Курсовая Теорема о свободе
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
Курсовая работа
на тему:
«Теорема о свободе»
Выполнил:
студент 4 курса факультета
математики, физики и
информатики группы А
Захаренко А.В.
Проверил:
д. ф.-м. наук, профессор
Безверхний В. Н.
Тула
2009
Содержание
| 1. Определение свободной группы | 3 |
| 2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера | 7 |
| 3. Группы с одним определяющим соотношением. Подход Магнуса | 12 |
| 4. Расширения Хигмана – Нейман – Неймана и свободные произведения с объединенной подгруппой. | 15 |
| 5. Группы с одним определяющим соотношением с использованием HNN-расширений | 18 |
| Список литературы | 21 |
| |
1.
Определение свободной группы
Пусть нам дано множество элементов S
={
s
1
, … ,
sn
}, причем не предполагается, что число n
конечно или даже счетно. Но когда это будет нам нужно, мы будем считать множество индексов i
элементов si
вполне упорядоченным. Введем символы – новый символ.
Слово – это пустая (обозначается 1) или конечная последовательность a
1
a
2
…
at
, где каждый символ ai есть один из символов
Слово называется редуцированным, если оно, либо пустое, либо в его записи a
1
a
2
…
at
нет ни одной пары рядом стоящих символов ai
,
ai
+1
(i
=1, …, t
-1) вида
Два слова f
1
и f
2 будем называть соседними, если они имеют вид
Два слова f и g
эквивалентны (обозначается
1
=
f
,
f
2
, …,
fm
=
g
, что слова fi
,
fi
+1
– соседние при i
=1, …,
m
-1. Ясно, что отношение
, образуют класс эквивалентных слов, который мы обозначим через [f].
Лемма 1.1. Любой класс содержит одно и только одно редуцированное слово.
Доказательство. Если слово f
=
a
1
…
at
содержит подслово
1
…
ai
-1
ai
+2
…
at состоит из меньшего числа символов. После не более чем t
/2 шагов сокращения мы придем к редуцированному слову, эквивалентному слову f. Этим показано, что класс [f] содержит, по меньшей мере, одно редуцированное слово.
Далее, исходя из слова f
=
a
1
a
2
…
at, мы определяем следующую систему преобразований, которую назовем W-процессом:
W
0
=1 – пустое слово,
W
1
=
a
1
,
Wi
+1
=
Wiai
+1
, если Wi не редуцированное слово вида
Wi
+1
=
X
, если Wi – редуцированное слово вида
Тогда, по индукции, легко видеть, что слова W
0
,
W
1,
…,
Wt являются редуцированными и что Wt
=
f, если слово f
редуцировано. Пусть теперь
f
1
=
a
1
…
arar
+1
…
at
,
и пусть
1, а
2. Покажем, что
1) Слово
2 имеем
2) Слово
Следовательно, в обоих случаях
Мы можем теперь определить произведение классов эквивалентных слов, относительно которого они будут образовывать группу. Мы назовем ее свободной группой F, порожденной множеством S.
Теорема 1.1. Для произвольной пары классов слов [f
1], [f
2] над множеством S
определим произведение следующим образом: [f
1] [f
2]= [f
1
f
2]. Это произведение вполне определено, и относительно него классы эквивалентных слов над множеством S
образуют группу – свободную группу
F
, порожденную множеством
S
.
Доказательство. Если
=
a
1
…
at и
1
…
at]. Далее мы обнаруживаем, что ([f
1] [f
2]) [f
3]= [f
1
f
2
f
3]= [f
1] ([f
2] [f
3]), т. е. ассоциативный закон выполняется. Таким образом, классы слов образуют группу, называемую свободной группой F, порожденной множеством S. Чтобы отметить последнее обстоятельство, эту свободную группу часто обозначают через FS.
Удобно писать f
1
=
f
2, если слова f
1 и f
2 эквивалентны и, следовательно, представляют один и тот же элемент группы F. мы будем писать
1 и f
2. Удобно в качестве представителя класса выбирать редуцированное слово. Если слово f
=
a
1
…
at редуцированное, то мы говорим, что оно редуцировано к этому виду.
