Курсовая на тему Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-12-02Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
(ННГУ)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра «Экономическая информатика»
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: “Информатика и
программирование”
на тему:
Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
(Программистским и математическим вариантом)
Выполнил(ла) студент(ка)II курса
725-2 группы, очного отделения
(ф.и.о.)
__________
подпись
Научный руководитель:
(ф.и.о.)
____________
подпись
Н.Новгород 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Постановка задачи
3. Алгоритм решения.
4. Исходный текст программы на С++.
5. Тестирование программы
Вывод
Список литературы.
1.Ведение
Введение в объектно-ориентированное программирование.
Объектно-ориентированное программирование представляет собой чуть более автоматизированный способ программирования. Объектно-ориентированные программы – это не просто процедурные программы, переведенные на новый синтаксис. Они должны строится на новой философии разработки. Для них требуется новая стратегия программирования, которую часто бывает трудно освоить .
Основная идея ООП: программа состоит из группы объектов, часто связанных между собой. В С++ объекты описываются при помощи нового типа данных class. Класс включает в себя набор переменных (данных) и операций (методов или функций-членов), которые действуют на эти переменные. Полученными объектами можно управлять при помощи сообщений. В ООП объекты включают в себя не только данные (данные-члены), но и методы (функции-члены) воздействия на эти данные. Эти две части в сочетании образуют функциональную единицу программы. Другими словами, объекты содержат данные и методы работы с этими данными. Ниже приведены три основных преимущества объектно-ориентированных программ по сравнению с эквивалентными программами, разработанными сверху вниз.
Сопровождение программы. Программы проще читать и понимать, ООП позволяет управлять сложностью программы, оставляя видимыми программисту только существенные детали.
Модификация программы (добавление или исключение возможностей). Вы можете часто делать дополнения или исключения в программе, например при работе с базой данных, просто добавляя и исключая объекты. Новые объекты могут наследовать все свойства базовых объектов, необходимо только добавить или убрать отличающиеся свойства. Повторное использование. Можно сохранить грамотно разработанный объект в наборе полезных программ и затем вставить его в новую программу с небольшими изменениями или без изменений.
ООП полностью принадлежит к миру С++, поскольку в С нет основного ядра – абстрактного типа данных class Поэтому переписать процедурно-ориентированную программу как объектно-ориентированную гораздо сложнее, чем просто подставить вместо одного ключевого слова другое.
ООП представляет собой технику программирования, которая позволяет рассматривать основные идеи как множество объектов. Используя объекты, можно представить задачи, которые необходимо выполнить, их взаимодействие и любые заданные условия, которые должны быть соблюдены. Структура данных часто образует основы объектов; таким образом в С или С++ тип struct может образовывать элементарный объект. Связь с объектом можно организовать при помощи сообщений. Использование сообщений похоже на вызов функций в процедурно-ориентированной программе. Когда объект получает сообщение,вступают в действие методы, содержащиеся в объекте. Методы (их иногда называют фунциями-членами) аналогичны функциям процедурно-ориентированного программирования. Тем не менее метод является частью объекта, а не чем-то отдельным, как было бы в процедурном аналоге.
Основные термины и положения ООП.
Инкапсуляция данных.
Этот термин включает в себя логическое связывание данных с конкретной операцией. Она так же означает, что они являются не -глобальными доступными всей программе, а локальными – доступными только малой ее части. Инкапсуляция также автоматически подразумевает защиту данных. Именно для этого предназначена структура class в С++. В классе управление функциональными деталями объекта осуществляется при помощи спецификаторов private, public, protected.
Иерархия классов.
В общем случае можно представить себе иерархию классов как родословную в генеалогическом древе, где класс С++ представляет собой шаблон для создания классов-потомков. Объекты, полученные из описания класса, называют экземплярами этого класса. Можно создать иерархию классов с классом-родителем и несколькими классами-потомками. Основой для этого являются производные классы.
Наследование.
Наследование в ООП позволяет классу получать свойства другого класса объектов. Родительский класс служит шаблоном для производного класса; этот шаблон можно менять различными способами. Наследование является важным положением, поскольку оно позволяет повторно использовать определение класса без значительных изменений в коде.
Полиморфизм.
Строится на описанной выше концепции наследования. Программа посылает одно и тоже сообщение как объекту родительского класса, так и всем объектам производных классов. И родительский класс, и классы-потомки ответят на сообщение соответствующим образом. Полиморфизм дает возможность дополнять уже существующие части программы.
Виртуальные функции.
Виртуальные функции определяются в родительском классе, а в производных классах происходит доопределение этих функций и для них создаются новые реализации. При работе с виртуальными функциями сообщения передаются как указатели, которые указывают на объект вместо прямой передачи объекту. Виртуальные функции используют таблицу для адресной информации. Эта таблица инициализируется во время выполнения при помощи конструктора. Конструктор вызывается каждый раз, когда создается объект его класса. Задача конструктора в данном случае состоит в связывании виртуальной функции с таблицей адресной информации. Во время компиляции адрес виртуальной функции неизвестен; вместо этого ей отводится позиция в таблице адресов.
2.Постановка задачи
С++ -язык предметно-ориентированного программирования. Язык С++ поддерживает процедурную и объектно-ориентированную парадигмы программирования.
Объектно-ориентированное программирование – это новый способ подхода к программированию. Такое программирование, взяв лучшие черты структурного программирования, дополняет его новыми идеями, которые переводят в новое качество подход к созданию программ.
