Начнем с самых простых вещей. В I классе многим детям с трудом дается красивое письмо. Одна часть букв наклоняется вправо, другая – влево, одна вылезает за верхнюю линейку, а вторая не дотянулась до нижней. Учителя и родители нередко сердятся на детей и требуют, чтобы они переписывали еще и еще раз. К сожалению, это не всегда помогает, а если и помогает, то очень медленно. Чего, собственно, ребенку недостает? Некоторые учителя считают, что ребенок плохо пишет потому, что у него неумелые руки. Чтобы помочь руке ребенка, учительница или мать берет детскую ручонку в свою и начинает вместе с ним писать буквы. Хорошо это или плохо? Исследования показали, что это очень плохо. Почему? Да потому, что учить надо не руку, а голову. Конечно, буквы пишет рука, но управляет рукой голова ребенка, прокладывая с помощью зрения путь руке на бумаге. И начинать надо не с движений руки, а с анализа того пути, который должна пройти рука. Для этого надо научить учащихся выделять в контуре буквы единицы этого контура, т.е. такие отрезки линии, на которых она не меняет существенно своего направления. Для того чтобы эти отрезки были видны, разделите их точками. После объяснения и показа, как это делать, предложите учащимся все это проделать самостоятельно. Разумеется, их работу надо контролировать. После этого пусть дети перенесут эти точки на тетрадную сетку. Для того чтобы они делали это правильно, покажите им, где располагаются нужные точки. Ученик переносит точки и получает их систему.
У вас может возникнуть вопрос: а нельзя ли учащимся дать эти точки в готовом виде? Можно, конечно. Но в этом случае умственную работу – анализ буквы проделаете вы, а детям остается лишь механическая работа: обведение контура. Таким путем тоже можно правильно научить писать, но в этом случае букву каждого нового типа придется учить писать заново. Если же ребенка самого научить анализировать контуры типичных 4–5 букв и научить их воспроизводить, то после этого он с первого раза будет писать любую букву правильно. Так, например, красиво русские дети пишут с первого раза грузинские буквы. Больше того, дети, которые сами анализировали контур, стали и рисовать лучше. И это понятно: на бумагу переносится контур. Следовательно, в нем тоже надо выделить единицы контура.
Важна разница и во времени. Если учить так, как обычно учат до школы и в школе, то ребенку потребуется в 20 раз больше времени, чем при правильном методе обучения. И главное, при правильном обучении у детей формируется графическая способность, которую они затем используют и при письме цифр, и при рисовании. При неправильном обучении такой способности не формируется. Как видим, с одной стороны, выполнение практического действия невозможно без опоры на определенные познавательные умения. С другой стороны, можно формировать определенные умственные способности при обучении даже простым двигательным навыкам. Итак, теоретические, познавательные виды деятельности занимают не только ведущее место в интеллектуальных видах труда, но и определяют успех в труде практическом. Но как же формируются новые умственные действия, различные виды познавательной деятельности?
Как овладеть этими невидимыми действиями, которые человек совершает не руками, не внешним образом, а про себя, в голове?
Как показать их содержание, чтобы учащийся понял, что он должен делать в уме, как делать?
На помощь нам приходят действия внешние, материальные. Они дают возможность невидимые внутренние действия сделать видимыми, показать их содержание учащимся, сделать их понятными.
Необходимость введения материальных вещей, моделей в процесс обучения давно подмечена в педагогике и сформулирована в виде так называемого принципа наглядности. Однако для формирования умственных действий следует вводить в процесс обучения не только вещи, но и материальные действия учащихся, направленные на них. Как без внешних предметов нельзя сформировать понятие, так и без внешнего действия не может быть сформировано мыслительное. «…Идеальное, – пишет Маркс, – есть не что иное, как материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней».
Ребенок приходит в школу с определенным запасом умственных действий, и учитель, используя их, не всегда задумывается о пути, который они прошли. Так, например, учащимся очень часто приходится производить умственный, теоретический анализ: выделять части цветка, не нарушая практически его целостности; выделять в задаче вопрос и условия и т.д.
Откуда появляется это умственное разделение целого на части? Оно, как и действие сложения в уме, образуется из практического внешнего действия.
Известно, что дети очень любят ломать игрушки. Делают они это не из-за озорства, а из желания узнать, из чего сделана игрушка, что у нее внутри. Это первые аналитические шаги. Кажется – что общего между действиями ребенка, разламывающего игрушечную лошадку на кусочки, и действиями ученого, анализирующего сложные общественные события, математические закономерности? Но без практики такого деления предметов на части человек не смог бы приобрести способность анализировать в уме, про себя.
