Курсовая Управление финансовыми рисками теория портфеля и модели оценки активов

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 21.9.2024

Федеральное агентство по образованию
Кафедра финансов и банковского дела
Курсовая работа по дисциплине
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
на тему «Управление финансовыми рисками: теория портфеля и модели оценки активов.»
Выполнил:.

^{(Фамилия И.О.)}

студент 4 курса, срок обучения 5 лет 10 мес

группа № № зачетной книжки _____________

специальность «Финансы и кредит»

Подпись:__________________________________________
Преподаватель: ____________________________________

Должность:________________________________________

Оценка:________________ Дата:______________________

Подпись:__________________________________________
Санкт-Петербург

2010
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1.1. Модель Г. Марковица

1.2. Модель CAРM и ее обобщение

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Применение модели Г.Марковица на практике

2.2 Применение модели САРМ на практике

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение

Доминирующее определение риска как дисперсии или стандартного (среднеквадратичного) отклонения доходности связано с тем, что наиболее простой оценкой значения случайной величины - доходности - является ее точечная оценка в виде математического ожидания, а дисперсия является интегральной точечной характеристикой вариабельности доходности относительно ее математического ожидания. В теории вероятностей и математической статистике выработаны достаточно простые правила операций с точечными оценками и процедуры определения статистической значимости оценок, что упрощает использование моделей и методов оптимизации портфеля. Этот факт является немаловажным в объяснении доминирующей роли точечных оценок вариации, если принять во внимание, что в 50-х годах работы Марковица не привлекли особого внимания экономистов, поскольку применение теории вероятностей к финансовой теории было в то время весьма необычным и даже с простой мерой риска алгоритмы Марковица оказались сложными для вычислительных машин того времени. Таким образом, доминирующее определение риска как дисперсии доходности объясняется простотой этого измерителя и в какой-то степени традицией.

В то же время адекватность такого измерителя риска зачастую подвергается сомнению, а в теории и на практике можно встретить использование других измерителей риска. К основным недостаткам дисперсии относятся:

· дисперсия характеризует все отклонения доходности от своего математического ожидания, в то время как с термином «риск» в сознании инвестора ассоциируются только неблагоприятные для него отклонения; [4 стр.179-185]

· дисперсия не раскрывает распределение (структуру) отклонений, в результате

одна ценная бумага с преобладанием положительных отклонений доходности может иметь такую же дисперсию, как другая ценная бумага с преобладанием отрицательных отклонений доходности, следовательно, от инвестора будет скрыт больший риск потерь при покупке второй из них. [6]

Альтернативные измерители риска:

·полудисперсия - для симметричных распределений отклонений от математического ожидания доходности;

· вероятность получения дохода меньше ожидаемого;

· средняя величина отрицательных отклонений доходности. [4]

Несмотря на отмеченные недостатки, дисперсия в качестве измерителя риска фондового актива показала свою эффективность в большинстве практических задач, а простота и интегральность этого показателя выгодно отличают его от альтернативных измерителей риска. Эти обстоятельства и обусловили преимущественное его применение.

Операциями с финансовыми активами в наибольшей степени свойственна рисковость, поскольку на финансовых рынках существенную роль играют факторы субъективности, ожидания, умения получать информацию и др. Это предопределяет высокую ценовую волатильность (ценовую изменчивость). В течение непродолжительного периода покупка финансового актива на рынке может обогатить инвестора, а может и разорить его. Степень рисковости финансового актива связана на прямую с доходностью.

Чем выше ожидаемая (или объявленная) доходность, тем выше риск ее неполучения. Основными показателями, характеризующими степень риска, являются дисперсия (мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания), среднеквадратическое отклонение (Квадратный корень из дисперсии, равный $\displaystyle \sigma$ ) и коэффициент вариации (показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс).
1.1. Модель Г. Марковица

Теоретические построения Марковица построены на ряде предположений, часть из которых относится к условиям принятия инвестиционных решений - к свойствам фондового рынка, другая часть - к поведению инвестора.

Важнейшими из предположений первой группы являются следующие:

1.Рынок состоит из конечного числа бесконечно делимых ликвидных активов , доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами (т.е. все активы - рисковые).

2.Существуют открытые и достоверные исторические данные о доходности активов, позволяющие инвестору, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций.

3.Инвестор при совершении операций с фондовыми активами свободен от транзакционных издержек и налогов.

4.Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели, доходности которых являются также случайными величинами. Относительно поведения инвестора выдвигаются две гипотезы – гипотеза ненасыщаемости и гипотеза несклонности к риску.

5.Инвестор всегда предпочитает более высокий уровень благосостояния, то есть при одинаковых прочих условиях всегда выбирает актив (портфель активов) с большей доходностью.

6.Инвестор из двух активов с одинаковой доходностью обязательно предпочтет актив с меньшим риском.

Иными словами, инвестор соответствует модели рационального потребителя неоклассической теории полезности и может характеризоваться бесконечной совокупностью кривых безразличия в координатах риск-доходность, при этом любая кривая безразличия соответствует определенному уровню предпочтения (и поэтому не пересекается с другими) и является выпуклой вниз. Выпуклость вниз как раз и отражает несклонность к риску: за каждую единицу возрастания риска инвестор требует опережающего роста доходности (премии за риск). Считается, что адекватным описанием предпочтения инвестора является предложенная М.Рубинштейном [12] функция полезности вида:

,

где U- функция полезности;

- индивидуальный для каждого инвестора параметр предпочтения

между риском и доходностью;

r- доходность;

$\displaystyle \sigma$ ²- риск.