Наиболее важное понятие языков объектно-ориентированного программирования – это понятие объекта (object). Объект – это логическая единица, которая содержит данные и правила (методы) обработки этих данных. В языке С++ в качестве таких правил обработки выступают функции, т. е. объект в Borland C++ объединяет в себе данные и функции, обрабатывающие эти данные. Одним из самых главных понятий языка С++ является понятие класса. В языке С++ для того, чтобы определить объект, надо сначала определить его форму с помощью ключевого слова Ближайшей аналогией класса является структура. Память выделяется объекту только тогда, когда класс используется для его создания. Любой объект языка С++ имеет одинаковые атрибуты и функциональность с другими объектами того же класса. За создание своих классов и поведение объектов этих классов полную ответственность несет сам программист. Работая в некоторой среде, программист получает доступ к обширным библиотекам стандартных классов. Обычно, объект находится в некотором уникальном состоянии, определяемом текущими значениями его атрибутов. Функциональность объектного класса определяется возможными операциями над экземпляром этого класса.
Метод Гаусса для решения СЛАУ.
Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса - один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры (теория и вычисление определителей, решение систем линейных уравнений, вычисление ранга матрицы и обратной матрицы, теория базисов конечномерных векторных пространств и т.д.).
Задача поиска решений системы линейных уравнений имеет не только самостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма решения многих нелинейных задач. Основные методы решения СЛУ:
- метод Гаусса;
- метод обращения матрицы;
- итерационные методы.
Матрица A с элементами aij называется ступенчатой, если она обладает следующими двумя свойствами:
1. если в матрице есть нулевая строка, то все строки ниже нее также нулевые;
2. пусть aij не равное 0 -- первый ненулевой элемент в строке с индексом i, т.е. элементы ail = 0 при l < j. Тогда все элементы в j-м столбце ниже элемента aij равны нулю, и все элементы левее и ниже aij также равны нулю: akl = 0 при k > i и l =< j.
Ступенчатая матрица выглядит так:
Здесь тёмными квадратиками отмечены первые ненулевые элементы строк матрицы. Белым цветом изображаются нулевые элементы, серым цветом - произвольные элементы.
Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.
· Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.
· Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.
Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк (рангом по определению называется размерность линейной оболочки строк матрицы).
Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:
1. ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;
2. используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11 .
3. переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.
Программистский вариант метода Гаусса имеет три отличия от математического:
1. индексы строк и столбцов матрицы начинаются с нуля, а не с единицы;
2. недостаточно найти просто ненулевой элемент в столбце. В программировании все действия с вещественными числами производятся приближенно, поэтому можно считать, что точного равенства вещественных чисел вообще не бывает. Некоторые компиляторы даже выдают предупреждения на каждую операцию проверки равенства вещественных чисел. Поэтому вместо проверки на равенство нулю числа aij следует сравнивать его абсолютную величину ij с очень маленьким числом ε (например, ε = 0.00000001). Если ij=< ε, то следует считать элемент aij нулевым;
3. при обнулении элементов j-го столбца, начиная со строки i + 1, мы к k-й строке, где k > i, прибавляем i-ю строку, умноженную на коэффициент r = -akj/aij :
Такая схема работает нормально только тогда, когда коэффициент r по абсолютной величине не превосходит единицы. В противном случае, ошибки округления умножаются на большой коэффициент и, таким образом, экспоненциально растут. Математики называют это явление неустойчивостью вычислительной схемы. Если вычислительная схема неустойчива, то полученные с ее помощью результаты не имеют никакого отношения к исходной задаче. В нашем случае схема устойчива, когда коэффициент r = -akj/aij не превосходит по модулю единицы. Для этого должно выполняться неравенство Отсюда следует, что при поиске разрешающего элемента в j-м столбце необходимо найти не первый попавшийся ненулевой элемент, а максимальный по абсолютной величине. Если он по модулю не превосходит ε, то считаем, что все элементы столбца нулевые; иначе меняем местами строки, ставя его на вершину столбца, и затем обнуляем столбец элементарными преобразованиями второго рода.
Основная идея метода Гаусса- привести матрицу систему к диагональному виду, то есть все элементы главной диагонали –нули. Для приведения матрицы к такому виду, мы выбираем самую верхнюю строку матрицы, и вычитаем её из всех остальных строк, умножив её для каждой строки на некий коэффициент, так, что самый левый столбец ниже главной диагонали заполнен нулями. Вычитаемая с коэффициентом строка называется текущей строкой. Выбирая текущую строку вначале верхнюю, а потом всё ниже и ниже, мы добьёмся, что все элементы ниже главной диагонали будет равны нулю. Эту часть метода- обработка строк по текущей строке и предстоит распараллеливать.
Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим:, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1. dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
А* =
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
,
откуда получаем:x3 = 2;x2 = 5;x1= 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
,
откуда получаем: z = 3; y = 2;x =1.
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
(ННГУ)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра «Экономическая информатика»
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: “Информатика и
программирование”
на тему:
Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
(Программистским и математическим вариантом)
Выполнил(ла) студент(ка)II курса
725-2 группы, очного отделения
(ф.и.о.)
__________
подпись
Научный руководитель:
(ф.и.о.)
____________
подпись
Н.Новгород 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Постановка задачи
3. Алгоритм решения.
4. Исходный текст программы на С++.
5. Тестирование программы
Вывод
Список литературы.
1.Ведение
Введение в объектно-ориентированное программирование.
Объектно-ориентированное программирование представляет собой чуть более автоматизированный способ программирования. Объектно-ориентированные программы – это не просто процедурные программы, переведенные на новый синтаксис. Они должны строится на новой философии разработки. Для них требуется новая стратегия программирования, которую часто бывает трудно освоить .
