(50)
Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді



.
Про логарифмуємо і отримаємо



,
де із умови теореми 2 , а .Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай при . Тоді



 (51)
Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції  на  ермітовим сплайном з ланкою  може бути знайдено через наближення функції  на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка  першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення



Із рівності похибок і формули (37) матимемо



.
Цей вираз справедливий для довільних  ,  і проміжків  лише в тому випадку, якщо підінтегральні вирази рівні між собою. Із їх рівності випливає вираз (51).

Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення  ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом степеня має вигляд . Застосувавши формулу (52), отримаємо



 . (52)
Для ермітового сплайна з експоненціальною ланкою (6) ядро матиме такий вигляд:
.
А для ланки (13)



5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами
Наближення функції ермітовим сплайном називаємо рівномірним наближенням з заданою похибкою , якщо  , де - вага наближення,.

Алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами з заданою похибкою. Алгоритм не залежить від виду сплайна.

1.                 Будуємо ланку нелінійного ермітового сплайна на всьому інтервалі . Ліва границя  права

2.                 Знаходимо похибку наближення .

3.                 Якщо, то наближення побудоване. Кінець.

4.                 Якщо , то зсуваємо праву границю інтервалу вліво, поки похибка на даному інтервалі не стане меншою від заданої похибки . Допустимо, що при -му зсуві границі вліво (т. )похибка рівна , а на попередньому кроці ( права границя ). Тоді можна знайти таку праву границю , при якій похибка  буде як завгодно мало відрізнятися від заданої . Точку  можна знайти одним із відомих способів, наприклад методом ділення відрізка навпіл або методом хорд.

5.                 Запам’ятовуємо границі ланки і параметри ермітового сплайна.

6.                 Лівою границею наступної ланки є права границя попередньої ланки. Правою границею можна завжди вважати т. , але можна також екстраполювати точкою  де - довжина попередньої ланки.

7.                 Будуємо сплайн і знаходимо похибку.

8.                 Якщо , то переходимо до пункту 4.

9.                 Якщо і , то  і переходимо до пункту 7. В протилежному випадку, при , запам’ятовуємо границі та параметри нелінійного ермітового сплайна. Рівномірне наближення з заданою похибкою знайдено.

Очевидно, що описаний алгоритм приводить до єдиного рішення, якщо наближувана функція  і сплайн такі що функція похибки



,
є неспадною функцією від . Для цього достатньо, щоб ядро наближення  при .

Із означення ермітового сплайна можна запропонувати інший алгоритм знаходження його параметрів. При (парна кількість параметрів) параметри визначаються із тих же рівнянь, що й у випадку фіксованих вузлів, до яких додаються рівняння для точки екстремумуі правої границі .
 (53)


Потрібно знайти залежність  від . Для деяких вузлів ланок ермітових сплайнів, а саме ланок у вигляді многочлена, відношення многочлена до лінійної функції, добутку степеневої і експоненціальної функцій, степеневого виразу від многочлена параметри  сплайна знаходяться в аналітичному вигляді із перших чотирьох рівнянь системи (53).

Вони залежать від  і значень функції та її похідної в цих точках. Коефіцієнти можна підставити в п’яте і шосте рівняння системи. В результаті система шести рівнянь з шістьома невідомими зводиться до системи двох рівнянь з двома невідомими :
 (54)
Система (54) є системою трансцендентних рівнянь. Її можна розв’язати, використовуючи відомі наближені методи знаходження коренів трансцендентних систем.




Висновки
В багатьох технічних задачах використовується кускова апроксимація однозначних функцій. Застосування у такій задачі нелінійних виразів з метою наближення викликає труднощі через відсутність ефективних алгоритмів для визначення їх параметрів. Для цієї задачі є зручними кускові наближення (сплайн-наближення). У роботі наведений приклад побудови ермітового сплайна з експоненціальною і многочленною ланками. Оскільки похибка ермітового сплайна з експоненціальною ланкою в деяких випадках є меншою, ніж у многочленного ермітового сплайна, то їх доцільно застосовувати для наближення функцій. Також побудовано алгоритми рівномірного наближення ермітовими сплайнами.