На рис.1.1 представлены по две кривые безразличия двух инвесторов, по степени выпуклости кривых можно сказать, что первый из них более склонен к избеганию риска, чем второй. Кривая, лежащая выше и левей, соответствует большей величине полезности множества равнозначных портфелей, представленных этой кривой.

Безимени-1.jpg

Рис. 1.1 Кривые безразличия не склонных к риску инвесторов

Пусть инвестором отобраны n ценных бумаг, в которые он хочет инвестировать имеющийся у него капитал фиксированной величины. Этому капиталу на плоскости будет соответствовать множество всевозможных портфелей, составленных из n ценных бумаг в виде характерного «зонтика» (рис. 1.2).

Графическим решением задачи оптимального размещения капитала является нахождение точки касания эффективного фронта с самой удаленной влево и вверх кривой безразличия инвестора. Эта точка и представляет сочетание риска и доходности оптимального портфеля в соответствии с индивидуальным предпочтением инвестора, как показано на рис. 1.2.

Безимени-2.jpg

Рис. 1.2 Графическое решение задачи оптимизации портфеля

Однако графическое решение полезно только для понимания экономического содержания и не может на практике заменить математического решения.

Принимая, что величина капитала инвестора равна 1 и распределена между n ценными бумагами портфеля, по известным правилам теории вероятностей можно выразить математическое ожидание доходности портфеля и его дисперсию :

(1.1),

                         (1.2)_,
где - доля капитала, вложенного в -ю ценную бумагу,

     - математическое ожидание доходности -ой ценной бумаги,

     - ковариация между доходностями ценных бумаг и .

Инвестор преследует противоречивую цель, стремясь одновременно достичь и наибольшей доходности, и наименьшего риска. Поскольку функция полезности инвестора к риску не всегда поддается адекватному числовому измерению, Марковиц не ставил задачу максимизации целевой функции, отражающей эффективность портфеля. Вместо этого он решал задачу минимизации риска портфеля при обеспечении заданного уровня его доходности (тем самым предполагая, что уровень "притязаний" инвестора косвенно отражает его соответствующую готовность рисковать). При этом важным предварительным результатом Марковица было доказательство выпуклости эффективного фронта, что обеспечивает единственность решения оптимизационной задачи.

Математически задача Марковица формулируется так: найти вектор распределения капитала по n ценным бумагам , который минимизирует квадратичную форму (1.2) при выполнении ограничений:

(1.3)

(1.4)
Эта задача при наличии только ограничений-равенств относится к классу классических задач квадратичной оптимизации - одному из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых к настоящему времени разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов. В частности, может быть применен классический метод неопределенных множителей Лагранжа, который гарантированно приводит к нахождению глобального минимума ввиду выпуклости квадратичной формы (1.2). При этом, однако, допускаются отрицательные значения , что на практике означает допустимость для всех инвесторов продаж ценных бумаг на срок без покрытия (short sales). Такое предположение не всегда допустимо.

Однако наложение дополнительных ограничений-неравенств, например:

(1.5)

существенно усложняет нахождение решения и, кроме того, не позволяет строить эффективный фронт ввиду большого объема расчетов. Предложенное Марковицем решение основано на введенном им понятии угловых портфелей.

Для описания эффективного фронта используется вспомогательная прямая, идея которой состоит в том, что она является касательной к эффективному фронту, тогда, изменяя наклон этой касательной от минимального до максимального значения, можно получить описание всего эффективного фронта как совокупность точек касания. Итак, на плоскости строится семейство прямых (рис. 1.3), описываемых следующим уравнением при различных а:

                                                 (1.6)

где - некоторое число.

Нетрудно выяснить смысл числа . Выразив из последнего выражения , получим :

Таким образом, величина есть тангенс угла наклона семейства прямых к оси и, следовательно, отражает предпочтение "риск-доходность" инвестора, выбравшего на эффективном фронте точку, касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.

При увеличении а прямая (1.6) приближается к эффективному фронту и при каком-то значении - минимальном! - касается его. Подставив в (1.6) вместо   и соответственно (1.1) и (1.2) после решения задачи

                         (1.7)

можно получить вектор решений как функций от : . При изменении от 0 до вектора решений опишут все точки касания, т.е. весь эффективный фронт.

Как видно из (1.7), точка   определяет эффективный портфель с минимальным риском, а - портфель с максимально возможной доходностью и риском Марковиц доказал, что функции являются непрерывными кусочно-линейными, т.е. при изменении   от 0 до их производные по   могут терпеть разрыв. Те значения , в которых это происходит хотя бы для одной из , были названы угловыми (см. Рис.1.4), а соответствующие им портфели - угловыми портфелями. Марковиц установил замечательное свойство угловых портфелей: участок эффективного фронта между смежными угловыми портфелями описывается линейной комбинацией этих портфелей. Иначе, если и - смежные угловые точки, то для любого | < < векторы, вычисляемые как

              (1.8)

определяют участок эффективного фронта. При отсутствии ограничений-неравенств функции - линейные, точка   является угловой по определению.

Метод нахождения угловых портфелей, названный Марковицем методом критических линий, с последующим нахождением как оптимального портфеля, так и эффективного фронта широко используется и в настоящее время.