Основная идея ООП: программа состоит из группы объектов, часто связанных между собой. В С++ объекты описываются при помощи нового типа данных class. Класс включает в себя набор переменных (данных) и операций (методов или функций-членов), которые действуют на эти переменные. Полученными объектами можно управлять при помощи сообщений. В ООП объекты включают в себя не только данные (данные-члены), но и методы (функции-члены) воздействия на эти данные. Эти две части в сочетании образуют функциональную единицу программы. Другими словами, объекты содержат данные и методы работы с этими данными. Ниже приведены три основных преимущества объектно-ориентированных программ по сравнению с эквивалентными программами, разработанными сверху вниз.
Сопровождение программы. Программы проще читать и понимать, ООП позволяет управлять сложностью программы, оставляя видимыми программисту только существенные детали.
Модификация программы (добавление или исключение возможностей). Вы можете часто делать дополнения или исключения в программе, например при работе с базой данных, просто добавляя и исключая объекты. Новые объекты могут наследовать все свойства базовых объектов, необходимо только добавить или убрать отличающиеся свойства. Повторное использование. Можно сохранить грамотно разработанный объект в наборе полезных программ и затем вставить его в новую программу с небольшими изменениями или без изменений.
ООП полностью принадлежит к миру С++, поскольку в С нет основного ядра – абстрактного типа данных class Поэтому переписать процедурно-ориентированную программу как объектно-ориентированную гораздо сложнее, чем просто подставить вместо одного ключевого слова другое.
ООП представляет собой технику программирования, которая позволяет рассматривать основные идеи как множество объектов. Используя объекты, можно представить задачи, которые необходимо выполнить, их взаимодействие и любые заданные условия, которые должны быть соблюдены. Структура данных часто образует основы объектов; таким образом в С или С++ тип struct может образовывать элементарный объект. Связь с объектом можно организовать при помощи сообщений. Использование сообщений похоже на вызов функций в процедурно-ориентированной программе. Когда объект получает сообщение,вступают в действие методы, содержащиеся в объекте. Методы (их иногда называют фунциями-членами) аналогичны функциям процедурно-ориентированного программирования. Тем не менее метод является частью объекта, а не чем-то отдельным, как было бы в процедурном аналоге.
Основные термины и положения ООП.
Инкапсуляция данных.
Этот термин включает в себя логическое связывание данных с конкретной операцией. Она так же означает, что они являются не -глобальными доступными всей программе, а локальными – доступными только малой ее части. Инкапсуляция также автоматически подразумевает защиту данных. Именно для этого предназначена структура class в С++. В классе управление функциональными деталями объекта осуществляется при помощи спецификаторов private, public, protected.
Иерархия классов.
В общем случае можно представить себе иерархию классов как родословную в генеалогическом древе, где класс С++ представляет собой шаблон для создания классов-потомков. Объекты, полученные из описания класса, называют экземплярами этого класса. Можно создать иерархию классов с классом-родителем и несколькими классами-потомками. Основой для этого являются производные классы.
Наследование.
Наследование в ООП позволяет классу получать свойства другого класса объектов. Родительский класс служит шаблоном для производного класса; этот шаблон можно менять различными способами. Наследование является важным положением, поскольку оно позволяет повторно использовать определение класса без значительных изменений в коде.
Полиморфизм.
Строится на описанной выше концепции наследования. Программа посылает одно и тоже сообщение как объекту родительского класса, так и всем объектам производных классов. И родительский класс, и классы-потомки ответят на сообщение соответствующим образом. Полиморфизм дает возможность дополнять уже существующие части программы.
Виртуальные функции.
Виртуальные функции определяются в родительском классе, а в производных классах происходит доопределение этих функций и для них создаются новые реализации. При работе с виртуальными функциями сообщения передаются как указатели, которые указывают на объект вместо прямой передачи объекту. Виртуальные функции используют таблицу для адресной информации. Эта таблица инициализируется во время выполнения при помощи конструктора. Конструктор вызывается каждый раз, когда создается объект его класса. Задача конструктора в данном случае состоит в связывании виртуальной функции с таблицей адресной информации. Во время компиляции адрес виртуальной функции неизвестен; вместо этого ей отводится позиция в таблице адресов.
2.Постановка задачи
С++ -язык предметно-ориентированного программирования. Язык С++ поддерживает процедурную и объектно-ориентированную парадигмы программирования.
Объектно-ориентированное программирование – это новый способ подхода к программированию. Такое программирование, взяв лучшие черты структурного программирования, дополняет его новыми идеями, которые переводят в новое качество подход к созданию программ.
Наиболее важное понятие языков объектно-ориентированного программирования – это понятие объекта (object). Объект – это логическая единица, которая содержит данные и правила (методы) обработки этих данных. В языке С++ в качестве таких правил обработки выступают функции, т. е. объект в Borland C++ объединяет в себе данные и функции, обрабатывающие эти данные. Одним из самых главных понятий языка С++ является понятие класса. В языке С++ для того, чтобы определить объект, надо сначала определить его форму с помощью ключевого слова Ближайшей аналогией класса является структура. Память выделяется объекту только тогда, когда класс используется для его создания. Любой объект языка С++ имеет одинаковые атрибуты и функциональность с другими объектами того же класса. За создание своих классов и поведение объектов этих классов полную ответственность несет сам программист. Работая в некоторой среде, программист получает доступ к обширным библиотекам стандартных классов. Обычно, объект находится в некотором уникальном состоянии, определяемом текущими значениями его атрибутов. Функциональность объектного класса определяется возможными операциями над экземпляром этого класса.