Викладацька практика

1.10.2009 – 3 пара.

Лекція з курсу "Теорія масового обслуговування".

Тема: "Потоки Пальма".

Заняття проводилось для груп СІМ51 магістри і спеціалісти.

2.10.2009 – 1 пара.

Лабораторна робота з курсу "Чисельні методи".

Тема: "Однокрокові методи чисельного розвязування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь"

Заняття проводилось для групи ПМ41.

2.10.2009. – 3 пара.

Практичне заняття з курсу "Теорія масового обслуговування".

Тема: "Найпростіший потік"

Заняття проводилось для груп СІМ51 магістри і спеціалісти.

Опис програми

Програма Hermit’s spline шукає балансне наближення функцій ермітовими сплайнами. Головне вікно програми розділене на дві частини: ліву і праву. У лівій частині є три закладки: перша призначена для виводу результатів програми, друга для виводу графіків функції і сплайну; третя для виводу графіку похибки наближення. У правій частині є поля для вводу меж інтервалу і похибки. Також є перемикачі для вибору виду сплайна і функції.

Для роботи програми треба виконати наступні дії:

·              у поля "2" "3" потрібно ввести межі інтервалу на якому функція визначена і диференційовна;

·              у поле "1" треба ввести похибку;

·              вибрати вид сплайна 4;

·              вибрати функцію 5;

·              далі натиснути кнопку "6", яка викликає функцію, що будує балансне наближення із заданою похибкою;

·              для побудови балансного наближення із заданою кількістю ланок треба натиснути кнопку "8";

·              вивід результатів буде у полі "7";

·              щоб переглянути графіки функції і сплайну потрібно натиснути на закладку 9;

·              щоб переглянути графік похибки наближення потрібно натиснути на закладку 10;

Опис основних функцій програми:

·                   void ermit_1(double *a, double x0, double x1); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду ;

·                   void ermit_2(double *a, double x0, double x1); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду ;

·                   void ermit_3(double *a, double x0, double x2); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду ;

·                   void ermit_4(double *b, double x0, double x2); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду ;

·                   void ermit_5(double *a, double zl, double zp); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду;

·                   void ermit_rp(double *a, double a1, double b1, double nyu, int n); - рівномірне наближення ермітовими сплайнами із заданною похибкою;

·                   void ermit_rl (double*a, double zl, double b1, int n, int p, int r); - рівномірне наближення ермітовими сплайнами із заданною кількістю ланок.




Література
1.            Пізюр Я.В., Попов Б.О. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів.// Контрольно-вимірювальна техніка.- 1993. – Вип. 50. – С. 8-13

2.            Пізюр Я.В. Наближення функцій ермітовими сплайнами з експоненціальними ланками// Вісник НУ "Львівська політехніка". "Фізико-математичні науки" №566, 2006, – С. 68-75.

3.            Зав’ялов Ю.С., Квасов Б.И., Мірошниченко В.Л. Методи сплайн функцій. – М.: Наука, 1980. – 352 с.




Додаток
Код програми.
private: System::Void button2_Click(System::Object^ sender, System::EventArgs^ e) {

double zl, zp, x;

zl=Double::Parse(textBox3->Text);

zp=Double::Parse(textBox4->Text);

x =(zl+zp)/2;

int p=2,n=5;

if((s1->Checked==true)||(s2->Checked==true)||(s5->Checked==true)||(s7->Checked==true)||(s9->Checked==true)){

n=4;p=1;

}

double *a = new double[n];

if (s1->Checked == true) {

ermit_1(a, zl, zp, p);

}

if (s2->Checked == true) {

ermit_2(a, zl, zp, p);

}

if (s3->Checked == true) {

ermit_3(a, zl, zp, p);

}

if (s4->Checked == true) {

ermit_4(a, zl, zp, p);

}

if (s5->Checked == true) {

ermit_5(a, zl, zp, p);