В произвольной группе G множество элементов X
:
x
1
, …,
xn порождает подгруппу H, состоящую из всех конечных произведений b
1
b
2
…
bt, где каждый элемент bj вида
={X}. Следующая теорема показывает, почему свободные группы интересны не только сами по себе, но и как орудие исследования произвольных групп.
Теорема 1.2. Пусть группа G
порождается множеством элементов
X
:
x
1
, …,
xn
, а
F
– свободная группа с образующими
S
:
s
1
, ...,
sn
. Тогда существует гомоморфизм
.
Доказательство. Пусть f
=
a
1
…
at
– любое слово над множеством S. Рассмотрим элемент
на элементы группы G. При этом из того, что
Следствие 1.1. Произвольная группа G
с заданным множеством образующих Х изоморфна фактор-группе свободной группы
F
с таким же количеством образующих элементов.
Дадим другое определение свободной группы.
Определение 1.1. Свободная группа F
, порожденная множеством элементов
S
, – это группа со следующими свойствами:
1)
Группа
F
порождается множеством элементов
S
.
2)
Если
G
– произвольная группа, порожденная множеством элементов Х, и если дано взаимно однозначное соответствие между множествами
S
и Х,
на группу
G
,
на множество Х.
2.
Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера
Природа подгрупп всегда играет фундаментальную роль при изучении групп. Нильсен и Шрейер доказали, что подгруппы свободных групп сами свободны. Нильсен оперировал непосредственно элементами подгруппы, а Шрейер – смежными классами по подгруппе.
Множество G элементов свободной группы F называется шрейеровской системой, если для любого элемента
1)
2) слово
Множество G – двусторонняя шрейеровская система, если наряду с 1) и 2) имеет место следующее свойство:
3) Слово
Заметим, что шрейеровская система всегда имеет единичный элемент.
Пусть F – свободная группа, порожденная множеством S
, U – ее подгруппа. Рассмотрим левое разложение группы F по подгруппе U
:
Представителем смежного класса U
мы всегда будем выбирать единицу. Мы увидим, что целесообразно выбирать систему представителей остальных смежных классов так, чтобы они удовлетворяли некоторым определенным отношениям.
Лемма 2.1. (Обобщенная лемма Шрейера.) Если U
– подгруппа свободной группы
F
, то в качестве системы представителей левых смежных классов по подгруппе
U
можно выбрать некоторую шрейеровскую систему. Если
U
– инвариантная подгруппа группы
F
, то может быть выбрана система представителей, образующая двустороннюю шрейеровскую систему.
Доказательство. Пусть множество образующих S:
конечно или даже счетно; предполагается лишь, что множество
Полное упорядочение множества
<
g, если редуцированные представления
f
=
a
1
…
at
,
g
=
b
1
…
bu
,
этих элементов таковы, что выполняется одно из следующих свойств:
1) t<u,
2) t=u, a1<b1,
3) t=u; a1=b1, …,ai=bi ; ai+1<bi+1;
здесь символы ai и bj принадлежат множеству
Если f
<
g
и слово gh
редуцированно, то fh
<
gh
. Если f
<
g и элемент hg
редуцирован, то hf
<
hg
. Это следует из определения лексикографического порядка.
Чтобы доказать лемма, выберем в качестве представителя gi смежного класса Ugi первый элемент этого класса в смысле лексикографического упорядочения элементов группы F. Утверждается, что так выбранные представители gi образуют шрейеровскую систему и даже двустороннюю шрейеровскую систему, если подгруппа U инвариантна. Так как единица есть первый элемент группы F, то она выбирается в качестве представителя смежного класса U
. Пусть g
=
a
1
…
at
-1
at – представитель класса Ug, т.е. наименьший элемент этого класса. Пусть h
– наименьший элемент в классе, содержащем элемент h
*=a
1
…
at
-1. Если h
=
b
1
…
bt , то
=
h
*=a
1
…
at
-1 есть также представитель смежного класса. Таким образом, элементы gi образуют шрейеровскую систему. Если U
– нормальный делитель, то пусть элемент a
1
f находится в классе U
f
=
f
U
с наименьшим элементом f
. Тогда
1
f принадлежит классу a
1
…
atU
=
gU
=
Ug. Отсюда
1
f. Но мы также имеем неравенство a
1
f
=
a
1
f и
Теорема 2.1. (основная теорема) Любая подгруппа свободной группы свободна.