Метод Гаусса для решения СЛАУ.
Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса - один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры (теория и вычисление определителей, решение систем линейных уравнений, вычисление ранга матрицы и обратной матрицы, теория базисов конечномерных векторных пространств и т.д.).
Задача поиска решений системы линейных уравнений имеет не только самостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма решения многих нелинейных задач. Основные методы решения СЛУ:
- метод Гаусса;
- метод обращения матрицы;
- итерационные методы.
Матрица A с элементами aij называется ступенчатой, если она обладает следующими двумя свойствами:
1. если в матрице есть нулевая строка, то все строки ниже нее также нулевые;
2. пусть aij не равное 0 -- первый ненулевой элемент в строке с индексом i, т.е. элементы ail = 0 при l < j. Тогда все элементы в j-м столбце ниже элемента aij равны нулю, и все элементы левее и ниже aij также равны нулю: akl = 0 при k > i и l =< j.
Ступенчатая матрица выглядит так:
Здесь тёмными квадратиками отмечены первые ненулевые элементы строк матрицы. Белым цветом изображаются нулевые элементы, серым цветом - произвольные элементы.
Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.
· Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.
· Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.
Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк (рангом по определению называется размерность линейной оболочки строк матрицы).
Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:
1. ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;
2. используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11 .
3. переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.
Программистский вариант метода Гаусса имеет три отличия от математического:
1. индексы строк и столбцов матрицы начинаются с нуля, а не с единицы;
2. недостаточно найти просто ненулевой элемент в столбце. В программировании все действия с вещественными числами производятся приближенно, поэтому можно считать, что точного равенства вещественных чисел вообще не бывает. Некоторые компиляторы даже выдают предупреждения на каждую операцию проверки равенства вещественных чисел. Поэтому вместо проверки на равенство нулю числа aij следует сравнивать его абсолютную величину ij с очень маленьким числом ε (например, ε = 0.00000001). Если ij=< ε, то следует считать элемент aij нулевым;
3. при обнулении элементов j-го столбца, начиная со строки i + 1, мы к k-й строке, где k > i, прибавляем i-ю строку, умноженную на коэффициент r = -akj/aij :
Такая схема работает нормально только тогда, когда коэффициент r по абсолютной величине не превосходит единицы. В противном случае, ошибки округления умножаются на большой коэффициент и, таким образом, экспоненциально растут. Математики называют это явление неустойчивостью вычислительной схемы. Если вычислительная схема неустойчива, то полученные с ее помощью результаты не имеют никакого отношения к исходной задаче. В нашем случае схема устойчива, когда коэффициент r = -akj/aij не превосходит по модулю единицы. Для этого должно выполняться неравенство Отсюда следует, что при поиске разрешающего элемента в j-м столбце необходимо найти не первый попавшийся ненулевой элемент, а максимальный по абсолютной величине. Если он по модулю не превосходит ε, то считаем, что все элементы столбца нулевые; иначе меняем местами строки, ставя его на вершину столбца, и затем обнуляем столбец элементарными преобразованиями второго рода.
Основная идея метода Гаусса- привести матрицу систему к диагональному виду, то есть все элементы главной диагонали –нули. Для приведения матрицы к такому виду, мы выбираем самую верхнюю строку матрицы, и вычитаем её из всех остальных строк, умножив её для каждой строки на некий коэффициент, так, что самый левый столбец ниже главной диагонали заполнен нулями. Вычитаемая с коэффициентом строка называется текущей строкой. Выбирая текущую строку вначале верхнюю, а потом всё ниже и ниже, мы добьёмся, что все элементы ниже главной диагонали будет равны нулю. Эту часть метода- обработка строк по текущей строке и предстоит распараллеливать.
Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим:, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1. dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
А* =
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем:x3 = 2;x2 = 5;x1= 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: z = 3; y = 2;x =1.
Работа с файлами.
Стандартная библиотека С++ содержит набор функций для работы с файлами. Эти функции описаны в стандарте ANSI. Отметим, что файловый ввод-вывод не является частью языка С+, и ANSI-функции - не единственное средство ввода-вывода. Так, в операционной системе Unix более популярен другой набор функций ввода-вывода, который можно использовать не только для работы с файлами, но и для обмена по сети. В C++ часто используются библиотеки классов для ввода-вывода. Тем не менее, функции ANSI-библиотеки поддерживаются всеми С++-компиляторами, и потому программы, применяющие их, легко переносятся с одной платформы на другую. Прототипы функций ввода-вывода и используемые для этого типы данных описаны в стандартном заголовочном файле "stdio.h.Открытие файла: функция fopen.
Для доступа к файлу применяется тип данных FILE. Это структурный тип, имя которого задано с помощью оператора typedef в стандартном заголовочном файле "stdio.h". Программисту не нужно знать, как устроена структура типа файл: ее устройство может быть системно зависимым, поэтому в целях переносимости программ обращаться явно к полям структуры FILE запрещено. Тип данных "указатель на структуру FILE используется в программах как черный ящик: функция открытия файла возвращает этот указатель в случае успеха, и в дальнейшем все файловые функции применяют его для доступа к файлу. Здесь path - путь к файлу (например, имя файла или абсолютный путь к файлу), mode - режим открытия файла. Строка mode может содержать несколько букв. Буква "r" (от слова read) означает, что файл открывается для чтения (файл должен существовать). Буква "w" (от слова write) означает запись в файл, при этом старое содержимое файла теряется, а в случае отсутствия файла он создается. Буква "a" (от слова append) означает запись в конец существующего файла или создание нового файла, если файл не существует.
