Федеральное агентство по образованию РФ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)

Кафедра: «Высшая математика»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона»

Выполнила: студентка 23ЭУТ

Хасянова А.Ф.

Проверил: Матвеева С.В

Дата_______________

Оценка_____________
Омск-2010

Содержание

1. Введение. Исходные данные

2. Вариационный ряд

3. Интервальный вариационный ряд

4. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х

5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона

6. Теоретическая функция плотности рассматриваемого закона распределения «Построение ее на гистограмме»

7. Проверка критерия Пирсона

Вывод

1. Исходные данные варианта №20

Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1.
Таблица 1

79,02	79,70	74,68	20,47	11,70	44,64	40,75	8,59	96,42	6,17
91,75	93,29	77,57	81,25	76,59	51,84	6,17	42,79	80,87	92,81
48,04	14,70	100,64	69,83	94,56	70,42	47,93	47,48	66,79	42,12
20,27	51,36	62,51	66,86	87,99	99,29	5,96	60,38	62,53	75,50
46,55	83,53	55,65	59,26	77,05	101,10	29,93	102,21	86,11	45,92
90,93	24,30	9,76	90,25	36,72	84,96	20,50	81,99	56,29	31,75
43,61	68,70	80,47	100,66	29,98	48,88	40,37	67,46	91,46	59,11
90,75	4,64	36,53	32,39	6,99	8,41	30,85	37,30	64,44	25,60
18,00	84,27	98,88	36,39	34,64	49,49	10,53	50,97	39,40	3,59
100,39	18,57	9,27	10,89	65,91	35,62	75,45	37,86	89,74	4,57

Выборка содержит 100 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n=100.
2. Построение вариационного ряда
Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х(1) ≤ х(2) ≤…≤ х(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами.

Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. 2).
Таблица 2



3. Построение интервального вариационного ряда
Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x(i) и обозначается mi; при этом , где n – объем выборки.

Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой и обозначается Pi*,

т.е.  – число (частота) попаданий значений X в i-й разряд,  n – объем выборки.

Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что  т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия:

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия.

1.                 Находим размах выборки R = xmax – xmin. Имеем R = 102,21-3,59=98,62 .

2.                 Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса:  где n – объем выборки, К– число частичных интервалов . ,

3.                  ∆=10

4.                 Определяем начало первого частичного интервала

Таблица 5

После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, нанесем их прямо на гистограмму, получая тем самым кривую функции плотности
7                   Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона
В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = ч2.

Пирсон доказал, что значение статистического критерия не зависит от функции  и от числа опытов n, а зависит от числа частичных интервалов  интервального вариационного ряда. При увеличении ч2, и находится по формуле:
К = или К =
Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице 5.

Таблица 6

i						/
1	0.14	14	0.1029	10.29		13.76/10.37=1.33
2	0.06	6	0.1	10		16/10=1.6
3	0.07	7	0.1	10		16/10=1.6
4	0.12	12	0.1	10		16/10=1.6
5	0.12	12	0.1	10		16/10=1.6
6	0.07	7	0.1	10		16/10=1.6
7	0.08	8	0.1	10		16/10=1.6
8	0.12	12	0.1	10		16/10=1.6
9	0.13	13	0.1	10		16/10=1.6
10	0.09	9	0.1149	11.49		6.3/11.49=0.548
					01.86

Чтобы найти значение надо воспользоваться табличными распределениями  в которых значение сл. величины находят по заданному уровню значимости  и вычисленному числу степеней свободы

R- число частичных интервалов в таблице 1 но если в некоторых из интервалов значения то надо объединить расположенные рядом интервалы так, чтобы  тогда число

R-это число из необъединенных интервалов

i- число неизвестных параметров

В рассматриваемом эмпирическом распределении не имеются частоты, меньшие 5. Случайная величина ч2 (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение ч2 с числом степеней свободы
1) К =


уровень значимости б =1–=0,05

,
найдем по таблице значений  критическое значение для б = 0,05 и  =9

Имеем =16.9. Так как  то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости б.
2)=,

=

3) M(x)= ,

M(x)=

4) D(x)=



D(x.1)=
5) Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством ; P()= Это означает, что нулевую гипотезу можно считать правдоподобной и гипотеза Но принимается

Вывод: В ходе расчетно-графической работы мы установили, что генеральная совокупность X распределена по равномерному закону, проверив это по критерию Пирсона. Определили параметры и числовые характеристики закона и построили для них доверительные интервалы.

Размещено на Allbest.ru