Доказательство. Пусть F – свободная группа, порожденная множеством S, U – некоторая ее подгруппа. Тогда, согласно лемме Шрейера, можно выбрать шрейеровскую систему G представителей левых смежных классов по U:
Начнем доказательство с леммы, которая имеет место для произвольной, не обязательно свободной группы F. Пусть F – группа, порожденная множеством S, U – подгруппа группы F и (2.2) – левое разложение группы F по подгруппе U.
Если элемент f группы F принадлежит смежному классу Ugi в (2.2), мы определяем функцию
Пусть f
=
Если
=1.
Далее, так как
=
gsε.
Лемма 2.2. Пусть в произвольной группе
F
элемент
g
пробегает множество представителей левых смежных классов по подгруппе
U
из разложения (2.2), элемент
s
– множество образующих группы
F
, а
.
Доказательство. Если
=1 и, согласно равенству (2.3), элемент f представляется в виде произведения элементов
(
gs
)-1 порождают подгруппу U.
Следствие 2.1. Если
F
– группа с конечным числом образующих и
U
– подгруппа конечного индекса, то подгруппа
U
также имеет конечное число образующих.
В дальнейшем будем предполагать, что F – свободная группа, причем представители ее смежных классов по U образуют шрейеровскую систему G.
Нам понадобятся следующие свойства функции
1)
2) если
3)
Обозначим
=
gsφ
(
gs
)-1. Теперь всякий элемент u является элементом v с показателем степени +1, а элемент v либо равен некоторому u, либо некоторому u
-1. При этом, если
Лемма 2.3. Слово
Доказательство. Пусть
В случае когда
Лемма 2.4. При сокращении в произведении
v
1
v
2
, где
Доказательство. Пусть
Лемма 2.5. Если
Доказательство. Повторным применением леммы 2.4. мы получаем, что сокращение между
Рассмотрим теперь элементы u
=
gsφ
(
gs
)-1≠1. По лемме 2.5. все их произведения не равны единице, и все элементы u
≠1 порождают подгруппу U. Покажем, что U – свободная подгруппа. Элементы u
≠1 можно считать свободными образующими подгруппы U, если убедиться в том, что ни одно из произведений этих элементов, являющихся редуцированными словами в U, не равно единице, т. е. эти произведения, рассматриваемые как слов, составленные из образующих множества S, не могут быть редуцированны к единице. Но всякое слово u
≠1 равно либо u, либо u
-1. Следовательно, редуцированное слово от элементов u
≠1 имеет вид
Лемма 2.6. Элементы
u
=
gsφ
(
gs
)-1≠1 составляют систему свободных образующих подгруппы
U
.
Таким образом, мы нашли свободные образующие подгруппы U и тем самым доказали, что она свободная подгруппа.
3.
Группы с одним определяющим соотношением. Подход Магнуса
Группы с одним определяющим соотношением G
=(
X
;
r
) привлекли к себе большое внимание. Исторически впервые ими заинтересовались по той причине, что таковы фундаментальные группы 2-многообразий. Эти группы представляют собой также естественное расширение класса свободных групп, с которыми они обнаруживают определенное сходство; выяснилось, что в определенной степени они допускают явное описание.
Наиболее ранние результаты, относящиеся к классу всех групп с одним определяющим соотношением, были доказаны Магнусом более или менее единообразным методом. Этот метод использовал индуктивное рассуждение, которое требовало перехода к более широкому классу групп. Определим ступенчатое представление G
=(
X
;
R
) следующим образом. Прежде всего допустим, что I
=
Z
или I
={1, 2, …, n} и что Y – подмножество в Х, являющееся объединением непересекающихся множеств
. Для каждого rj обозначим через
<
k следует
Ступенчатые представления интересны не только в связи с той ролью, которую они играют в проведении индуктивных рассуждений, но также и потому, что многие свойства, которыми обладают группы Gi
=(X
;
ri) с одним определяющим соотношением, остаются верными и для них. Такие результаты, а также дальнейшее обобщение понятия ступенчатого представления можно найти в работе Линдона (1962).