     Безимени-9.jpg

Рис. 1.3 Касательная к эффективному фронту

Из рассмотрения задачи Марковица видно ее преимущественно микроэкономическое содержание, поскольку возможные последствия решений инвестора для состояния рынка не рассматриваются, а внимание акцентировано на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковых активов на основе собственных оценок их доходности и риска.

Безимени-7.jpg

Рис. 1.4 Пример угловых точек для случаев п=3

1.2 Модель CAРM и ее обобщение

В самом начале 60-х годов учеником Марковица У. Шарпом была предложена так называемая однофакторная модель рынка капиталов, в которой впервые появились ставшие знаменитыми впоследствии "альфа" и "бета"- характеристики акций. На основе однофакторной модели Шарп впоследствии предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В простейших случаях, для небольших размерностей, эта задача могла быть решена практически "вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. К 70-м гг. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценивания показателей "альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Первоначально Шарпом преследовалась цель упростить получение исходных данных (прежде всего, ковариаций между доходностями ценных бумаг), необходимых для

решения задачи оптимизации портфеля по Марковицу. Для этого была использована однофакторная модель зависимости доходности долгосрочной рисковой ценной бумаги от фактора - средневзвешенной по капитализации фондовых активов доходности рынка:


                                                                                   (1.11)

где - общее число всех обращающихся на рынке ценных бумаг,

     - соответственно доля в общей капитализации рынка и доходность -ой ценной бумаги.

Однофакторная модель доходности -ой ценной бумаги строится как линейная регрессионная зависимость, получаемая по методу наименьших квадратов:

                                          , (1.12)

где - коэффициент смещения регрессионной модели, отражающий активную доходность – дополнительную доходность данной ценной бумаги относительно - и степень интереса инвесторов к ней,

     - коэффициент чувствительности изменения доходности ценной бумаги относительно изменения доходности среднерыночного портфеля,

     - погрешность регрессионной модели, отражающая влияние всех других факторов.

Регрессионная зависимость строится в предположении о зависимости доходностей всех ценных бумаг только от одного фактора - и, следовательно, взаимной некоррелированности ошибок , а из алгоритма метода наименьших квадратов следует, что

, (1.13)
где - СКО соответственно доходностей -ой ценной бумаги и среднерыночного портфеля,

- коэффициент корреляции между доходностью -ой ценной бумаги и доходностью среднерыночного портфеля.

Если известны коэффициенты для всех рисковых фондовых активов (а к выводу о необходимости их оценки ввиду наглядности практика фондового рынка пришла

довольно быстро), то ковариации доходностей ценных бумаг и их дисперсии могут быть вычислены применением правил теории вероятностей к (1.12):

, (1.14)

Эти правила легко обобщаются на случай портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг, представленных в нем долями :

, (1.15)

где     ,(1.16)

     ,   (1.17)

           (1.19)

Риск портфеля определяется :

     , (1.20)

где           . (1.21)

Первое слагаемое в (1.20) характеризует рыночный (систематический, недиверсифицируемый) риск , а второе - собственный риск портфеля, который может быть уменьшен за счет диверсификации как показано на рис.1.7.

Рис. 1.7 Изменение риска портфеля при его диверсификации

Однако по-настоящему значимое научное и практическое значение регрессионная аппроксимация в виде (1.12) и (1.13) получила в связи с использованием результатов Тобина для моделирования ценообразования долгосрочных активов на фондовом рынке.

С 1964 г. появляются работы Шарпа, Линтнера, Моссина, открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ (Capital Asset Pricing Model). Результаты, полученные в этих работах, основаны на исходных предположениях Марковица (см.п.1.2), дополненных следующими:

1. Для всех инвесторов период вложения одинаков.

2. Информация свободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.

3. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. одинаково оценивают

будущие доходности, риск и ковариации доходностей ценных бумаг.

4. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов

В совокупности все исходные предположения описывают так называемый совершенный рынок ценных бумаг, на котором отсутствуют препятствующие инвестициям факторы. Есть еще одно положение CAРM, которое обычно считают следствием теоремы о разделении: в состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в касательном портфеле, а структура касательного портфеля повторяет структуру рыночного портфеля в соответствии с долями капитализации ценных бумаг. Обоснованием служит следующее рассуждение: если касательный портфель одного инвестора не включает какую-то бумагу, это означает, что ее стараются продать все (так как инвесторы приобретают одинаковые по структуре рисковые составляющие своих портфелей), тогда рыночный курс этой бумаги под давлением избыточного предложения будет падать, а ожидаемая доходность соответственно расти - до тех пор, пока цена не станет равновесной, а доля в касательном портфеле - отличной от нуля. Противоположные события будут происходить при попытке инвесторов (всех одновременно) увеличить долю какой-то бумаги в рисковой части вложений.

На основе последнего утверждения и используя (1.11) можно записать выражение для ожидаемой доходности финансовых средств любого инвестора в состоянии равновесия рынка:

                                                    , (1.22)
где, как и ранее, -доходность и риск среднерыночного (касательного)           портфеля,

     - доходность безрисковых активов

(1.22) описывает эффективный фронт Тобина (рис.1.8) и получило название уравнение рынка капитала (Capital Market Line - CML). При этом величина           равна тангенсу угла наклона CML к оси ординат и отражает увеличение доходности при увеличении риска на единицу, т.е. предельную доходность риска вложений рынка при наличии рисковых и безрисковых активов. Поскольку CML касается эффективного фронта Марковица в точке , можно выразить тангенс наклона касательной через выражение , описывающее фронт Марковица. Это выражение получено в [Гр] и имеет вид:

                                      ,
где относятся к любой из ценных бумаг портфеля,

         - коэффициент корреляции доходности этой ценной бумаги и портфеля в целом.