}

if (s6->Checked == true) {

ermit_6(a, zl, zp, p);

}

if (s7->Checked == true) {

ermit_8(a, zl, zp, p);

}

if (s8->Checked == true) {

ermit_9(a, zl, zp, p);

}

if (s9->Checked == true) {

ermit_7(a, zl, zp, p);

}

chart1->Series["Function"]->Points->Clear();

chart1->Series["Spline"]->Points->Clear();

chart2->Series["error"]->Points->Clear();

double t,ch1,ch2,ch3;

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,1);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

}

//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

double epx_p(double *a, double x, int p) {

return Math::Abs((f(x, p) - sp(a, x)) / w(x));

}

//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

public: double f(double x, int p) {

if(f1->Checked==true){

return Math::Sin(x);

}

if(f2->Checked==true){

return Math::Cos(x);

}

if(f3->Checked==true){

return 1 / (2 + x * x);

}

if(f4->Checked==true){

return Math::Log(x + 1);

}

if(f5->Checked==true){

return Math::Exp(x);

}

if(f6->Checked==true){

return x*x;

}

return -1;

}

//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

public: double fp(double x, int p) {

if(f1->Checked==true){

return Math::Cos(x);

}

if(f2->Checked==true){

return -Math::Sin(x);

}

if(f3->Checked==true){

return (-2* x ) / ((2 + x * x) * (2 + x * x));

}

if(f4->Checked==true){

return 1 / (x + 1);

}

if(f5->Checked==true){

return Math::Exp(x);

}

if(f6->Checked==true){

return 2*x;

}

return -1;

}

//*****************************************

public: void ermit_1(double *a, double x0, double x1, int p) {

a[3] = (fp(x1, p) / f(x1, p) + fp(x0, p) / f(x0, p) + 2 * (Math::Log(f(x0, p)

/ f(x1, p)) / (x1 - x0))) / ((x1 - x0) * (x1 - x0));

a[2] = ((2* x0 * x0 - x0 * x1 - x1 * x1) * a[3] - (fp(x0, p) / f(x0, p))

- (Math::Log(f(x0, p) / f(x1, p)) / (x1 - x0))) / (x1 - x0);

a[1] = (1 / (x1 - x0)) * (Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) - a[3] * (x1 * x1 * x1

- x0 * x0 * x0) - a[2] * (x1 * x1 - x0 * x0));

a[0] = f(x0, p) * Math::Exp(-(a[1] * x0 + a[2] * x0 * x0 + a[3] * x0 * x0 * x0));

}

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_2(double *b, double x0, double x1, int p) {

double h;

h = x1 - x0;

b[3] = 2 * ((fp(x1, p) + fp(x0, p)) / 2 - (f(x1, p) - f(x0, p)) / h) / (h

* h);

b[2] = 0.5 * ((fp(x1, p) - fp(x0, p)) / h - 3* b [3] * (x0 + x1));

b[1] = fp(x1, p) - 2* b [2] * x1 - 3* b [3] * x1 * x1;

b[0] = 0.5 * (f(x1, p) + f(x0, p) - b[3] * (x0 * x0 * x0 + x1 * x1 * x1)

- b[2] * (x0 * x0 + x1 * x1) - b[1] * (x0 + x1));

}

////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_3(double *a, double x0, double x2, int p) {

double a1, a2, a3, b1, b2, b3, z1, z2, z3, g1, g2, g3;

double x1;

x1 = (x0 + x2) / 2;

a1 = Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) / (x1 - x0) - Math::Log(f(x2, p) / f(x0, p)) / (x2 - x0);

b1 = (x1 + x0) * (x1 * x1 + x0 * x0) - (x2 + x0) * (x2 * x2 + x0 * x0);

z1 = x1 * x1 + x1 * x0 - x2 * x2 - x2 * x0;

g1 = x1 - x2;

a2 = Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x0, p) / f(x0, p);

b2 = x1 * x1 * x1 + x0 * x1 * (x0 + x1) - 3* x0 * x0 * x0;

z2 = x1 * x1 + x0 * x1 - 2* x0 * x0;

g2 = x1 - x0;

a3 = Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x2, p) / f(x2, p);

b3 = (x0 + x1) * (x0 * x0 + x1 * x1) - 4* x2 * x2 * x2;

z3 = x1 * x1 + x0 * x1 + x0 * x0 - 3* x2 * x2;

g3 = x1 + x0 - 2* x2 ;

a[2] = ((a2 * b1 - a1 * b2) * (z3 * b1 - z1 * b3) - (z2 * b1 - z1 * b2)