Роль внешних действий в формировании умственных действий, связанных с изучением начальной арифметики, хорошо известна учителям. И ни один учитель не будет учить детей считать сразу устно или в уме. Но путь от внешнего к внутреннему проходят все новые умственные действия, и не только у детей младших классов, но и у учащихся старших классов и даже у взрослых. Правда, это могут быть не обязательно действия с предметами: их могут заменить действия с моделями, схемами, чертежами. Но это активные действия, которые учащиеся производят сами, руками, а не наблюдают лишь за действиями учителя.

2. Общедеятельностные умения
Как часто учитель, обращаясь к детям, предлагает им послушать, посмотреть, запомнить, быть внимательными. Если ученики овладели всеми этими умениями, то от учителя ничего больше и не требуется, кроме, как активно использовать эти возможности детей.
Ну а если учащиеся не умеют этого делать? Ведь человек не родится с этими умениями. Чтобы увидеть, писал И.М. Сеченов, надо уметь смотреть; чтобы услышать – надо уметь слушать. К сожалению, учителя, как правило, не заботятся о формировании этих необходимых умений. Не всегда школа формирует и рациональные приемы запоминания. Ведь не секрет, что подавляющее большинство школьников при подготовке домашних заданий использует чисто механическое запоминание: многократное чтение и почти дословное пересказывание. Хорошо известно, как непродуктивны эти приемы запоминания. Иногда через день-два ученик уже ничего не помнит из того, что так бойко рассказывал на уроке. И вина здесь не ученика, а учителя, который, не научив рациональным приемам запоминания, требует, чтобы ученик запоминал. Выход у ученика только один: пользоваться тем, чем располагает. Именно поэтому так распространена «зубрежка». Это малоэффективное средство обладает в то же время одним большим преимуществом: оно универсально, может быть использовано при запоминании любого материала. Как ни странно, но к механическому запоминанию прибегают не только ученики начальной школы, а и старшеклассники и даже студенты. Больше того, немало еще учителей, которые не только не борются с этим нерациональным способом запоминания, а, наоборот, считают, что его надо укреплять.
Приведем один поразивший нас пример. Известно, что в начальной школе дети выучивают наизусть немало стихотворений. И вот мы довольно большой группе учителей задали вопрос, касающийся роли стихотворений в познавательной деятельности учащихся. Среди ответов был и такой: «Стихотворения играют большую роль в развитии механической памяти детей».
Не будем обижаться за поэзию, которой уготован такой неблагодарный удел, но пожалеем школьников, которые вынуждены ежедневно заниматься изнуряющей, неинтересной и неблагодарной работой по заучиванию самого разного учебного материала. Психологическая наука уже давно не только доказала неэффективность механического заучивания, но и разработала приемы осмысленного запоминания. Как дальше будет показано, прочное запоминание можно обеспечить вообще без заучивания.
Нет необходимости доказывать, что приемы осмысленного запоминания нужны не только в учебной деятельности, но и во многих других ее видах, выполняемых человеком на протяжении жизни.
Другим важным умением, необходимым для любой деятельности, является умение быть внимательным.
Психолог Н.В. Кузьмина изучила около 400 учителей разных классов и разных уровней мастерства. Оказалось, что среди трудностей, которые испытывают учителя, первое место занимает проблема воспитания внимания учащихся. Характерно, что даже учителя-мастера, которые успешно справляются со многими другими трудностями, указывают на задачу воспитания внимания как наиболее сложную для них. Это говорит о том, что здесь существуют объективные трудности. И это действительно так. Внимание доставляет много хлопот не только учителям, но и исследователям-психологам. Главная трудность состояла в том, что никак не могли правильно установить роль внимания в познавательной деятельности человека. С одной стороны, совершенно очевидно, что роль внимания велика во всех видах деятельности, в том числе и учебной, но в чем конкретно эта роль состоит, до последнего времени оставалось неясным. В силу этого учитель получал множество общих рекомендаций, но все они касались не внимания, а каких-то других сторон деятельности учащихся.