Очень сильный метод Магнуса сопряжен тем не менее с большими вычислениями. Некоторые из результатов, полученных этим методом, можно получить, и даже в большей степени общности, более прозрачными методами. Однако имеются и результаты, для которых иных доказательств не найдено. По этой причине мы формулируем ряд утверждений о группах с одним определяющим соотношением, а также о группах со ступенчатым представлением, не приводя их доказательств в этом разделе. В следующем разделе будут приведены два важных результата, иллюстрирующих магнусов метод доказательства.
Первый общий и притом один из наиболее поразительных и наиболее полезных результатов о группах с одним определяющим соотношением – это теорема о свободе, сформулированная Дэном и доказанная Магнусом (1930). Несколько иное доказательство можно найти у Линдона (1972), см. также Шупп (1976). Эта теорема является аналогом очевидного факта из линейной алгебры; кажется, ее название произошло из такой формулировки. Пусть G
= (
X
;
r
) и соотношение r, которое можно считать циклически приведенным, содержит элемент х из Х. Тогда (образ множества) Х–х – базис свободной группы G
. Дадим теперь формулировку, которая, очевидно, эквивалентна приведенной.
Предложение 3.1. Пусть F
– свободная группа с базисом Х и
r
– циклически приведенный элемент группы
F
, который содержит некоторый порождающий х из Х. Тогда каждый нетривиальный элемент из нормального замыкания элемента
r
в
F
также содержит х.
На самом деле из доказательства Магнуса получается следующий более общий результат.
Предложение 3.2. Пусть (X
;
R
) – ступенчатое представление. Предположим, что некоторое следствие
w
множества
R
содержит порождающие
y
из
Yi
только для
i
, лежащих в том же интервале.
Непосредственным следствием теоремы о свободе является положительное решение проблемы простого присоединения корней в случае свободных групп.
Предложение 3.3. Пусть F
– свободная группа,
можно вложить в группу
G
, содержащую элемент
g
, такой, что
Пусть F – свободная группа с базисом Х; эту группу можно вложить в свободную группу F
1 с базисом
1
,
N
– нормальное замыкание этого элемента в F
1
и φ – каноническое отображение из F
1
на G
=
F
1
/
N
. Понятно, что r
циклически приведено и зависит от образующего x
группы F
1. По теореме о свободе имеем
изоморфно в G, причем элемент g
=
xφ
группы G
очевидным образом удовлетворяет данному соотношению.
Типичный пример обобщения предложения 2 получен Линдоном (1962), причем в этом примере множества Yi
индексированы точками i
n
-мерного вещественного пространства, а интервал, упомянутый в предложении 2, заменен некоторым выпуклым множеством.
Попытаемся найти обобщение теоремы о свободе для свободных произведений. Пусть F
=
G
1
*
G
2
– свободное произведение и r – циклически приведенный элемент из F, не содержащийся в G
1; можно было бы надеяться, что нормальное замыкание N элемента r
в F не пересекается с G
1. однако это неверно, причем контрпример прост. Пусть G
1
порождена элементом g
1
порядка 2, а G
2
– элементом g
2
порядка 3; положим r
=
g
1
g
2
. Легко видеть, что N
=
F.
4.
Расширения Хигмана – Нейман – Неймана и свободные произведения с объединенной подгруппой.
С самого начала отметим, что расширения Хигмана – Нейман – Неймана и свободные произведения с объединенной подгруппой (Шрайер, 1926) во многом параллельны, так что лучше всего смотреть на них, как на две составляющего одного и того же основного понятия.
