Курсовая Интеграл Стилтьеса
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__ok.png)
Предоплата всего
от 25%
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__signature.png)
Подписываем
договор
Министерство образования Российской Федерации
Костромской государственный университет имени Некрасова
Курсовая работа
По математическому анализу
на тему: Интеграл Стилтьеса
| Выполнила: Бабина К. В. Проверила: Маянская Г. М. |
Кострома 2009
Оглавление
1.Определение интеграла Стилтьеса. 3
2.Общие условия существования интеграла Стилтьеса. 3
3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса. 3
4.Свойства интеграла Стилтьеса. 3
5. Интегрирование по частям. 3
6. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. 3
7. Вычисление интегралов Стилтьеса. 3
10. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. 3
11. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса. 3
12. Примеры. 3
Список литературы.. 3
1.Определение интеграла Стилтьеса.
Стилтьес Томас Иоаннес (29.21.1856, Эволле-31.12.1894, Тулуза) нидерландский ученый математик и астроном, член Нидерландской академии наук, иностранный член-корреспондент Санкт-Петербургской академии наук по Физико-математическому отделению. Окончил Политехническую школу в Делфте. Работал на Лейденской обсерватории, с 1886 года преподаватель, затем профессор Университета в Тулузе. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, интегрального преобразования, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесам понятие интеграла Г.Римана, предложенное в 1894 году, играет важную роль в современной математике.
Определяется интеграл Стилтьеса следующим образом.
Пусть в промежутке [a
,
b] заданы две ограниченные функции f
(
x
) и g
(
x
). Разложим точками
промежуток [a
,
b] на части и положим
(
(
x
) и умножим его на соответствующее промежутку
(
x
)
Наконец, составим сумму всех таких произведений:
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса
(
x
) по функции g
(
x
) и обозначается символом
Чтобы особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение
Предел здесь понимается в том смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла.
Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа
,
b] раздроблен на части так, что
Как бы ни выбирать точки
При существовании интеграла (3) говорят также, что функция f
(
x
) в промежутке [a
,
b] интегрируема по функции
Единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что
Мы для определенности предполагали a<b; нетрудно аналогично рассмотреть и случай, когда a>b. Впрочем, он непосредственно приводится к предыдущему ввиду равенства
2.Общие условия существования интеграла Стилтьеса.
Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограниченность, впрочем, предположением, что функция
Отсюда следует, что при a<b теперь все
где означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f
(
x
) в i-ом промежутке
При одном и том же разбиении
1-е свойство: Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшится.
2-е свойство: Каждая нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.
Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу – Стилтьеса:
то оказывается, что
Наконец, с помощью сумм Дарбу – Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:
Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтоб было
или
если под
(
x
) в i-ом промежутке
3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.
Определение функции с ограниченным изменением:
Пусть функция f
(
x
) определена в некотором конечном промежутке [a
,
b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления:
Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму
Если такие суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция f
(
x
) в промежутке [a
,
b] имеет ограниченное изменение ( или ограниченную вариацию). При этом точную верхниюю границу этих сумм называют полным изменением функции в указанном промежутке и обозначают символом
I. Если функция f
(
x
) непрерывна, а функция
существует.
Сначала предположим, что
(
x
) найдется такое
(
x
) будет меньше
,
b] произвольно разбит на части так, что
откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.
В общем случаи, если функция
Так как каждая из сумм
Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f
(
x
), если одновременно усилить требования к функции
II. Если функция f
(
x
) интегрируема в [a
,
b] в смысле Римана, а
(L=const.,
Предположим, что функция
Ввиду (6), очевидно,
Но последняя сумма при
(
x
), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).
В общем случаи функции
Функция
и
III
. Если функцияf
(
x) интегрируема в смысле Римана, а функция
где
,
b], то интеграл (5) существует.
Пусть
Таким образом, в этом случаи
Предположим теперь, что
где
Разобьем промежуток [a
,
b] произвольным образом на части и составим сумму
Она распадается на две суммы
-
С другой стороны, так как в промежутке
В общем случаи, когда функция
,
b]:
неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как
то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.
Замечание. Пусть функция
,
b] и имеет, исключая лишь конечное число точек, производную
Если
4.Свойства интеграла Стилтьеса.
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие свойства:
Доказательство:
=
Что и требовалось доказать.
При этом в случаях
Затем имеем
в предложении, что a
<
c
<
b
и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулы достаточно включить точку с в число точек деления промежутка [a
,
b] при составлении суммы Стилтьеса для интеграла
Из существования интеграла
Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого
из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет
место принцип сходимости Больцано–Коши
Надо отметить что из существования обоих интегралов
f
(
x
) при стремлении
x
к а имела конечный предел ,т.е. сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа
f
(
x
)-
f
(
x
')\
5. Интегрирование по частям.
Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
в предположении, что существует один из этих интегралов. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям.
Доказательство:
Пусть существует интеграл
,
b] на части
=0, 1, …,
n
-1), выберем в этих частях произвольно
Сумму Стилтьеса для интеграла
можно представить в виде
Если прибавить и отнять справа выражение
то
Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла
,
b] точками деления
если в качестве выбранных из промежутков
= 1, …,
n
-1) точек взять
,
], соответственно, a
и b. Если положить
Если функция g
(
x
) в промежутке [a
,
b] интегрируема по функции f
(
x
), то и функция f
(
x
) интегрируема по функции g
(
x
).
6. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.
(
x
) непрерывна в промежутке [a
,
b], а g
(
x
) монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьес
(
x
) непосредственно приводится к интегралу Римана.
На рисунке изображен график функции
(
x
). Для тех значений x
=
x’, при которых функция g
(
x
) испытывает скачок, дополним график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (x’,g
(
x
’-0) ) и (x’,g
(
x
’+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению v между
=
g
(
b
) относит одно определенное значение x между a
и b. Эта функция
Именно, если ограничиться лишь теми значениями
до b
, то
(
x
’-0),
g
(
x
’+0)], связанного со скачком функции
Теперь докажем:
где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция
С этой целью разложим промежуток [a
,
b] на части с помощью точек деления
и составим стилтьесову сумму
Если предположить
=0, 1, …,
n), то будем иметь
Так как
Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла
Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), ибо даже при
и
так что
Предположим теперь
То одновременно и
Этим доказано, что
откуда и следует (10).
7. Вычисление интегралов Стилтьеса.
где функция
Интеграл справа существует. Существование Стилтьеса было уже доказано в п.3 (III). Остается лишь установить равенство (11).
Предположим, что
Составим сумму Стилтьеса
Так как, с другой стороны, можно написать
то будем иметь
Очевидно, для
Т.к. в п.3 (III) мы доказали, что при
) - аб
солютно интегрируемой в промежутке [а, +
что и доказывает формулу (11).
Интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ
Если функция
Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке x=0 справа, причем величина скачка
Предположим, что функция
где
Составим сумму Стилтьеса:
Пусть точка c попадет в k-й промежуток, так что
Аналогично можно убедиться в том, что (при
(при c=a этот интеграл обращается в нуль).
Пусть функция
Терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой
Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции
или b – односторонние (если на деле какой-либо из этих точек скачка нет, то соответствующее слагаемое суммы обращается в нуль).
Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции
очевидно, для
Составим вспомогательную функцию:
которая как бы вбирает в себя все разрывы функции
Для значений
Аналогично проверяется и непрерывность функции
Далее, если взять точку
Для непрерывности функции
Точно так же легко вычислить и интеграл (с учетом (13), (14))
Складывая почленно эти два равенства, придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от
Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.
Рассмотрим интеграл
предполагая функцию
Система параметрических уравнений
выражает некоторую кривую (K) , разрывную, как на рисунке.
отвечающие всем скачкам функции
С этой целью разложим промежуток
и в соответствии с этим промежуток
Введя наименьшее и наибольшее значения
Они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.
Так как при стремлении в 0 всех
Теорема о среднем, оценки.
То есть это теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.
Доказательство:
Переходя к пределу, получим
Возьмем
Тогда
Обозначая написанное отношение через
Если
где
Доказательство:
так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить (21).
и почленно вычитая эти равенства, получим
Обозначим через
Если промежуток
10. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
также непрерывной, а
Доказательство:
По заданному
>
N
будет для всех x
Тогда в силу (21), для n
>
N
т.к.
и
то
Доказательство:
Докажем, что
Тогда для любого
Перейдем к пределу при
откуда и
Составим суммы Стилтьеса
Если предположить, что промежуток
С другой стороны, если разбиение фиксировать, то, очевидно,
, что для n
>
N будет
Тогда для тех же значений n
в силу (23) и (24) получаем:
Т.к.
11. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.
Пусть кривая
в направлении от
а выбранной на дуге
(
Эта интегральная сумма представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла Стилтьеса:
Аналогично и
Отсюда следуют общие условия существования криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию
В частности, если кривая AB спрямляема, а функции P
(
x
,
y
) и Q
(
x
,
y
) непрерывны, то существует интеграл
12. Примеры.
№1 Вычислить по формуле
а)
б
) (s)
=
в)(s)
№2 Вычислить по формуле
а) (S)
функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1
скачок -2, при х=2
в остальных точках
(S)
б
) (S)
функция g(x) терпит скачок 1, при х=
скачок -2, при х=
в остальных точках
(S)
№3 Вычислить по формуле
а)
функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1
скачок 1, при х=
б)
функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1
скачок 1, при х=
+
в)
функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1
скачок 1, при х=
+
=
№4
а) Составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1;3]
Решение.
Ф(х)=
Ф(а)=о => Ф(1)=0
В точке х=1 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х-1
В точке х=2 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х
В точке х=3 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2*3+1=7
Итого:
Ф(х)=
б) Составить выражение Ф(х) для следующего распределения масс: массы величины 2 в точках х= 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [0;5]
Решение.
Ф(х)=
Ф(а)=о => Ф(1)=0
В точке х=2 функция терпит скачок =2 => Ф(х)=
В точке х=4 функция терпит скачок =2 => Ф(х)=
Итого:
Ф(х)=
в) Выяснить распределение масс, если Ф(х)
Решение.
При х=-1 и 0 функция испытывает скачок =1 => массы величины 1 в точках х=-1 и 0, в промежутке [-2,-1] непрерывно распределенные массы с плотностью 1, т.к. , в промежутке [0,2] непрерывно распределенные массы с плотностью 2х, т.к.
Список литературы
1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.Москва 1960
2. http://www.phismat.ru/dif.php