Особенность большинства этих рекомендаций состоит в том, что в них предлагается воздействовать на внимание косвенным путем. Одни считают, что надо идти через воспитание личности: убежденность, сознательное отношение к знаниям, воспитание воли, твердости характера и т.д. Это означает, что воспитание внимания должно идти через организацию всей системы обучения и воспитания школьника. Для первоначальной организации внимания на уроке подчеркивается важность понятности изложения материала, наглядности и действенности учения.
Большое значение в этих рекомендациях придается внешней организации поведения ребенка: звонок, вставание, приведение в порядок рабочего места и т.п.
Другие исследователи главное внимание обращают на такие средства, которые помогают сосредоточиться на объекте. К ним относятся: способ постановки вопроса учителем (вопрос следует задавать не отдельному ученику, а всему классу), проверка понимания учеником поставленного вопроса; сопоставление ответа с поставленным вопросом; требование логичности и доказательности ответов и т.д.
Некоторые авторы подчеркивают: для воспитания внимания очень важно, чтобы ученик осознавал значение своей учебной работы, ее необходимость для будущей деятельности. Можно назвать десятки общих рекомендаций, которые, однако, все направлены на формирование не внимания как такового, а различных сторон личности школьника, его психического развития в целом. Так, в книге Ф.Н. Гоноболина «Внимание и его воспитание» (М., 1972) такого рода рекомендации учителю занимают множество страниц. Учителю советуют воспитывать у учащихся подтянутость и дисциплинированность, правильную организацию жизни, учить сознательно относиться к работе; внушить ребенку желание хорошо работать и укрепить в нем веру в свои силы; вырабатывать привычку сосредоточивать внимание на работе, предъявлять строгие требования к внимательной, усидчивой работе в определенное время и т.п.
Читая эти рекомендации, учитель, естественно, встанет перед вопросом: как же научить сосредоточивать внимание на работе, если у ребенка внимания-то и нет? А в объемном перечне рекомендаций нет ни одной, которая касалась бы непосредственно внимания, т.е. указывала бы прямой путь к воспитанию умения быть внимательным.
Только в 70-е гг. нашего столетия было установлено, что внимание выполняет контрольную функцию и его воспитание надо начинать с обучения учащихся контролю. Внешний контроль, превращенный в контроль внутренний, автоматизированный, и есть внимание. И теперь мы можем дать учителю конкретную методику, как работать с учащимися, у которых внимание не сформировалось в их прошлом опыте. Понятно теперь, почему так велика роль внимания в учебной, как и во всякой другой деятельности.
Не останавливаясь на других умениях, относящихся к группе общедеятельностных, отметим лишь, что многие из них необходимо формировать у учащихся в начальной школе, чтобы обеспечить им успешное выполнение не только учебной, но и других видов деятельности: трудовой, спортивной и т.д. К числу таких умений относится умение планировать свою деятельность, а также время жизнедеятельности в целом; умение сотрудничать с другими людьми и др.

3. Специфические приемы познавательной деятельности
Полноценное усвоение знаний предполагает также формирование таких познавательных действий, которые составляют специфические приемы, характерные для той или иной области знаний. Своеобразие этих приемов состоит в том, что их формирование возможно только на определенном предметном материале. Так, нельзя, например, сформировать приемы математического мышления, минуя математические знания; нельзя сформировать лингвистическое мышление без работы над языковым материалом. Без формирования специфических действий, характерных для данной области знаний, не могут быть сформированы и использованы и логические приемы. В частности, большинство рассмотренных нами приемов логического мышления связано с установлением наличия в предъявленных предметах и явлениях необходимых и достаточных свойств. Однако обнаружение этих свойств в разных предметных областях требует использования разных приемов, разных методов, т.е. требует применения уже специфических приемов работы: в математике они одни, в языке – другие и т.д.
Эти приемы познавательной деятельности, отражая специфические особенности данной научной области, менее универсальны, не могут быть перенесены на любой другой предмет. Так, например, человек, великолепно владеющий специфическими приемами мышления в области математики, может не уметь справиться с историческими задачами, и наоборот. Когда говорят про человека, что у него, допустим, технический склад ума, это и означает, что он овладел основной системой специфических приемов мышления в данной области. Однако и специфические виды познавательной деятельности нередко могут быть использованы в целом ряде предметов.
Примером может служить обобщенный прием получения графических изображений. Анализ частных видов проекционных изображений, изучаемых в школьных курсах геометрии, черчения, географии, рисования и соответствующих им частных видов деятельности, позволил выделить следующее инвариантное содержание умения по получению проекционных изображений:
а) установление способа проецирования;
б) определение способа изображения базисной конфигурации по условию задачи;
в) выбор базисной конфигурации;
г) анализ формы оригинала;
д) изображение элементов, выделенных в результате анализа формы оригинала и принадлежащих одной плоскости, с опорой на свойства проекций;
е) сравнение оригинала с его изображением.
