эмпирическая и теоретическая функции распределения по чистым активам




Рисунок 4 – Эмпирическая и теоретическая функции распределения по прибыли
ж) Проверим гипотезу о том, что изучаемые признаки подчиняются нормальному закону распределения с помощью математического критерия Романовского:
r =(c²_расч - (h-l‑1))/Ö2 – (h-l‑1)
c²_расч = S(f – f ^|)² / f
где: f – эмпирические частоты;

f ^| – теоретические частоты.

h – число групп;

l – число независимых параметров, которые необходимо знать, чтобы построить кривую теоретического распределения.
Таблица 16 – Проверка гипотезы по размеру чистых активов

Группы банков по чистым активам	Число банков, f	f |	(f- f |)	(f- f |)2	(f- f |)2/f
425–4568,5	20	8,0	12,0	1440	7,2
4568,5–8712	5	9,0	-4,0	16,0	3,2
8712–12855,5	2	6,0	-4,0	16,0	8,0
12855,5–16999	0	2,0	-2,0	4,0	0,0
16999–21142,5	2	0	2,0	4,0	2,0
21142,5–25286	1	0	1,0	1,0	1,0
Итого	30	25			22,4

c²_расч = 22,4
r = (22,4 – (6–2–1))/Ö(2*(6–2–1))= 7,9>3, следовательно, что гипотеза о соответствии распределения банков по размеру чистых активов закону нормального распределения отвергается
Таблица 17 – Проверка гипотезы по размеру прибыли

Группы банков по прибыли	Число банков, f	f |	(f- f |)	(f- f |)2	(f- f |)2/f
5–331,16	24	11,0	13,0	169,0	7,0
331,16–657,32	4	10,0	-6,0	36,0	9,0
657,32–983,48	1	3,0	-2,0	4,0	4,0
983,48–1309,64	0	0	0	0	0
1309,64–1635,8	0	0	0	0	0
1635,8–1962	1	0	1,0	1,0	1,0
Итого	30	24			21

c²_расч = 21
r = (21 – (6–2–1))/Ö(2*(6–2–1))= 7,3 > 3, следовательно, что гипотеза о соответствии распределения банков по размеру прибыли закону нормального распределения отвергается.

з) Определение границ, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение выбранных показателей в генеральной совокупности. Средняя ошибка выборки определяется по формуле:


m = Ös² / n * (1 – (n/N))
где: n – число единиц в выборочной совокупности;

N – число единиц в генеральной совокупности.

m       = Ö 30827161,2 /30*(1 – (30/200))= 1099,5 млн. руб.

m       = Ö102718,1 /30*(1 – (30/200))=63,5 млн. руб.

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:
D = m * t
где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам. p = 0,95 Þ t = 1,96

D = 1099,5*1,96 = 2155,02 млн. руб.

D = 63,5*1,96 = 124,4 млн. руб.

Границы среднего значения показателя определяются по формуле:
Х= Х ± D
где: Х – среднее арифметическое значение признака.

Х = 5535,3+ 2155,02 =7690,3 млн. руб.

Х = 5535,3 – 2155,02 =3380,5 млн. руб.

Х = 287,7 +124,4= 412,1 млн. руб.

Х = 287,7 – 124,4= 163,3 млн. руб.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя чистых активов в генеральной совокупности, лежит в пределах 3380,5 млн. руб. < Х < 7690,3 млн. руб.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя прибыль в генеральной совокупности, лежит в пределах 163,3 млн. руб.< Х < 412,1 млн. руб.

По выше приведенным расчетам можно сделать следующие выводы:

– из 30 отобранных банков, наиболее часто встречаются банки с размером чистых активов 2604,04 млн. руб., с размером прибыли 178,8 млн. руб.;

– из отобранных банков 15 имеют размер чистых активов больше 3426,4 млн. руб. и 15 менее. И прибыль 15 банков больше 207 млн. руб., а у 15 менее;

– по данным абсолютных показателей вариации выборки по прибыли значительно ниже, чем по чистым активам;

– по данным относительных показателей совокупность неоднородная. Ассиметрия по чистым активам и по прибыли является правосторонней.

– границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя чистых активов в генеральной совокупности, лежит в пределах

3380,5 млн. руб. < Х < 7690,3 млн. руб., прибыль в пределах 163,3 млн. руб.< Х < 412,1 млн. руб.;

– гипотеза о том, что изучаемые признаки подчиняются нормальному закону распределения отвергается;

– зависимость между чистыми активами и прибылью по тесноте связи сильная, по направлению прямая;

– параметр коэффициента а не значим и не может распространяться на всю совокупность, а параметр b значим и его можно разместить на всю совокупность;

– коэффициент корреляции статистически значим.



Список используемой литературы
1. Конспект лекций

2. Статистика: учеб./ И.И. Елисеева А.В.