Приравнивая правые части двух последних выражений, можно получить выражение для ожидаемой доходности любой ценной бумаги в оптимальном портфеле:

, (1.23)
которое называется уравнением линии рынка ценных бумаг (Security Market Line - SML) и с учетом (2.13) может быть переписано с использованием коэффициента :

, (1.24)

Разность называют премией за недиверсифицированный риск держания рыночного портфеля, соответственно разность - премия за риск держания отдельноого рискового актива, а бета показывает вклад каждой ценной бумаги в риск рыночного портфеля.

Безимени-5.jpg

Сравнение выражений для CML и SML показывает, что эти линии на плоскости совпадают только при . При линия SML проходит выше, а при - ниже линии CML (рис.2.8). В любом случае активы с большим риском должны обеспечивать пропорционально большую доходность. Таким образом, если портфель эффективен, связь между ожидаемой доходностью каждой акции и ее предельным вкладом в портфельный риск должна быть прямолинейной. Верно и обратное: если прямолинейной связи нет, портфель не является эффективным.

Рис.1.8 Линии капитала (СML) и ценных бумаг (SML)

Используя уравнение SML, можно определить факт недооценки или переоценки ценной бумаги ( например, акции) не только по ее доходности, но и сравнением ее действительного курса и курса в соответствии с равновесной ценой риска, который обозначим через . Пусть ожидаемая в конце некоторого будущего периода цена акции (учитывая дивидентный доход) равна . Приравнивая выражения доходности по определению и по уравнению SML, получим:

откуда следует известная формула дисконтирования по безрисковой доходности, увеличенной на рисковую надбавку:

          .
Обобщая изложенное, можно считать САРМ макроэкономическим обобщением теории Марковица, позволяющим установить соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не "весь" риск, связанный с активом (риск по Марковицу), а только недиверсифицируемую его часть. Эта часть риска актива тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представляется коэффициентом "бета", введенным Шарпом в его однофакторной модели. Остальная часть (несистематический, или диверсифицируемый риск) устраняется выбором соответствующего оптимального портфеля. Характер связи между доходностью и риском имеет вид линейной зависимости. Если инвесторы не располагают какой-либо дополнительной информацией, им следует держать такой же портфель акций, как и у других - т.е. рыночный портфель ценных бумаг.

В 1977 г. эта теория подверглась критике в работах Ричарда Ролла. Ролл высказал мнение, что САРМ следует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпирической проверки. Существует достаточно много возражений против обоснованности положений CAPM, самыми спорными из них считаются [4] предположения:

1. Гипотеза эффективного рынка и связанная с ней модель "случайного блуждания" рыночных цен активов;

2. Возможность на практике определить рыночный портфель, который по смыслу должен включать не только абсолютно все ценные бумаги, но и товары длительного пользования , инвестиции в образование (в "человеческий" капитал), недвижимость, драгоценные металлы и другие ценности.

3.Существование безрисковых активово и возможность неограниченного заимствования по ставке безрисковой доходности.

Несмотря на это, САРМ остается самой значительной и влиятельной современной финансовой теорией. Практические руководства по финансовому менеджменту в части выбора стратегии долгосрочного инвестирования основываются исключительно на САРМ, но используют различные приближения лежащих в ее основе понятий. Укажем два направления таких модификаций, которые в [4] названы обобщениями (обобщенными версиями) САРМ.

Возможность получать кредит по безрисковой ставке на практике имеет только государство, для других инвесторов эта ставка выше, поэтому эффективный фронт изменяется и приобретае вид кривой на рис.1.9, при этом участок   соответствует распределению средств инвестора между портфелем А и безрисковым активом с доходностью , участок АВ - это участок эффективного фронта Марковица, а прямая BL означает получение кредита по ставке и инвестирование всех средств в портфель В. Существенно, что инвестор в этих случаях выбирает различные по структуре портфели рисковых активов. На практике вместо кривой   используют прямую , где означает доходность гипотетического безрискового актива и определяется по специальным методикам. Новая   имеет более пологий наклон , чем теоретическая, что означает меньшую цену среднерыночного риска.

Рис.1.9 Эффективное множество при различных безрисковых ставках и его аппроксимация

Другим направлением модификаций САРМ для практического применения являются различные представления рыночного портфеля совокупностью фондовых индексов и других факторов. Конечная цель построения таких моделей – получение коэффициентов активов, позволяющих по возможности точно описывать реальное поведение доходности ценных бумаг. Обзор методических подходов к решению этой задачи приводится в [4]. В западной практике такого рода деятельность осуществляется на коммерческой основе специальными службами, наиболее известны из них BARRA, R&R, Morningstar.

Глава 2. Практическая часть.

2.1 Применение модели Марковица.

На сайтах www.RTS.ru и www.micex.ru возьмем по 35 наблюдений котировок акций компаний: ТАТНЕФТЬ, ЛУКОЙЛ, СБЕРБАНК, АЭРОФЛОТ, РАОЕЭС.