Каждый конкретный способ изображения проекций в указанных предметах представляет собой лишь вариант данного. В силу этого формирование приведенного вида деятельности на материале геометрии обеспечивает учащимся самостоятельное решение задач на получение проекционных изображений в черчении, географии, рисовании. Это означает, что межпредметные связи должны реализовываться по линии не только общих, но и специфических видов деятельности. Что касается планирования работы по каждому отдельному предмету, то учителю необходимо заранее определить последовательность введения в учебный процесс не только знаний, но и специфических приемов познавательной деятельности.
В школе открываются большие возможности для формирования различных приемов мышления. Уже в начальных классах надо заботиться не только о математических и языковых приемах мышления, но и таких, как биологические, исторические. В самом, деле, ведь учащиеся сталкиваются в начальных классах и с природоведческим и обществоведческим материалом. И вот при анализе его очень важно научить учащихся методам анализа, характерным для данных областей знаний. Если ученик просто запоминает несколько десятков природоведческих названий и фактов, то это мало дает ему для понимания законов природы. Если же его научат приемам наблюдения за объектами природы, помогут овладеть методами их анализа, установления причинно-следственных связей между ними, это будет началом формирования собственно биологического склада ума. Совершенно аналогично положение и с обществоведческими знаниями: надо учить не пересказывать их, а использовать для анализа различных социальных явлений.
Таким образом, каждый раз, когда учитель знакомит детей с новой предметной областью, он должен задуматься над теми специфическими приемами мышления, которые характерны для данной области, и постараться сформировать их у обучаемых.
Учитывая, что наибольшие затруднения вызывает математика, более подробно остановимся на приемах математического мышления. Дело в том, что если эти приемы не формируются у учащихся, то они, изучив весь курс математики, так и не научаются думать математически. А это означает, что математика изучена формально, что учащиеся не поняли ее специфических особенностей.
Так, учащиеся III класса уверенно и быстро складывают многозначные числа столбиком, уверенно указывая, что писать под чертой, что «замечать» наверху. Но задайте вопрос: «А почему надо так делать? Может быть, лучше наоборот: замеченное записать под чертой, а записанное заметить?» Многие ученики теряются, не знают, что ответить. Это означает, что такие ученики выполняют арифметические действия успешно, но их математического смысла не понимают. Правильно производя сложение и вычитание, они не понимают принципов, лежащих в основе системы счисления и в основе выполняемых ими действий. Для того чтобы производить арифметические действия, надо прежде всего понять принципы построения системы счисления, в частности зависимость величины числа от его места в разрядной сетке.
Не менее важно научить учеников понимать, что число – это отношение, что числовая характеристика – результат сравнения интересующей величины с каким-то эталоном. Это означает, что одна и та же величина будет получать разную числовую характеристику при сравнении ее с разными эталонами: чем больше эталон, которым мы будем измерять, тем меньше будет число, и наоборот. Значит, не всегда 3 меньше 5. Это верно лишь в том случае, когда величины измерены одним и тем же эталоном (мерой). Для понимания этого необходимо научить школьников прежде всего выделять те стороны в объекте, которые в данном случае подлежат количественной оценке. Если на это не обратить внимания, то у детей сформируется неправильное представление о числе. Так, если показать учащимся I класса ручку и спросить: «Дети, скажите, это сколько?» – они обычно отвечают, что одна. Но ведь этот ответ верен только в том случае, когда за «эталон» берется отдельность. Если же за измеряемую величину взять длину ручки, то числовая характеристика может быть разной, она будет зависеть от выбранного для измерения эталона: см, мм, дм и т.д.
Следующее, что должны усвоить учащиеся: сравнивать, складывать, вычитать можно только измеренное одной и той же мерой. Если ученики это понимают, то они смогут и обосновать, почему при сложении столбиком одно записывается под чертой, а другое замечается над следующим разрядом: единицы остаются на своем месте, а образованный из них десяток должен суммироваться с десятками, поэтому его и «замечают» над десятками и т.д. Понимание этого обеспечивает полноценные действия и с дробями.