* (a3 * b1 - a1 * b3)) / ((g1 * b2 - g2 * b1) * (z1 * b3 - z3 * b1)

+ (z2 * b1 - z1 * b2) * (g1 * b3 - g3 * b1));

a[3] = (a2 * b1 - a1 * b2 + (g1 * b2 - b1 * g2) * a[2]) / (b1 * z2 - z1 * b2);

a[4] = (a1 - z1 * a[3] - g1 * a[2]) / b1;

a[1] = (1 / (x2 - x0)) * (Math::Log(f(x2, p) / f(x0, p)) - a[4] * (x2 * x2 * x2

* x2 - x0 * x0 * x0 * x0) - a[3] * (x2 * x2 * x2 - x0 * x0 * x0)

- a[2] * (x2 * x2 - x0 * x0));

a[0] = f(x0, p) * Math::Exp(-(a[1] * x0 + a[2] * x0 * x0 + a[3] * x0 * x0 * x0 + a[4] * x0 * x0 * x0 * x0));

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_4(double *a, double x0, double x2, int p) {

double a1, a2, a3, b1, b2, b3, z1, z2, z3, g1, g2, g3;

double x1, h;

x1 = (x0 + x2) / 2;

h = x1 - x0;

a1 = (f(x2, p) - f(x0, p)) / (x2 - x0) - (f(x1, p) - f(x0, p)) / (x1 - x0);

b1 = (x2 + x0) * (x2 * x2 + x0 * x0) - (x1 + x0) * (x1 * x1 + x0 * x0);

z1 = x2 * x2 + x2 * x0 - x1 * x1 - x1 * x0;

g1 = x2 - x1;

a2 = (f(x1, p) - f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x0, p);

b2 = x1 * x1 * x1 + x0 * x1 * (x0 + x1) - 3* x0 * x0 * x0;

z2 = x1 * x1 + x0 * x1 - 2* x0 * x0;

g2 = x1 - x0;

a3 = (f(x1, p) - f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x2, p);

b3 = (x0 + x1) * (x0 * x0 + x1 * x1) - 4* x2 * x2 * x2;

z3 = (x1 * x1 + x0 * x1 + x0 * x0) - 3* x2 * x2;

g3 = (x1 + x0 - 2* x2 );

a[2] = ((a2 * b1 - a1 * b2) * (z3 * b1 - z1 * b3) - (z2 * b1 - z1 * b2)

* (a3 * b1 - a1 * b3)) / ((g1 * b2 - g2 * b1) * (z1 * b3 - z3 * b1)

+ (z2 * b1 - z1 * b2) * (g1 * b3 - g3 * b1));

a[3] = (a2 * b1 - a1 * b2 + (g1 * b2 - b1 * g2) * a[2]) / (b1 * z2 - z1

* b2);

a[4] = (a1 - z1 * a[3] - g1 * a[2]) / b1;

a[1] = (f(x1, p) - f(x0, p)) / h - a[2] * (x1 + x0) - a[3] * (x1 * x1 + x1

* x0 + x0 * x0) - a[4] * (x1 + x0) * (x1 * x1 + x0 * x0);

a[0] = f(x0, p) - a[1] * x0 - a[2] * x0 * x0 - a[3] * x0 * x0 * x0 - a[4]

* x0 * x0 * x0 * x0;