Таблица 2.1 «Наблюдений котировок акций компаний: ТАТНЕФТЬ, ЛУКОЙЛ, СБЕРБАНК, АЭРОФЛОТ, РАОЕЭС.»

наблюдение	ТАТНЕФТЬ	ЛУКОЙЛ	СБЕРБАНК	АЭРОФЛОТ	РАОЕЭС
1	0,200	0,172	0,067	-0,158	0,349
2	0,135	0,406	0,004	-0,178	-0,538
3	0,083	0,212	0,042	-0,198	-0,045
4	0,334	0,384	-0,064	-0,002	-0,263
5	0,278	0,278	0,048	-0,117	-0,039
6	0,223	0,436	-0,064	0,016	0,146
7	0,366	0,393	0,166	-0,229	-0,096
8	0,307	0,135	-0,077	-0,100	0,201
9	0,161	0,289	-0,138	-0,113	0,071
10	0,273	0,333	0,127	-0,074	-0,412
11	0,051	0,293	0,002	-0,147	-0,769
12	0,175	0,346	-0,083	-0,063	-0,192
13	0,149	0,411	0,216	-0,055	0,329
14	0,239	0,268	-0,076	-0,026	-0,594
15	0,135	0,350	0,056	0,003	-0,432
16	0,147	0,320	-0,059	-0,182	0,062
17	-0,035	0,388	-0,168	-0,033	-0,815
18	0,129	0,332	-0,094	-0,077	-0,329
19	0,157	0,323	-0,004	-0,172	-0,269
20	0,300	0,227	0,180	-0,092	-0,628
21	0,116	0,442	-0,039	-0,194	-0,662
22	-0,127	0,378	-0,143	-0,111	-0,114
23	0,063	0,318	0,050	-0,225	-0,174
24	0,030	0,179	0,037	0,001	-0,396
25	-0,038	0,210	-0,048	-0,093	-0,210
26	0,089	0,192	-0,013	-0,113	-0,168
27	0,314	0,308	0,099	-0,158	0,115
28	0,023	0,367	-0,133	0,109	0,102
29	0,122	0,434	-0,075	-0,009	-0,186
30	0,273	0,318	-0,095	-0,131	0,075
31	0,425	0,427	0,055	-0,165	-0,097
32	0,083	0,208	-0,080	-0,220	-0,258
33	0,014	0,293	-0,113	-0,274	-0,035
34	0,102	0,490	-0,058	-0,152	-0,295
35	0,110	0,291	-0,138	-0,144	0,142

Найдем средние и дисперсии доходностей:

Таблица 2.2. Средние и дисперсии доходностей для Татнефти:

данные	номер		сортируем X	\|X-Xсреднее\|		(X-Xреднее)^2
0,200	1		-0,127	0,282		0,079
0,135	2		-0,038	0,193		0,037
0,083	3		-0,035	0,189		0,036
0,334	4		0,014	0,141		0,020
0,278	5	0,023		0,132	0,017
0,223	6	0,030		0,125	0,016
0,366	7	0,051		0,103	0,011
0,307	8	0,063		0,092	0,008
0,161	9	0,083		0,071	0,005
0,273	10	0,083		0,071	0,005
0,051	11	0,089		0,065	0,004
0,175	12	0,102		0,053	0,003
«Продолжение табл. 2.2»
0,149	13	0,110		0,045	0,002
0,239	14	0,116		0,039	0,001
0,135	15	0,122		0,032	0,001
0,147	16	0,129		0,026	0,001
-0,035	17	0,135		0,020	0,000
0,129	18	0,135		0,019	0,000
0,157	19	0,147		0,008	0,000
0,300	20	0,149		0,005	0,000
0,116	21	0,157		0,003	0,000
-0,127	22	0,161		0,007	0,000
0,063	23	0,175		0,020	0,000
0,030	24	0,200		0,046	0,002
-0,038	25	0,223		0,068	0,005
0,089	26	0,239		0,084	0,007
0,314	27	0,273		0,118	0,014
0,023	28	0,273		0,119	0,014
0,122	29	0,278		0,124	0,015
0,273	30	0,300		0,146	0,021
0,425	31	0,307		0,153	0,023
0,083	32	0,314		0,160	0,026
0,014	33	0,334		0,180	0,032
0,102	34	0,366		0,212	0,045
0,110	35	0,425		0,270	0,073
сумма		5,405		3,418	0,525
среднее		0,154		0,098	0,015
		сводка параметров распределения
		минимум		0,127301297
		максимум		0,424543709
		размах		0,551845005
		среднее		0,154
		дисперсия		0,015

Таблица 2.3. Средние и дисперсии доходностей для Лукойла::