Если учащиеся с I класса усвоили, что действия можно производить только над числами, полученными при измерении одной и той же мерой, то они поймут, почему необходимо приведение к общему знаменателю: это фактически приведение к общей мере. В самом деле, когда мы складываем, допустим, ½ и ⅓, это означает, что в одном случае единицу разделили на 3 части и взяли одну из них, в другом – на две части и тоже взяли одну из них. Очевидно, что это разные «меры». Складывать их нельзя. Для сложения необходимо привести их к единой «мере» – к общему знаменателю.
Наконец, если учащиеся усвоят, что величины можно измерять различными мерами и поэтому их числовая характеристика может быть разной, то они не будут испытывать трудностей и при движении по разрядной сетке системы счисления: от единицы – к десяткам, от десятков – к сотням, тысячам и т.д. Для них это будет выступать всего лишь как переход к измерению все большими и большими мерами: измеряли единицами, а теперь меру увеличили в 10 раз, поэтому то, что обозначалось как 10, теперь стало обозначаться как 1. Собственно, только величиной меры и отличается один разряд системы счисления от другого. В самом деле, три плюс пять всегда будет восемь, но это может быть и восемь сотен, и восемь тысяч и т.д. То же самое и при десятичных дробях. Но в этом случае мы меру не увеличиваем в 10 раз, а уменьшаем, поэтому получаем три плюс пять тоже восемь, но уже десятых, сотых, тысячных и т.д.
Таким образом, если учащимся раскрыть все эти «секреты» математики, то они легко будут понимать и усваивать ее. Если же этого не сделать, то учащиеся будут брать памятью, будут механически производить различные арифметические действия, не понимая их сути и, следовательно, не развивая своего математического мышления. Таким образом, формирование уже самых начальных знаний должно быть организовано так, чтобы это было одновременно и формированием мышления, определенных умственных способностей учащихся. Если этого нет, то усвоение знаний и умений оказывается формальным: учащиеся выполняют действия, совсем не понимая их специфического математического смысла.
Аналогичное положение и с другими предметами. Так, успешное овладение русским языком также невозможно без овладения специфическими языковыми приемами мышления. Нередко учащиеся, изучая части речи, члены предложения, не понимают их языковой сущности, а ориентируются на их место в предложении, или учитывают лишь формальные признаки. В частности, учащиеся не всегда понимают суть главных членов предложений, не умеют их узнавать в несколько непривычных для них предложениях. Попробуйте дать ученикам средних и даже старших классов предложения типа «Ужин только что подали», «Басни
Крылова читали все», «Листовки разносит ветром по городу». Многие ученики назовут подлежащим прямое дополнение.
Почему ученики затрудняются в определении подлежащего в предложениях, где подлежащего нет, где оно лишь подразумевается? Да потому, что они до сих пор имели дело только с такими предложениями, где подлежащие были. И это привело к тому, что они фактически не научились ориентироваться на все существенные признаки подлежащего одновременно, а довольствуются лишь одним: или смысловым, или формальным. Собственно грамматические приемы работы с подлежащим у учащихся не сформированы.
Язык, как и математику, можно изучать по существу, т.е. с пониманием его специфических особенностей, с умением опираться на них, пользоваться ими. Но это будет только в том случае, когда учитель формирует необходимые приемы языкового мышления. Если же об этом должной заботы не проявляется, то язык изучается формально, без понимания сути, а поэтому и не вызывает интереса у учащихся.
Следует отметить, что иногда необходимо формировать такие специфические приемы познавательной деятельности, которые выходят за рамки изучаемого предмета и в то же время определяют успех в его овладении. Особо рельефно это выступает при решении арифметических задач.
Для того чтобы понять особенности работы с арифметическими задачами, прежде всего ответим на вопрос: в чем состоит отличие решения задачи от решения примеров? Известно, что ученики гораздо легче справляются с примерами, чем с задачами. Известно также, что главное затруднение состоит обычно в выборе действия, а не в его выполнении. Почему так происходит и что значит выбрать действие? Вот первые вопросы, на которые надо ответить.
Отличие решения задач от решения примеров состоит в том, что в примерах все действия указаны, и ученик должен лишь выполнить их в определенном порядке. При решении же задачи, ученик, прежде всего, должен определить, какие действия необходимо совершить. В условии задачи всегда описана та или иная ситуация: заготовка корма, изготовление деталей, продажа товаров, движение поездов и т.д. За этой конкретной ситуацией ученик должен увидеть определенные арифметические отношения. Другими словами, он должен фактически математическим языком описать приведенную в задаче ситуацию.