В некоторых операционных системах имеются различия в работе с текстовыми и бинарными файлами (к таким системам относятся MS DOS и MS Windows; в системе Unix различий между текстовыми и бинарными файлами нет). В таких системах при открытии бинарного файла к строке mode следует добавлять букву "b" (от слова binary), а при открытии текстового файла -- букву "t" (от слова text). Кроме того, при открытии можно разрешить выполнять как операции чтения, так и записи; для этого используется символ + (плюс). Порядок букв в строке mode следующий: сначала идет одна из букв "r", "w", "a", затем в произвольном порядке могут идти символы "b", "t", "+". Буквы "b" и "t" можно использовать, даже если в операционной системе нет различий между бинарными и текстовыми файлами, в этом случае они просто игнорируются.
3.Описание алгоритма решения СЛАУ методом Гаусса
Составить программу решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей порядка n методом Гаусса с использованием языка С++ .
Алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Алгоритм реализован на языке С++.
Пусть у нас есть система N линейных уравнений
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3NxN = b3
...
aN1x1 + aN2x2 + aN3x3 + ... aNNxN = bN
где xi - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.
Цель задачи - зная aij и bi найти xi.
Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:
Особенность этой системы - в строках с номером i все коэффициенты aij при j<i равны нулю.
Если мы смогли привести нашу систему уравнений к такому треугольному виду, то решить уравнения уже просто. Из последнего уравнения находим xN= bN / aNN. Дальше подставляем его в предпоследнее уравнение и находим из него xN-1. Подставляем оба найденных решения в следующее с конца уравнение и находим xN-2. И так далее, пока не найдем x1, на чем решение заканчивается. Такая процедура называется обратной прогонкой.
Теперь перейдем к вопросу как же добиться того, чтобы система стала треугольной.
Из линейной алгебры известно что если к некоторой строке системы уравнений прибавить любую линейную комбинацию любых других строк этой системы, то решение системы не изменится. Под линейной комбинацией строк понимается сумма строк, каждая из которых умножается на некоторое число (в принципе, любое).
Нужно, чтобы во второй строке получилось уравнение, в которой отсутствует член при x1. Прибавим к этой строке первую строку, умноженную на некоторое число M.
(a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1)*M +
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
Получим
(a11*М + a21) x1 + ... = b1*M + b2
Для того, чтобы член при x1 равнялся нулю, нужно, чтобы M = - a21 / a11. Проделав эту операцию, получившееся уравнение запишем вместо второго и приступим к третьему уравнению. К нему мы прибавим первое уравнение, умноженное на M = - a31 / a11 и тоже получим ноль вместо члена при x1. Такую операцию нужно проделать над всеми остальными уравнениями. В результате получим систему такого вида:
После этого будем избавляться от членов при x2 в третьем, четвертом, N-ом уравнении. Для этого нужно к уравнению с j-м номером прибавить 2-ое уравнение, умноженное на M = - aj2 / a22. Проделав эту операцию над всеми остальными уравнениями, получим систему где нет членов с x2 в уравнениях с номером больше 2.
И так далее... Проделав это для третьего члена, четвертого... до тех пор, пока не кончатся уравнения, получим в итоге систему треугольного вида.
Алгоритм описан в псевдокоде (команды в виде текста на русском языке).
ПРОЦЕСС 0: (главный процесс)
1.Разослать всем процессам количество текущих строк.
(Или не всем процессам, если процессов больше чем строк).
2.ЦИКЛ ПО СТРОКАМ (выбор текущей строки)
1.Разослать всем процессам текущую строку.
(Если число процессов больше чем осталось строк для обработки (строк ниже текущей строки), то разослать текущую строку не всем процессам, а только тем, которые будут задействованы в обработке строк.)
2.Разослать всем процессам строки для обработки (посылаем строку, затем строки в матрице). Разделить между процессами строки ниже текущей. Разделяем так в цикле по строкам раздаём по одной каждому процессу, пока не кончатся строки, по процессам 1..N идём циклически.
3.Разослать всем процессам количества строк, посланных им для обработки.
4.Принять от процессов 1..N обработанные строки, занести их в матрицу. (Принимаем строку и номер строки в матрице)
5.Выбрать следующую текущую строку - новый шаг цикла.
КОНЕЦ ЦИКЛА
3.Вычислить решение системы по диагональной матрице.
4.Выдать результат работы.
5.Завершить работу.
ПРОЦЕСС 1..N:
1.Принимаем количество текущих строк.
2.ЦИКЛ ОБРАБОТКИ ПОЛУЧЕННЫХ СТРОК
1.Принимаем сообщение о количестве строк для обработки
2.Если число строк для обработки >0 то:
{
1.Принимаем сообщение с текущей строкой
2.ЦИКЛ обработки строк
1.Принимаем сообщение со строкой для обработки .
(получаем ещё номер строки в матрице).
2.Обрабатываем полученную строку
3.Посылаем главному процессу результаты работы. Для каждой строки посылаем строку и номер строки.
4.Идём на новый шаг цикла обработки строк.
3.Синхронизируемся .
}
3.Завершить процесс.
4.Исходный текст программы
Составить программу решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей порядка n методом Гаусса с использованием языка С++ .
// Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
#include<io.h>
#include "stdio.h"
#include "conio.h"
#include <windows.h>
#include <iostream>
#include <time.h>
#include <io.h>
#include <fcntl.h>
#include <string.h>
#include "stdafx.h"
using namespace std;
#include <stdio.h> // Описания функций ввода-вывода
#include <math.h> // Описания математических функций
#include <stdlib.h> // Описания функций malloc и free
const int n=3;
void ReadData()
{
int n;
double A[n][n];
FILE*f=fopen("l1.txt","rt");
if (f!=0)
printf("CAN'T OPEN FILE\nPlease, f**k off!");
{
fscanf(f,"%d",&n);
printf("Sborka matritsi m- na n-:\n");
for (int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
fscanf(f,"%d",&A[i][j]);
printf("%d",A[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n\n");
fclose(f);
}
}
void Gauss
( double X[n], const double Z[n][n], const double Y[n])
{
ReadData();
double A[n][n]; // матрица коэффицентов Гаусса
double B[n]; // рабочий массив свободных членов
int i,
int j,
int k; // рабочие переменные
for( i = 0; i < n; i++ ) // копирование в рабочую матрицу A
{
for( j = 0; j < n; j++ )
A[i][j] = Z[i][j];
B[i] = Y[i]; // копирование свободных членов
X[i] = 0;
}
for( k = 0; k < n-1; k++ )
for( i = k+1; i < n; i++ ) // преобразование строк
{
double r = A[i][k] / A[k][k];
for( j = k; j < n; j++ )
A[i][j] -= A[k][j] * r;
B[i] -= B[k] * r;
}
X[n-1] = B[n-1] / A[n-1][n-1];
for( i = n-2; i >= 0; i-- )
{
double s = 0;
for( j = i+1; j < n; j++ )
s += A[i][j] * X[j];
X[i] = ( B[i] - s ) / A[i][i];
}
printf( "\n" );
for( i = 0; i < n; i++ )
{ printf( "\n" );
for( j = 0; j < n; j++ )
printf( "%8.2lf", A[i][j] );
printf( " %8.2lf", B[i] );
}
}
/* ------------------------------------------------- */
void main( void )
{
ReadData();
double X[n];// корни системы линейных уравнений
short i, j; // рабочие переменные
printf( " matritsa A* matritsa B\n" );
for( i = 0; i < n; i++ ) // цикл строк
{
printf( "\n" ); // новая строка на мониторе
for( j = 0; j < n; j++ )
printf( "%8.2lf", A[i][j] );
printf( " %8.2lf", B[i] );
}
printf( "\n" );
printf( "stypen4atii vid matritsi \n" );
Gauss( X, A, B ); // решение методом Гаусса
printf( "\n" );
printf( "\n" );
printf( " zna4enia peremennih x1,x1,x3\n" );
printf( "\n X = " );
for( i = 0; i < n; i++ )
printf( "%8.2lf", X[i] );
printf( "\n" );
printf( "\n" );
printf( "rang=\n" );
getch();
}
5.Тестирование программы
Результаты решения системы с тремя неизвестными:
Результаты решения системы с четырьмя неизвестными:
Данные в файле:
Имя файла l1
4
2 1 4 1
3 1 3 2
2 4 5 1
5 2 2 2
Размерности матриц=4
Матрица А
2 1 4
3 1 3
2 4 5
5 2 2
Матрица В
1
2
1
2
Вывод
В результате выполнения курсового проекта были разработаны два класса функций для решения простейших задач линейной алгебры. Число этих функций сравнительно невелико, однако можно легко добавить в эти классы более сложные функции, построенные на базе уже имеющихся. Классы позволяют работать с матрицами и векторами, элементы которых могут быть любого типа, однако на практике чаще всего используется целый тип и тип чисел с плавающей запятой. Классы написаны на языке С++, однако могут быть легко переписаны на любом из современных языков программирования, так как приведены довольно простые алгоритмы всех компонентных функций. Были максимально предусмотрены всевозможные ошибки, которые могут возникнуть при использовании функций данных классов. Особое внимание уделялось разумному выделению памяти подобъекты во время выполнения программы, поэтому все функции были тщательно отлажены.Классы Matrix и Vector могут быть эффективно применены на практике в задачах, требующих операций с матрицами и векторами, а также связанных с решением систем линейных алгебраических уравнений.
Список литературы
1. Начальный курс С и С++.: Учебник. /Б. И. Березин. Москва:"ДИАЛОГ-МИФИ",1999г.
2. Язык программирования С++. : Учебник. /. Страуструп. Киев:"ДиаСофт", 1993 г.
3. Введение в язык С++: Учебник. / Бьярн Страустрап.
– СПб.: 1995.
4. Структуры и алгоритмы обработки данных: Учебник. / Матьяш В.А., Путилов В.А., Фильчаков В.В. , Щёкин С.В. - Апатиты, КФ ПетрГУ, 2000
5. С++ /Дэвис Стефан Р.,4-е издание : Пер. с англ.:- М.: Издательский дом «Вильямс»,2003
6. Основы программирования: Учеб. Для сред. проф. образования /И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М., 2006.
7. С++ экспресс курс: Учебник. /Лаптев В.В. – СПб.: БХВ- Петербург 2004.
8. С++ учебный курс: Учебник. /Франка П. – СПб.:Питер 2005.