данные	номер	сортируем X	\|X-Xсреднее\|	(X-Xреднее)^2
0,172	1	0,135	0,184	0,034
0,406	2	0,172	0,147	0,022
0,212	3	0,179	0,140	0,020
0,384	4	0,192	0,126	0,016
0,278	5	0,208	0,111	0,012
0,436	6	0,210	0,109	0,012
0,393	7	0,212	0,107	0,011
0,135	8	0,227	0,092	0,008
0,289	9	0,268	0,051	0,003
0,333	10	0,278	0,040	0,002
0,293	11	0,289	0,030	0,001
0,346	12	0,291	0,028	0,001
0,411	13	0,293	0,025	0,001
0,268	14	0,293	0,025	0,001
0,350	15	0,308	0,011	0,000
0,320	16	0,318	0,000	0,000
0,388	17	0,318	0,000	0,000
0,332	18	0,320	0,002	0,000
0,323	19	0,323	0,004	0,000
0,227	20	0,332	0,013	0,000
0,442	21	0,333	0,015	0,000
0,378	22	0,346	0,028	0,001
0,318	23	0,350	0,032	0,001
0,179	24	0,367	0,048	0,002
0,210	25	0,378	0,060	0,004
0,192	26	0,384	0,065	0,004
0,308	27	0,388	0,070	0,005
0,367	28	0,393	0,074	0,006
0,434	29	0,406	0,088	0,008
0,318	30	0,411	0,093	0,009
0,427	31	0,427	0,108	0,012
0,208	32	0,434	0,115	0,013
0,293	33	0,436	0,118	0,014
0,490	34	0,442	0,123	0,015
0,291	35	0,490	0,172	0,030
сумма		11,153	2,453	0,265
среднее		0,319	0,070	0,008
сводка параметров распределения:
минимум			0,134549726
максимум			0,490418177
размах			0,355868451
среднее			0,319
дисперсия			0,008

Таблица 2.4. Средние и дисперсии доходностей для Сбербанка:

данные	номер	сортируем X	\|X-Xсреднее\|	(X-Xреднее)^2
0,067	1	-0,168	0,150	0,022
0,004	2	-0,143	0,125	0,016
0,042	3	-0,138	0,121	0,015
-0,064	4	-0,138	0,120	0,014
0,048	5	-0,133	0,116	0,013
-0,064	6	-0,113	0,096	0,009
0,166	7	-0,095	0,077	0,006
-0,077	8	-0,094	0,076	0,006
-0,138	9	-0,083	0,065	0,004
0,127	10	-0,080	0,063	0,004
0,002	11	-0,077	0,060	0,004
-0,083	12	-0,076	0,058	0,003
0,216	13	-0,075	0,058	0,003
-0,076	14	-0,064	0,047	0,002
0,056	15	-0,064	0,047	0,002
-0,059	16	-0,059	0,042	0,002
-0,168	17	-0,058	0,040	0,002
-0,094	18	-0,048	0,030	0,001
-0,004	19	-0,039	0,022	0,000
0,180	20	-0,013	0,005	0,000
-0,039	21	-0,004	0,013	0,000
-0,143	22	0,002	0,020	0,000
0,050	23	0,004	0,021	0,000
0,037	24	0,037	0,054	0,003
-0,048	25	0,042	0,059	0,004
-0,013	26	0,048	0,066	0,004
0,099	27	0,050	0,067	0,005
-0,133	28	0,055	0,073	0,005
-0,075	29	0,056	0,074	0,005
-0,095	30	0,067	0,084	0,007
0,055	31	0,099	0,116	0,014
-0,080	32	0,127	0,145	0,021
-0,113	33	0,166	0,184	0,034
-0,058	34	0,180	0,198	0,039
-0,138	35	0,216	0,233	0,054
сумма		-0,615	2,824	0,325
среднее		-0,018	0,081	0,009
сводка параметров распределения
минимум			-0,167530288
максимум			0,215542059
размах			0,383072347
среднее			-0,018
дисперсия			0,009

Таблица 2.5. Средние и дисперсии доходностей для Аэрофлота

данные	номер	сортируем X	\|X-Xсреднее\|	(X-Xреднее)^2
-0,158	1	-0,274	0,163	0,027
-0,178	2	-0,229	0,118	0,014
-0,198	3	-0,225	0,115	0,013
-0,002	4	-0,220	0,109	0,012
-0,117	5	-0,198	0,087	0,008
0,016	6	-0,194	0,084	0,007
-0,229	7	-0,182	0,071	0,005
-0,100	8	-0,178	0,067	0,004
-0,113	9	-0,172	0,061	0,004
-0,074	10	-0,165	0,054	0,003
-0,147	11	-0,158	0,048	0,002
-0,063	12	-0,158	0,047	0,002
-0,055	13	-0,152	0,041	0,002
-0,026	14	-0,147	0,036	0,001
0,003	15	-0,144	0,033	0,001
-0,182	16	-0,131	0,020	0,000
-0,033	17	-0,117	0,006	0,000
-0,077	18	-0,113	0,003	0,000
-0,172	19	-0,113	0,002	0,000
-0,092	20	-0,111	0,000	0,000
-0,194	21	-0,100	0,011	0,000
-0,111	22	-0,093	0,017	0,000
-0,225	23	-0,092	0,019	0,000
0,001	24	-0,077	0,034	0,001
-0,093	25	-0,074	0,036	0,001
-0,113	26	-0,063	0,047	0,002
-0,158	27	-0,055	0,056	0,003
0,109	28	-0,033	0,078	0,006
-0,009	29	-0,026	0,084	0,007
-0,131	30	-0,009	0,102	0,010
-0,165	31	-0,002	0,109	0,012
-0,220	32	0,001	0,112	0,012
-0,274	33	0,003	0,114	0,013
-0,152	34	0,016	0,127	0,016
-0,144	35	0,109	0,219	0,048
сумма		-3,875	2,330	0,239
среднее		-0,111	0,067	0,007
сводка параметров распределения
минимум			-0,273623448
максимум			0,108723577
размах			0,382347025
среднее			-0,111
дисперсия			0,007