Естественно, что для правильного описания ему надо не только знать саму арифметику, но и понимать сущность основных элементов ситуации, их отношения. Так, при решении задач на «куплю-продажу» ученик может правильно действовать только тогда, когда понимает, что такое цена, стоимость, какие отношения между ценой, стоимостью и количеством товара. Учитель часто полагается на житейский опыт учеников и не всегда уделяет достаточное внимание анализу описанных в задачах ситуаций. Вот это и приводит к одному из главных затруднений при решении задач.
В самом деле, если при решении задач на «куплю-продажу» учащиеся имеют еще какой-то житейский опыт, то при решении задач, например, на «движение» этот опыт оказывается явно недостаточным, что вызывает особенно большие затруднения у учащихся. Эти трудности объясняются прежде всего тем, что учащиеся часто не понимают сути основных понятий, указанных в задаче, и существующих между ними отношений.
Анализ указанных видов задач, как и многих других, показывает, что основу описываемого в них сюжета составляют величины, связанные с процессами: скорость поездов, время протекания процесса, продукт (результат), к которому приводит этот процесс или который он уничтожает. Это может быть путь, проделанный поездом; это может быть израсходованный корм и т.д. Успешное решение этих задач предполагает правильное понимание не только этих величин, но и существующих между ними отношений. Так, например, ученики должны понимать, что величина пути или производимого продукта прямо пропорциональна скорости и времени, а время, необходимое для получения какого-либо продукта или для прохождения пути, прямо пропорционально величине заданного продукта (или пути), но обратно пропорционально скорости: чем больше скорость, тем меньше время, требуемое для получения этого продукта или прохождения пути. Если учащиеся усвоят отношения, существующие между этими величинами, то они легко поймут, что по двум величинам, относящимся к одному и тому же участнику процесса, всегда можно найти третью. Наконец, в процессе может участвовать не одна, а несколько сил. Для решения этих задач необходимо понимать отношения между участниками: помогают они друг другу или противодействуют, одновременно или разновременно включились в процессы и т.д. Указанные величины и их отношения и составляют сущность всех задач на процессы. Если учащиеся понимают эту систему величин и их отношения, то они легко смогут и записать их с помощью арифметических действий. Если же они их не понимают, то действуют путем слепого перебора действий. По школьной» программе учащиеся изучают эти понятия в курсе физики в VI классе, причем изучают эти величины в частном виде – применительно к движению. В арифметике же задачи на различные процессы решаются уже в начальной школе. Этим и объясняются затруднения учеников при решении задач, связанных с различными процессами.
Работа с отстающими учениками III класса показала, что ни одно из указанных понятий ими не усвоено. Ученики не понимают и отношений, существующих между этими понятиями.
На вопросы, касающиеся скорости, ученики давали ответы такого типа: «Скорость у машины имеется, когда она идет». На вопрос, как можно узнать скорость, учащиеся отвечали: «Не проходили», «Нас не учили». Некоторые предлагали путь умножить на время. Задачу: «За 30 дней была построена дорога длиной 10 км. Как узнать, сколько километров строилось за 1 день?» – ни один из учащихся не смог решить.
Процесс решения шел хаотично: «Умножим 30 на 10… Или вначале прибавим». Не владели учащиеся понятием «время процесса»: они не дифференцировали таких понятий, как момент начала, допустим, движения и время движения. Если в задаче говорилось, что поезд вышел из какого-то пункта в 6 часов утра, то учащиеся принимали это за время движения поезда и при нахождении пути скорость умножали на 6 часов. Оказалось, что испытуемые не понимают и отношений между скоростью процесса, временем и продуктом (пройденным путем, например), к которому этот процесс приводит. Никто из учащихся не смог сказать, что ему надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи. (Даже те ученики, которые справляются с решением задач, не всегда умеют ответить на этот вопрос.) Значит, для учащихся величины, содержащиеся в условии и в вопросе задачи, не выступают как система, где эти величины связаны определенными отношениями. А именно понимание этих отношений и дает возможность сделать правильный выбор арифметического действия. Все сказанное приводит нас к выводу: трудности в решении арифметических задач часто лежат за пределами арифметики как таковой. Главным условием, обеспечивающим успешное решение арифметических задач, является понимание учениками той ситуации, которая описана в задаче. Отсюда следует, что при изучении арифметических задач необходимо формировать приемы анализа таких ситуаций, которые являются не арифметическими, а физическими, экономическими и т.д. В школе этого обычно не делают, поэтому многие ученики и затрудняются в решении арифметических задач.