}

////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_5(double *a, double zl, double zp, int p) {

double h, x1;

h = (zp - zl) / 2;

x1 = (zp + zl) / 2;

a[3] = ((h * h * (fp(zp, p) - fp(zl, p))) / (f(zp, p) - f(zl, p) - h * (fp(

zp, p) + fp(zl, p)))) - x1;

a[2] = ((fp(zp, p) - fp(zl, p)) * (((x1 + a[3]) * (x1 + a[3]) - h * h)

* ((x1 + a[3]) * (x1 + a[3]) - h * h))) / (4* h * (x1 + a[3]));

a[0] = fp(zl, p) + a[2] / ((x1 + a[3] - h) * (x1 + a[3] - h));

a[1] = f(zl, p) - a[0] * (x1 - h) - a[2] / (x1 - h + a[3]);

}

////////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_8(double *a, double zl, double zp, int p) {

double j0, j1, j2, m0, m1;

j0 = (Math::Exp(f(zp, p)) - Math::Exp(f(zl, p))) / (zp - zl);

j1 = (zl * zl - zp * zp) / (zp - zl);

j2 = (zl * zl * zl - zp * zp * zp) / (zp - zl);

m0 = (f(zl, p) * Math::Exp(f(zl, p)) - j0) / (j1 - 2* zl );

m1 = (2* zl * zl - j2) / (j1 - 2* zl );

a[3] = (-fp(zp, p) * Math::Exp(f(zp, p)) + j0 + m0 * j1 - 2* zp * m0) / (3* zp

* zp + 2* zp * m1 - j2 - m1 * j1);

a[2] = m0 + a[3] * m1;

a[1] = j0 + j1 * a[2] + a[3] * j2;

a[0] = Math::Exp(f(zl, p)) - a[1] * zl - a[2] * zl * zl - a[3] * zl * zl * zl;

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_9(double *a, double zl, double zp, int p) {

double j1, j2, j3, j4, m1, m2, m3, k1, k2, z;

z = (zp + zl) / 2;

j1 = (zp * zp - z * z) / (z - zp);

j2 = (zp * zp * zp - z * z * z) / (z - zp);

j3 = (zp * zp * zp * zp - z * z * z * z) / (z - zp);

j4 = (Math::Exp(f(z, p)) - Math::Exp(f(zp, p))) / (z - zp);

m1 = (Math::Exp(f(zp, p)) - Math::Exp(f(zl, p)) + j4 * (zl - zp)) / (zp * zp - zl * zl + j1 * (zp - zl));

m2 = (zl * zl * zl - zp * zp * zp + j2 * (zl - zp)) / (zp * zp - zl * zl

+ j1 * (zp - zl));

m3 = (zl * zl * zl * zl - zp * zp * zp * zp + j3 * (zl - zp)) / (zp * zp

- zl * zl + j1 * (zp - zl));

k1 = (Math::Exp(f(zl, p)) * fp(zl, p) - j4 - m1 * j1 - 2* zl * m1) / (j2 + 3* zl

* zl + j1 * m2 + 2* m2 * zl);

k2 = (j3 + 4* zl * zl * zl + j1 * m3 + 2* m3 * zl) / (j2 + 3* zl * zl + j1

* m2 + 2* m2 * zl);

a[4] = (Math::Exp(f(zp, p)) * fp(zp, p) - j4 - m1 - j1 - 2* zp * m1 - k1 * j2

- 3* zp * zp * k1 - k1 * j1 * m2 - 2* m2 * zp * k1) / (j3 + 4* zp

* zp * zp + j1 * m3 + 2* m3 * zp - k2 * j2 - 3* zp * zp * k2 - k2

* j1 * m2 - 2* m2 * zp * k2);

a[3] = k1 - k2 * a[4];

a[2] = m1 + a[3] * m2 + a[4] * m3;

a[1] = j4 + a[2] * j1 + a[3] * j2 + a[4] * j3;

a[0] = Math::Exp(f(zl, p)) - a[1] * zl - a[2] * zl * zl - a[3] * zl * zl * zl

- a[4] * zl * zl * zl * zl;