Таблица 2.6. Средние и дисперсии доходностей для РАОЕЭС:

данные	номер	сортируем X	\|X-Xсреднее\|	(X-Xреднее)^2
0,349	1	-0,815	0,631	0,398
-0,538	2	-0,769	0,586	0,343
-0,045	3	-0,662	0,478	0,229
-0,263	4	-0,628	0,445	0,198
-0,039	5	-0,594	0,410	0,168
0,146	6	-0,538	0,354	0,125
-0,096	7	-0,432	0,248	0,062
0,201	8	-0,412	0,229	0,052
0,071	9	-0,396	0,212	0,045
-0,412	10	-0,329	0,146	0,021
-0,769	11	-0,295	0,111	0,012
-0,192	12	-0,269	0,085	0,007
0,329	13	-0,263	0,080	0,006
-0,594	14	-0,258	0,075	0,006
-0,432	15	-0,210	0,027	0,001
0,062	16	-0,192	0,009	0,000
-0,815	17	-0,186	0,002	0,000
-0,329	18	-0,174	0,010	0,000
-0,269	19	-0,168	0,016	0,000
-0,628	20	-0,114	0,070	0,005
-0,662	21	-0,097	0,087	0,007
-0,114	22	-0,096	0,087	0,008
-0,174	23	-0,045	0,138	0,019
-0,396	24	-0,039	0,145	0,021
-0,210	25	-0,035	0,148	0,022
-0,168	26	0,062	0,246	0,060
0,115	27	0,071	0,255	0,065
0,102	28	0,075	0,259	0,067
-0,186	29	0,102	0,286	0,082
0,075	30	0,115	0,299	0,089
-0,097	31	0,142	0,326	0,106
-0,258	32	0,146	0,330	0,109
-0,035	33	0,201	0,385	0,148
-0,295	34	0,329	0,513	0,263
0,142	35	0,349	0,532	0,283
сумма		-6,420	8,259	3,029
среднее		-0,183	0,236	0,087
сводка параметров распределения
минимум			-0,814683813
максимум			0,348850949
размах			1,163534762
среднее			-0,183
дисперсия			0,087

Для расчета матрицы ковариации воспользуемся Excel и укажем расчеты в табл. 2.7.

Таблица 2.7. расчета матрицы ковариации:

	ТАТНЕФТЬ	ЛУКОЙЛ	СБЕРБАНК	АЭРОФЛОТ	РАОЕЭС
ТАТНЕФТЬ	0,015	0,001	0,005	0,000	0,007
ЛУКОЙЛ	0,001	0,008	0,000	0,001	-0,004
СБЕРБАНК	0,005	0,000	0,009	-0,001	0,001
АЭРОФЛОТ	0,000	0,001	-0,001	0,007	-0,002
РАОЕЭС	0,007	-0,004	0,001	-0,002	0,087

Теперь можем составить оптимальный портфель. Представим, что у нас есть 10000р. И мы хотим найти наименее рискованный портфель при 10% норме доходности, т.е. требуем 1000р. дохода.

Воспользуемся пакетом оптимизации в Maple. Покажем код программы, который нам даст оптимальный портфель

> n := 5: X := <seq( x[i], i=1..n )>:

c := 10000;

G := 1000; # доходность 10%

r := <0.154,0.319,-0.018,-0.111,-0.183>;

Q := <<0.015,0.001,0.005,0.000,0.007> |

<0.001,0.008,0.000,0.001,-0.004> |

<0.005,0.000,0.009,-0.001,0.001> |

<0.000,0.001,-0.001,0.007,-0.002> |

<0.007,-0.004,0.001,-0.002,0.087> >;

Тогда целевая функция - квадратичная функция по X, следовательно можем использовать квадратичную оптимизацию.

> objective := expand( Transpose(X).Q.X );

Наши ограничения

> budget := add( x[i], i=1..n ) <= c;

growth := add( x[i]*r[i], i=1..n ) >= G;

Решим задачу оптимизации с помощью QPSolve.

> QPSolve( objective, {budget, growth}, assume=nonnegative );

Таким образом, минимум риска при ожидаемой доходности в 10% достигается при Активы 3,4,5 не покупается, т.к. их доходности отрицательны и ковариация с другими активами не является отрицательной для диверсификации портфеля.

Заключение

Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком - Дж. Тобином (Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds) ), который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. Особое внимание заслуживает монография У. Шарпа (Sharpe W.E. Portfolio Theory and Capital Markets), который предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля на основе однофакторной модели рынка капиталов, позволяющий сводить задачу квадратичной оптимизации к линейной [1].

Со времен Марковица портфельный анализ существенно продвинулся, в его рамках были построены модели рыночного равновесия, предложены разнообразные способы измерения риска, учитывались все новые и новые инструменты. Успехи теории стимулировали создание новых рыночных инструментов, которые без сложившейся солидной расчетной базы просто не могли возникнуть. Задачи портфельного анализа являются также иллюстративным материалом для применения теории финансовых рисков. Модель Марковица активно применяется в практических расчетах для фондовых рынков. Впоследствии портфельный анализ Марковица был использован для рынка инвестиций, валютного, денежного рынка и для других рынков [10].