9. МОДЕЛИ И CТРУКТУРЫ ДАННЫХ:/ Учебное пособие/
Д.Далека, А.С. Деревянко, О.Г. Кравец, Л.Е. Тимановская -Харьков:ХГПУ, 2000
10.Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов/Н.Ш.Кремер,3-е издание.-М.:ЮНИТИ-ДАНА,2006
В некоторых операционных системах имеются различия в работе с текстовыми и бинарными файлами (к таким системам относятся MS DOS и MS Windows; в системе Unix различий между текстовыми и бинарными файлами нет). В таких системах при открытии бинарного файла к строке mode следует добавлять букву "b" (от слова binary), а при открытии текстового файла -- букву "t" (от слова text). Кроме того, при открытии можно разрешить выполнять как операции чтения, так и записи; для этого используется символ + (плюс). Порядок букв в строке mode следующий: сначала идет одна из букв "r", "w", "a", затем в произвольном порядке могут идти символы "b", "t", "+". Буквы "b" и "t" можно использовать, даже если в операционной системе нет различий между бинарными и текстовыми файлами, в этом случае они просто игнорируются.
3.Описание алгоритма решения СЛАУ методом Гаусса
Составить программу решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей порядка n методом Гаусса с использованием языка С++ .
Алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Алгоритм реализован на языке С++.
Пусть у нас есть система N линейных уравнений
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3NxN = b3
...
aN1x1 + aN2x2 + aN3x3 + ... aNNxN = bN
где xi - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.
Цель задачи - зная aij и bi найти xi.
Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:
| a11x1 + | a12x2 + | a13x3 + | ... | a1NxN = b1 |
| a22x2 + | a23x3 + | ... | a2NxN = b2 | |
| a33x3 + | ... | a3NxN = b3 | ||
| ... | ||||
| ... | aNNxN = bN |
Если мы смогли привести нашу систему уравнений к такому треугольному виду, то решить уравнения уже просто. Из последнего уравнения находим xN= bN / aNN. Дальше подставляем его в предпоследнее уравнение и находим из него xN-1. Подставляем оба найденных решения в следующее с конца уравнение и находим xN-2. И так далее, пока не найдем x1, на чем решение заканчивается. Такая процедура называется обратной прогонкой.
Теперь перейдем к вопросу как же добиться того, чтобы система стала треугольной.
Из линейной алгебры известно что если к некоторой строке системы уравнений прибавить любую линейную комбинацию любых других строк этой системы, то решение системы не изменится. Под линейной комбинацией строк понимается сумма строк, каждая из которых умножается на некоторое число (в принципе, любое).
Нужно, чтобы во второй строке получилось уравнение, в которой отсутствует член при x1. Прибавим к этой строке первую строку, умноженную на некоторое число M.
(a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1)*M +
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
Получим
(a11*М + a21) x1 + ... = b1*M + b2
Для того, чтобы член при x1 равнялся нулю, нужно, чтобы M = - a21 / a11. Проделав эту операцию, получившееся уравнение запишем вместо второго и приступим к третьему уравнению. К нему мы прибавим первое уравнение, умноженное на M = - a31 / a11 и тоже получим ноль вместо члена при x1. Такую операцию нужно проделать над всеми остальными уравнениями. В результате получим систему такого вида:
| a11x1 + | a12x2 + | a13x3 + | ... | a1NxN = b1 |
| a22x2 + | a23x3 + | ... | a2NxN = b2 | |
| a32x2 + | a33x3 + | ... | a3NxN = b3 | |
| ... | ||||
| aN2x2 + | aN3x3 + | ... | aNNxN = bN |
И так далее... Проделав это для третьего члена, четвертого... до тех пор, пока не кончатся уравнения, получим в итоге систему треугольного вида.
Алгоритм описан в псевдокоде (команды в виде текста на русском языке).
ПРОЦЕСС 0: (главный процесс)
1.Разослать всем процессам количество текущих строк.
(Или не всем процессам, если процессов больше чем строк).
2.ЦИКЛ ПО СТРОКАМ (выбор текущей строки)
1.Разослать всем процессам текущую строку.
(Если число процессов больше чем осталось строк для обработки (строк ниже текущей строки), то разослать текущую строку не всем процессам, а только тем, которые будут задействованы в обработке строк.)
2.Разослать всем процессам строки для обработки (посылаем строку, затем строки в матрице). Разделить между процессами строки ниже текущей. Разделяем так в цикле по строкам раздаём по одной каждому процессу, пока не кончатся строки, по процессам 1..N идём циклически.
3.Разослать всем процессам количества строк, посланных им для обработки.
4.Принять от процессов 1..N обработанные строки, занести их в матрицу. (Принимаем строку и номер строки в матрице)
5.Выбрать следующую текущую строку - новый шаг цикла.
КОНЕЦ ЦИКЛА
3.Вычислить решение системы по диагональной матрице.
4.Выдать результат работы.
5.Завершить работу.
ПРОЦЕСС 1..N:
1.Принимаем количество текущих строк.
2.ЦИКЛ ОБРАБОТКИ ПОЛУЧЕННЫХ СТРОК
1.Принимаем сообщение о количестве строк для обработки
2.Если число строк для обработки >0 то:
{
1.Принимаем сообщение с текущей строкой
2.ЦИКЛ обработки строк
1.Принимаем сообщение со строкой для обработки .
(получаем ещё номер строки в матрице).
2.Обрабатываем полученную строку
3.Посылаем главному процессу результаты работы. Для каждой строки посылаем строку и номер строки.
4.Идём на новый шаг цикла обработки строк.
3.Синхронизируемся .
}
3.Завершить процесс.
4.Исходный текст программы
Составить программу решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей порядка n методом Гаусса с использованием языка С++ .
// Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
#include<io.h>
#include "stdio.h"
#include "conio.h"
#include <windows.h>
#include <iostream>
#include <time.h>
#include <io.h>
#include <fcntl.h>
#include <string.h>
#include "stdafx.h"
using namespace std;
#include <stdio.h> // Описания функций ввода-вывода
#include <math.h> // Описания математических функций
#include <stdlib.h> // Описания функций malloc и free
const int n=3;
void ReadData()
{
int n;
double A[n][n];
FILE*f=fopen("l1.txt","rt");
if (f!=0)
printf("CAN'T OPEN FILE\nPlease, f**k off!");
{
fscanf(f,"%d",&n);
printf("Sborka matritsi m- na n-:\n");
for (int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
fscanf(f,"%d",&A[i][j]);
printf("%d",A[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n\n");
fclose(f);
}
}
void Gauss
( double X[n], const double Z[n][n], const double Y[n])
{
ReadData();
double A[n][n]; // матрица коэффицентов Гаусса
double B[n]; // рабочий массив свободных членов
int i,
int j,
int k; // рабочие переменные
for( i = 0; i < n; i++ ) // копирование в рабочую матрицу A
{
for( j = 0; j < n; j++ )
A[i][j] = Z[i][j];
B[i] = Y[i]; // копирование свободных членов
X[i] = 0;
}
for( k = 0; k < n-1; k++ )
for( i = k+1; i < n; i++ ) // преобразование строк
{
double r = A[i][k] / A[k][k];
for( j = k; j < n; j++ )
A[i][j] -= A[k][j] * r;
B[i] -= B[k] * r;
}
X[n-1] = B[n-1] / A[n-1][n-1];
for( i = n-2; i >= 0; i-- )
{
double s = 0;
for( j = i+1; j < n; j++ )
s += A[i][j] * X[j];
X[i] = ( B[i] - s ) / A[i][i];
}
printf( "\n" );
for( i = 0; i < n; i++ )
{ printf( "\n" );
for( j = 0; j < n; j++ )
printf( "%8.2lf", A[i][j] );
printf( " %8.2lf", B[i] );
}
}
/* ------------------------------------------------- */
void main( void )
{
ReadData();
double X[n];// корни системы линейных уравнений
short i, j; // рабочие переменные
printf( " matritsa A* matritsa B\n" );
for( i = 0; i < n; i++ ) // цикл строк
{
printf( "\n" ); // новая строка на мониторе
for( j = 0; j < n; j++ )
printf( "%8.2lf", A[i][j] );
printf( " %8.2lf", B[i] );
}
printf( "\n" );
printf( "stypen4atii vid matritsi \n" );
Gauss( X, A, B ); // решение методом Гаусса
printf( "\n" );
printf( "\n" );
printf( " zna4enia peremennih x1,x1,x3\n" );
printf( "\n X = " );
for( i = 0; i < n; i++ )
printf( "%8.2lf", X[i] );
printf( "\n" );
printf( "\n" );
printf( "rang=\n" );
getch();
}
5.Тестирование программы
Результаты решения системы с тремя неизвестными:
Результаты решения системы с четырьмя неизвестными:
Данные в файле:
Имя файла l1
4
2 1 4 1
3 1 3 2
2 4 5 1
5 2 2 2
Размерности матриц=4
Матрица А
2 1 4
3 1 3
2 4 5
5 2 2
Матрица В
1
2
1
2
Вывод
В результате выполнения курсового проекта были разработаны два класса функций для решения простейших задач линейной алгебры. Число этих функций сравнительно невелико, однако можно легко добавить в эти классы более сложные функции, построенные на базе уже имеющихся. Классы позволяют работать с матрицами и векторами, элементы которых могут быть любого типа, однако на практике чаще всего используется целый тип и тип чисел с плавающей запятой. Классы написаны на языке С++, однако могут быть легко переписаны на любом из современных языков программирования, так как приведены довольно простые алгоритмы всех компонентных функций. Были максимально предусмотрены всевозможные ошибки, которые могут возникнуть при использовании функций данных классов. Особое внимание уделялось разумному выделению памяти подобъекты во время выполнения программы, поэтому все функции были тщательно отлажены.Классы Matrix и Vector могут быть эффективно применены на практике в задачах, требующих операций с матрицами и векторами, а также связанных с решением систем линейных алгебраических уравнений.
Список литературы
1. Начальный курс С и С++.: Учебник. /Б. И. Березин. Москва:"ДИАЛОГ-МИФИ",1999г.
2. Язык программирования С++. : Учебник. /. Страуструп. Киев:"ДиаСофт", 1993 г.
3. Введение в язык С++: Учебник. / Бьярн Страустрап.
– СПб.: 1995.
4. Структуры и алгоритмы обработки данных: Учебник. / Матьяш В.А., Путилов В.А., Фильчаков В.В. , Щёкин С.В. - Апатиты, КФ ПетрГУ, 2000
5. С++ /Дэвис Стефан Р.,4-е издание : Пер. с англ.:- М.: Издательский дом «Вильямс»,2003
6. Основы программирования: Учеб. Для сред. проф. образования /И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М., 2006.
7. С++ экспресс курс: Учебник. /Лаптев В.В. – СПб.: БХВ- Петербург 2004.
8. С++ учебный курс: Учебник. /Франка П. – СПб.:Питер 2005.
9. МОДЕЛИ И CТРУКТУРЫ ДАННЫХ:/ Учебное пособие/
Д.Далека, А.С. Деревянко, О.Г. Кравец, Л.Е. Тимановская -Харьков:ХГПУ, 2000
10.Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов/Н.Ш.Кремер,3-е издание.-М.:ЮНИТИ-ДАНА,2006