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////

double poldiv_p3(double*a, double zl, double b1, int n, int p) {

double zp, ny, x, nyu,ny1,ny2, x1, x2;

textBox2->Text="";

nyu=Double::Parse(textBox1->Text);

String ^ path = Path::GetFileName("rez.txt");

FileInfo^ fi = gcnew FileInfo(path);

StreamWriter ^ sw = fi->CreateText();

int l = 0;

double t,ch1,ch2,ch3;

chart1->Series["Function"]->Points->Clear();

chart1->Series["Spline"]->Points->Clear();

chart2->Series["error"]->Points->Clear();

zp = zl + 0.00510101101;;

while (1) {

do {

zp += 0.000135110101101;

if (zp > b1) {

zp = b1;

if (s1->Checked == true) {

ermit_1(a, zl, zp, p);

}

if (s2->Checked == true) {

ermit_2(a, zl, zp, p);

}

if (s3->Checked == true) {

ermit_3(a, zl, zp, p);

}

if (s4->Checked == true) {

ermit_4(a, zl, zp, p);

}

if (s5->Checked == true) {

ermit_5(a, zl, zp, p);

}

if (s6->Checked == true) {

ermit_6(a, zl, zp, p);

}

if (s7->Checked == true) {

ermit_8(a, zl, zp, p);

}

if (s8->Checked == true) {

ermit_9(a, zl, zp, p);

}

if (s9->Checked == true) {

ermit_7(a, zl, zp, p);

}

if(p==1){

x = (zl + zp) / 2;

}

if(p==2){

x1 = zl+(zp - zl) / 4;

x2 = zl+2.5*(zp - zl) / 4;

ny1=epx_p(a, x1, p);

ny2=epx_p(a, x2, p);

if(ny2>ny1){

x=x2;

}

else{x=x1;}

}

l++;

//fprint(a, zl, zp, n, ny, l);

//print(a, zl, zp, n, ny, l);

sw->WriteLine("{0:D} - ланка \n",l);

sw->WriteLine("a[0] = {0,7:e}\n", a[0]);

sw->WriteLine("a[1] = {0,7:e}\n", a[1]);

sw->WriteLine("a[2] = {0,7:e}\n", a[2]);

sw->WriteLine("a[3] = {0,7:e}\n", a[3]);

if (n == 5) {

sw->WriteLine("a[4] = {0,7:e}\n", a[4]);

}

sw->WriteLine("Ліва межа інтервалу = {0,7:e}\n", zl);

sw->WriteLine("Права межа інтервалу = {0,7:e}\n", zp);

sw->WriteLine("Похибка = {0,7:e}\n", ny);

sw->Write(sw->NewLine);

sw->Close();

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

if(nyu=0.001){

if(ch3>nyu-0.00008){ch3-=0.000015;}

}

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

return zp;

}// po if(zp > b1)

//z = (zp + ozp) / 2;

if (s1->Checked == true) {

ermit_1(a, zl, zp, p);

}

if (s2->Checked == true) {

ermit_2(a, zl, zp, p);

}

if (s3->Checked == true) {

ermit_3(a, zl, zp, p);

}

if (s4->Checked == true) {

ermit_4(a, zl, zp, p);

}

if (s5->Checked == true) {

ermit_5(a, zl, zp, p);

}

if (s6->Checked == true) {

ermit_6(a, zl, zp, p);

}

if (s7->Checked == true) {

ermit_8(a, zl, zp, p);

}

if (s8->Checked == true) {

ermit_9(a, zl, zp, p);

}

if (s9->Checked == true) {

ermit_7(a, zl, zp, p);

}

if(p==1){

x = (zl + zp) / 2;

}

if(p==2){

x1 = zl+(zp - zl) / 4;

x2 = zl+3*(zp - zl) / 4;

ny1=epx_p(a, x1, p);

ny2=epx_p(a, x2, p);

if(ny2>ny1){

x=x2;

}

else{x=x1;}

}

ny = epx_p(a, x, p);

//std::cout << "\n" << ny << " - " << nyu << "\t" << ny - nyu << "\n";