В заключение хотелось бы отметить, что модель не может однозначно ответить на все поставленные вопросы. Оценивая риск и доходность российского рынка ценных бумаг, мы можем лишь с определенной долей вероятности предположить, что будущая ситуация на фондовой бирже будет укладываться в рамки полученных статистических данных. Наличие огромного количества факторов, напрямую или косвенно влияющих на динамику котируемых эмитентов, не позволяет однозначно спрогнозировать и сократить до нуля риск потери инвестиций, но свести его до минимума с оптимальной доходностью возможно.

Выводы, которые можно сделать, основываясь на модель Марковица и САРМ:

1. Основой современной теории инвестиций, частью которой является портфельная теория, является теоретико-вероятностная формализация понятия доходности и риска. Лишь применение вероятностных методов позволило существенно продвинуться в исследовании влияния риска на принятие инвестиционных решений.

2. Не существует универсальной меры риска портфеля, учитывающей и обобщающей все возможные субъективные оттенки этого понятия. Среди различных измерителей риска наибольшее распространение и в теории, и на практике получила дисперсия (СКО) доходности портфеля, что не исключает, однако, использование других измерителей.

3. Инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, составляющих эффективное множество, это множество приобретает вид прямой линии при наличии безрисковых активов.

4.Модель САРМ является макроэкономическим обобщением теории Марковица и Тобина, позволяющим установить линейный вид соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка.

5.На практике используются модифицированные версии САРМ, использующие различные приближения лежащих в ее основе понятий Но никакая модель не в состоянии учесть все действующие факторы.

Список используемых источников



1. Шведов.А.С. Теория      эффективных портфелей ценных бумаг. - М., Изд-во ГУ ВШЭ, 1999.

2. Френк Дж. Дерфлер.      Вездесущие сети./ PC Magazine Rus, N9, 1999. - стр. 39-52.

3. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск.-М., Инфра-М,- 1994.

4. Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж.      Александер, Джеффри В. Бейли. Инвестиции. - М., Инфра-М, 1997.

5. Michalovski W.,      Ogryczak W. Extending MAD Portfolio Optimization Model to Incorporate      Downside Risk Aversion. / IIASA, IR-98-041, June 1998./

6. http://www.iiasa.ac.at/Publications/Documents/IR-98-041.pdf

7. Halme M., Korhonen P. Restricting Weights in Value Efficiency Analysis. /IIASA,      IR-98-104, December 1998./

8. http://www.iiasa.ac.at/Publications/Documents/IR-98-104.pdf

9. William F. Sharpe. Asset Allocation: Management Style and Performance Measurement./      Journal or Portfolio Management, Winter 1992, pp. 7-19.

10.              Susmaga R.,      Michalovski W. Identifying Regularities in Stock Portfolio Tilting. /      IIASA, IR-97-66, September 1997.

11.              Ковалев В.В. Финансовый      анализ. Управление капиталом, выбор инвестиций, анализ отчетности. - М.      1996.

12.         Четыркин Е.М. Методы      финансовых и коммерческих расчетов.- М. 1996.

13.         Карпиков Е.И., Федоров А.А. Основные постулаты классической теории портфельных инвестиций.

14.         //http://www.mfc.ru/ecc/bulletin/002/inv-theor.html.

15.         Гальперин В.М., Гребенников      П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Макроэкономика. - СПб., Изд-во СПбГУЭФ,      1997.

16.         Стратегия активного      управления портфелем инвестиций . Система APMS.

17.              http://www.eerc.ru.

18.              Терри Дж. Уотшем, Кейт      Паррамоу. Количественные методы в финансах.- М.: Финансы, 1999.

19.              Ричард Дж.Тьюлз, Эдвард С. Бредли, Тэд М. Тьюлз. Фондовый рынок. - М., Инфра-М, 1999.

20.         Лесин В.В., Лисовец Ю.П.      Методы оптимизации. - М., Изд-во МАИ, 1998.

21.                   Гилл Ф., Миррей У., Райт М. Практическая оптимизация. - М.,Мир,1985.

22.              Химмельблау Д. Прикладное      нелинейное программирование. - М.,Мир, 1975.

23.              Лутц Крушвиц. Инвестиционные расчеты. - СПб, 2001.

24.              Брэйли Р., Майерс С. «Принципы корпоративных финансов». Пер. с англ. - М. «Олимп-бизнес». 1997г.

25.              «Мастерство Финансы» Пер. с англ. - М. «Олимп-бизнес». 1998 г.

26.              Беккер А., Федорин В. «Россия: Минфин скупил долги на $2,5 млрд.» // Ведомости (20.02.02)

27.              Водянов А., Смирнов А. « Паутина роста». // Эксперт. №42 (254), 2000г.

28.              Егерев И. «Определение размера надбавок за риск при кумулятивном построении ставки дисконта». // Рынок ценных бумаг № 1 (160), 2000г.

29.              Ефимова О. «Дисконтированная стоимость: расчет и анализ». // Бухгалтерский учет №10, 1998г.

30.              Лимитовский М., Паламарчук В. «Стоимость собственного капитала российской корпорации». // Рынок ценных бумаг № 18 (153), 1999г.

31.              Салун В. «Как правильно выбрать ставку дисконта». // Рынок ценных бумаг № 4 (139), 1999г.

32.              Тихонов О. «Концепция дохода». // Рынок ценных бумаг № 5 (116), 1998г.

Bukvasha