Дадим определение этих конструкций. Пусть
– некоторые группы. Предположим, что
→
B. Тогда свободным произведением групп G
и
H
с подгруппами
A
и
B
, объединенными посредством изоморфизма φ, называется группа
Введем обозначение: если G – некоторая группа с заданным представлением, то запись
присоединены выписанные добавочные порождающие и определяющие соотношения. Имеется ввиду, что любые дополнительные порождающие отличны от порождающих группы G. Это позволяет нам записать свободное произведение с объединенной подгруппой в виде
Основная идея свободного произведения с объединенной подгруппой состоит в том, что подгруппа A отождествляется со своим изоморфным образом
,
H
,
A
,
B
и изоморфизма φ. Группы G
и H называются множителями свободного произведения с объединенной подгруппой, а A
и B называются объединенными подгруппами.
Будем называть отныне расширение Хигмана – Нейман – Неймана просто HNN-расширением. Дадим определение этой конструкции. Пусть G
– группа, A
и B
– ее подгруппы, а φ:A
→
B
– изоморфизм. Назовем HNN-расширением группы G
относительно А, В и φ группу
Группа G
называется базой группы G
*
,
t – проходной буквой, а A
и B
– связанными подгруппами.
Заметим, что как свободное произведение с объединенной подгруппой, так и HNN-конструкции включают в себя две подгруппы и изоморфизм между ними. Нестрого говоря, данные конструкции представляют собой то, что можно назвать «несвязным» и «связным» вариантами одной и той же основной идеи. В свободном произведении с объединенной подгруппой A
и B
– подгруппы разных групп G
и H
. В HNN-расширении A
и B
уже содержатся в одной группе.
Предположим, что
Определение 4.1. Последовательность
-1
,
gi
,
t
, где
,
gj
,
t
-1
, где
В своей основополагающей статье Хигман, Х. Нейман и Б. Нейман доказали, что G
вкладывается в G
* с помощью отображения
Лемма Бриттона. Если последовательность
*
.
Произведения элементов двух различных приведенных последовательностей могут оказаться равными в G
*. Чтобы действительно получить нормальную форму, нужны некоторые уточнения. Выберем некоторое множество представителей правых смежных классов группы G по подгруппе A и множество представителей правых смежных классов группы G по подгруппе B. Будем предполагать, что 1 является представителем как A, так и B.
Если
Определение 4.2. Нормальная форма – это последовательность
(I)
(II) если
(III) если
(IV) нет последовательных вхождений
Следующее рассмотрение иллюстрирует определение нормальной формы. Определяющие соотношения
(1)
HNN-расширения могут быть записаны в виде
(2)
Сопрягая обе части соотношения (1), можно получить
(3)
что эквивалентно равенству
(4)
На соотношения (2) и (4) можно смотреть как на квазикоммутативность. Эти соотношения позволяют перебросить элемент
* привести к виду
5.
Группы с одним определяющим соотношением с использованием
HNN
-расширений
Основные теоремы о группах с одним определяющим соотношением, теорема о свободе и теорема, о разрешимости проблемы равенства слов, были доказаны Магнусом в начале 30-х годов. В настоящее время существует хорошо развитая теория групп с одним определяющим соотношением. Ниже некоторые из основных теорем о группах с одним определяющим соотношением будут доказаны с использованием HNN-расширений. Д.И. Молдавский (1967) в своей работе о подгруппах групп с одним определяющим соотношением заметил, что если G
– группа с одним определяющим соотношением r, причем это определяющее соотношение циклически приведено и содержит некоторый порождающий в суммарной степени 0, то G
является HNN-расширением некоторой другой группы H
с одним определяющим соотношением. Приводимые здесь доказательства следуют работе Маккула и Шуппа (1973). Основная стратегия – использование индукции по длине определяющего соотношения и метод работы в случае, когда сумма показателей не равна нулю, – без изменений взята из работ Магнуса (1930, 1932).
Теорема о свободе. Пусть
циклически приведено. Если
L
– подмножество из
, то подгруппа М, порожденная множеством
L
, порождена им свободно.