Важно также отметить, что приемы решения задач должны формироваться по возможности в обобщенном виде.
Так, в арифметике существует более 30 разновидностей задач, связанных с различными процессами. Большинство из них в школе усваивается как самостоятельные типы. Особенности ситуации, описанной в задаче, определяют способ ее решения.
Элементы ситуации можно выделить в том частном виде, в каком они описаны в той или иной задаче: корм, израсходованный за день; путь, пройденный пешеходом за час; вода, вытекающая в течение минуты, и т.д. Но эти же элементы могут быть сразу рассмотрены как частные проявления более общих величин и их отношений, характерных для любого процесса: каждая конкретная задача данного типа связана с протеканием какого-то частного процесса. Следовательно, учеников надо научить видеть в ней то, что характеризует любой процесс: действующие силы, скорость процесса (V), время протекания его (Т) и результат, продукт, к которому приводит этот процесс или который он уничтожает (5). В этом случае все названные задачи выступают перед учениками всего лишь как варианты задач на процессы. Умение решать эти задачи предполагает усвоение определенной системы понятий – скорость, время, продукт процесса, а также отношений между ними.
После этого ученикам может быть дан общий метод анализа условий задачи на языке процессов, составления схемы ситуации и плана решения. В любой задаче на процессы ученик выделяет теперь действующие силы, характер их взаимодействия (помогают или противодействуют друг другу), скорость их действия и т.д. В результате учащиеся овладевают умением видеть за разнообразием сюжетов, описанных в задачах, одну и ту же сущность: величины, характеризующие процесс, и их отношения.
Следующий шаг – научить находить одни величины через другие в общей же форме. В частности, при одной действующей силе любая величина из трех основных (V, Т, 8) может быть найдена при наличии двух остальных. Допустим, решается задача, где искомым является количество деталей, которые изготовляют три бригады за час. Учащиеся обозначают это как общую скорость процесса (У0). Затем они в общей же форме находят величины, с помощью которых это искомое можно получить. Ученики после усвоения основных элементов и их отношений знают, что УО может быть получена только двумя путями: или через общее время (Т0) и общий продукт (50), или через скорости отдельных участников. И они изображают следующее:
Затем они анализируют условие задачи дальше и устанавливают, допустим, что Т0 есть, а 50 нет и т.д. Тогда схема приобретает такой вид (сплошная линия – знак известного, пунктирная – знак неизвестного):


Теперь учащийся должен установить, можно ли найти 5о или УЗ – Он знает, что 50 можно найти двумя путями: через Т0 и через У0 или через 5 частные. Поскольку первый путь в данном случае невозможен (К0 не известно), то остается один – через частные 5.
Так, продолжая анализ на языке процесса, ученик получал в данном случае такую схему:


На схеме видно, что путь, намеченный справа, приводит к решению. Другой решения не дает (Тз узнать невозможно).
На основе схемы ситуации учащиеся составляют план решения задачи и реализуют его. Исполнительные операции никакого труда для них не составляют, так как они в предыдущем обучении уже усвоили математическое выражение тех отношений, которые существуют между основными элементами.
Опыт показал, что при таком обучении даже самые слабые ученики III класса усваивают общий прием решения задач на процессы и успешно применяют его.
Замена частных приемов познавательной деятельности обобщенными существенно повышает развивающий эффект обучения, способствует формированию теоретического мышления учащихся. Вместе с тем это связано с заменой частных знаний новыми, раскрывающими сущность, стоящую за конкретными ее проявлениями. Так, например, в русском языке имеется около 250 пунктуационных правил. Анализ показал, что все они могут быть заменены тремя обобщенными. Но при этом учащихся необходимо учить новым знаниям, раскрывающим сущность тех функций, которые выполняют частные правила. Оказалось, что с этой точки зрения все множество этих правил можно разделить на три группы: обеспечивающие выделение, разделение и соединение слов или предложений. Эти три правила и отражают суть пунктуации, а многочисленные частные правила – это разные виды проявления этой сути. Так, например, правило обособления и правило выделения деепричастного оборота – это частные случаи выделения. Когда учащихся научили ориентироваться на эти новые знания, то они безошибочно расставляли знаки препинания, не заучивая ни одного правила из 250.