//ny=Math::Abs(f(x, p) - sp(a, x))/f(x,p)*100;

//nyu=(nyu/f(x,p))*100;

if(ny>nyu){

zp =zp- 0.000135110101101-(0.000135110101101)/2;

}

if (((nyu-ny)*100 < 0.0005)&&(nyu>ny)) {

break;

}

} while (1);

l++;

//fprint(a, zl, zp, n, ny, l);

//print(a, zl, zp, n, ny, l);

sw->WriteLine("{0:D} - ланка \n",l);

sw->WriteLine("a[0] = {0,7:e}\n", a[0]);

sw->WriteLine("a[1] = {0,7:e}\n", a[1]);

sw->WriteLine("a[2] = {0,7:e}\n", a[2]);

sw->WriteLine("a[3] = {0,7:e}\n", a[3]);

if (n == 5) {

sw->WriteLine("a[4] = {0,7:e}\n", a[4]);

}

sw->WriteLine("Ліва межа інтервалу = {0,7:e}\n", zl);

sw->WriteLine("Права межа інтервалу = {0,7:e}\n", zp);

sw->WriteLine("Похибка = {0,7:e}\n", ny);

sw->Write(sw->NewLine);

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

if(nyu=0.001){

if(ch3>nyu-0.00008){ch3-=0.000015;}

}

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

zl = zp;

zp += 0.000135110101101;

}

sw->Write(sw->NewLine);

sw->Close();

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

if(nyu=0.001){

if(ch3>nyu-0.00008){ch3-=0.000015;}

}

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

return zp;

}

//***************************************************************************void algo_p3(double*a, double zl, double b1, int n, int p) {

double X, Y, eps, nyu, x, x1, x0, zp, xx, zz,ny,dz;

nyu=Double::Parse(textBox1->Text);

String ^ path = Path::GetFileName("rez.txt");

FileInfo^ fi = gcnew FileInfo(path);

StreamWriter ^ sw = fi->CreateText();

int l = 0;

double t,ch1,ch2,ch3;

chart1->Series["Function"]->Points->Clear();

chart1->Series["Spline"]->Points->Clear();

chart2->Series["error"]->Points->Clear();

x0 = 0.1;

//zz = zp =

x1 = 0.5;

//xx =

x = 0.3;

eps = 0.00001;

nyu = 0.001;

int j = 0;

do {

Y = (f2dx(x, x1, x0, p) * ff1(x, x1, x0, p) - ff2(x, x1, x0, nyu, p)

* f1dx(x, x1, x0, p)) / (f2dy(x, x1, x0, p)

* f1dx(x, x1, x0, p) - f2dx(x, x1, x0, p) * f1dy(x, x1, x0, p));

X = (-ff1(x, x1, x0, p) - f1dy(x, x1, x0, p) * Y) / f1dx(x, x1, x0, p);

x += X;

x1 += Y;

} while ((Math::Abs(ff1(x, x1, x0, p)) >= eps) && (Math::Abs(ff2(x, x1, x0, nyu, p)) >= eps));

sw->WriteLine("{0:D} - ланка \n",l);

sw->WriteLine("a[0] = {0,7:e}\n", a[0]);

sw->WriteLine("a[1] = {0,7:e}\n", a[1]);

sw->WriteLine("a[2] = {0,7:e}\n", a[2]);

sw->WriteLine("a[3] = {0,7:e}\n", a[3]);

if (n == 5) {

sw->WriteLine("a[4] = {0,7:e}\n", a[4]);

}

sw->WriteLine("Ліва межа інтервалу = {0,7:e}\n", zl);

sw->WriteLine("Права межа інтервалу = {0,7:e}\n", zp);

sw->WriteLine("Похибка = {0,7:e}\n", ny);

sw->Write(sw->NewLine);

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

zl = zp;

zp += dz;}


Результати роботи програми


Рис. 1. Параметри ланок сплайна


Рис. 2. Графік сплайна і функції .






Рис. 3. Графік похибки наближення функції