Доказательство. Достаточно рассмотреть множества L, содержащие все порождающие группы G, за исключением одного. Доказательство будем вести индукцией по длине слова r
. Если r
содержит лишь один порождающий, то теорема верна. Таким образом, можно предполагать, что G
содержит не менее двух порождающих, скажем t
и b
, встречающихся в r
. Возникает два случая.
1) Предположим, что сумма показателей
как HNN-расширение некоторой группы H с одним определяющим соотношением, причем это соотношение s будет иметь длину, меньшую длины слова r. Заменяя r, если нужно, на его подходящую циклическую перестановку, можно предполагать, что r начинается с
=
tibt
-
i
,
ci
=
tict
-
i
и так далее. Как элемент свободной группы
,
c
, …. Это позволяет переписать r
как циклически приведенное слово s от порождающих bi
,
ci
, …, причем длина слова s строго меньше длины слова r. При переписывании слова r нужно просто заменить каждое вхождение порождающего, отличного от t, этим же порождающим с индексом i, где i – сумма показателей при вхождениях буквы t
, предшествующих данному вхождению порождающего. (Например, если r
=
b
2
t
-1
c
2
b
2
t
c
2, то
Пусть μ
и m – соответственно минимальный и максимальный индексы при b, действительно встречающиеся и s. (b
0
Непременно встречается, так как мы предположили, что r начинается с
Для проверки этого утверждения обозначим через G
*
группу, определенную этим новым представлением. Отображение
является гомоморфизмом, поскольку φ
(
r
)=
s. С другой стороны, отображение η=G
*
→
G, определенное посредством
является гомоморфизмом, поскольку все определяющие соотношения группы G
* при этом переходят в 1. Из того, что φη и ηφ – тождественные отображения групп G
и G
* соответственно, следует, что φ – изоморфизм.
(Продолжая пример, видно, что если
Положим теперь
и Y группы H, порожденные соответственно множествами
представлена как HNN-группа с базой H.
Предположим вначале, что данное нам подмножество первоначального порождающего множества группы G есть L
={
b
,
c
, …}. Заметим, что, по меньшей мере, один из порождающих группы H с ненулевым индексом встречается в s (иначе t не могло бы входить в r с суммой показателей, равной нулю). По предположению индукции L свободно порождает свободную подгруппу группы H, а значит и группы G.
Предположим теперь, что L
={
t
,
c
, …}. (Опущенный порождающий – это b.) Пусть ω – нетривиальное свободно приведенное слово от {t
,
c
, …}. Если
Если
={
ci
, …} в соответствии с той же процедурой, которая применялась для r. Тогда получим свободно приведенное нетривиальное слово ω*. По предположению индукции J свободно порождает свободную подгруппу группы H. Таким образом,
2) С точностью до переобозначения порождающих в случае 1) рассмотрены все ситуации, за исключением той, в которой каждый порождающий встречается в r в суммарной степени, не равной нулю. Предположим, что L
={
b
,
c
, …}. Пусть
Обозначим через r
1 результат циклического приведения слова
1. Группу C
можно переписать как HNN-группу с проходной буквой x. Если s – то, что получается из
,
c
, …}, свободно порождена этим множеством, а отсюда вытекает, что и множество {xα
,
c
, …} свободно порождает соответствующую подгруппу. Поскольку Ψ переводит b в xα, c в c, …, понятно, что L порождает свободную подгруппу группы G. Тем самым теорема доказана.
Список литературы
1. Бардаков, В. Г. О ширине вербальных подгрупп свободных конструкций / В. Г. Бардаков // Фундаментальная и прикладная математика. – 1999. – т. 5. –№8.
2. Линдон, Р., Шупп, П. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. / пер. с англ. Ю. А. Бахтурина. – М: Изд-во «Мир»,1980. – 443 с.
3. Холл, М. Теория групп / М. Холл. / пер. с англ. Н. В. Дюмина, З. П. Жилинской. –М: Изд-во иностранной литературы, 1962. – 462 с.
4. Чандлер, Б., Магнус, В. Развитие комбинаторной теории групп / Б. Чандлер, В Магнус. / пер. с англ. –М: Изд-во «Мир», 1985. – 248 с.
