Курсовая Организация самостоятельной работы студентов по теме Алгебраические и трансцендентные числа
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Министерство образования Республики Беларусь
УО МГУ им. А.А. Кулешова
Курсовая работа по алгебре
на тему
«Организация самостоятельной работы студентов по теме «Алгебраические и трансцендентные числа»
выполнила студентка 3 курса группы А-Б
Ласькова Галина Владимировна
проверила Сакович Наталья Владимировна
Могилёв 2008
Содержание
Введение………………………………………………………………………..2
Решение типового варианта…………………………………………….……..4
Задания для самостоятельного решения……………………………….…….12
Ответы к некоторым заданиям для самостоятельного решения……………28
Заключение……………………………………………………………….…….31
Список используемой литературы……………………………………………32
Заключение
Для того чтобы успешно учиться в ВУЗе, нужно уметь самостоятельно организовывать учебную деятельность и, значит, рефлексивно владеть своими учебными действиями, оценивая их соответствие целям и условиям деятельности и выделения на этой основе эффективных способов усвоения программного материала. Уровень самоорганизованности является важным фактором формирования учебной деятельности.
Наукой установлено, что правильно организованная самостоятельная работа позволяет каждому студенту глубоко проникнуть в суть изучаемых наук, точно, прочно овладеть системой научных знаний в единстве со всевозможными общенаучными и профессиональными умениями и навыками, лучше овладеть выбранной специальностью, максимально развить свои познавательные способности (мышление, память, внимание и т. д.) и задатки. Кроме того, необходимо учитывать, что эффективность самостоятельной работы возможна при условии достаточной готовности студентов для самоорганизации учебной деятельности, при формировании у них всех учебных действий, при наличии некоторых умений для организации условий самообучения.
Использование индивидуальных заданий способствует формированию логического мышления у студентов и привитию им навыков самостоятельной и исследовательской работы, развитию внимания, памяти, стремления обосновывать высказываемое, инициативы.
Введение
«Нам надо учить подрастающее поколение учиться самостоятельно овладевать знаниями»
Н. К. Крупская.
Одним из важнейших средств систематического и прочного усвоения программного материала по математике, по алгебре, развития творческих сил и воспитания студентов является самостоятельная работа.
Привитие учащимся, студентам навыков самостоятельной работы всегда являлось одной из главных задач на каждом этапе развития университетов, школ.
Практика показывает, что при обучении математике необходимо уделять значительное место самостоятельной работе обучаемых, организации различных упражнений. Без этого не может быть усвоения программного материала по математике, в частности по алгебре. Только в выполнении различных упражнений закрепляются математические понятия, развиваются вычислительные навыки, умение практически применять знания, свой опыт при решении задач и т. д.
Интенсификация процесса обучения студентов в высшей школе предполагает обязательную последовательную активизацию познавательной деятельности. В процессе индивидуальной учебной и научно-исследовательской работы студент должен научиться анализировать факты и явления, уметь находить необходимую информацию, самостоятельно в ней разбираться и применять полученные знания на практике.
Достижению поставленной цели служит индивидуализация процесса обучения. Индивидуальные задания по высшей математике являются основным видом самостоятельной работы по этой дисциплине на дневном отделении.
Залогом успешного выполнения студентами полученных индивидуальных заданий служит наличие достаточного количества математической литературы, методических разработок, содержащих варианты заданий и примеры решения аналогичных задач, а также перечень литературы для теоретической подготовки. Для выполнения нижеприведённых заданий студентами могут быть использованы книги из списка литературы, а также пример решения аналогичных заданий, приведенный в тексте работы. Решение студент оформляет в отдельной тетради, при необходимости производит проверку правильности вычислений с помощью компьютерных средств.
Курс алгебры и теории чисел, который читается в педагогическом университете, имеет две основные цели.
Первая – профессиональная направленность: он должен служить фундаментом школьной алгебры. Темы, которые изучаются или могут в ней изучаться, в том числе и факультативно, должны быть теоретически обоснованы.
Вторая цель курса – знакомство студента с основами современной алгебры. Для этого нужно не только дать представление об основных алгебраических структурах, но и показать, как они используются при решении глубоких и трудных задач, формулировки которых, тем не менее, понятны студенту. В качестве таких задач предлагается рассмотреть условия разрешимости алгебраического уравнения в радикалах или условия разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
Задания, разработанные в данной курсовой работе, позволят студентам достигнуть этих целей, отработать основные моменты, связанные с теорией многочленов, алгебраическими и трансцендентными числами.
Решение типового варианта
1.0.
2.0.
Для деления многочленов применим схему Горнера
| | 1 | 0 | 2i | -3 | 1-i | -7 |
| 2-i | 1 | 2-i | 3-2i | 1-7i | -4-16i | -28-31 |
Очевидно, что частное
Ответ:
3.0.
Из условия получаем, что
Значит,
Из системы получаем, что
Т. е. наш остаток
Ответ:
4.0.
Многочлен
Решая систему уравнений, получаем, что
Ответ: p= - 9, q= 24.
5.0.
НОД(
_
Т. к. НОД(
_
Т. е.
Линейное представление НОДа через многочлены:
Ответ: НОД(
6.0.
Вычислим производную
Тогда
| | 1 | 1 | -2 | -2 | 1 | 1 |
| -1 | 1 | 0 | -2 | 0 | 1 | 0 |
| -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | |
| -1 | 1 | -2 | 1 | 0 | ||
| -1 | 1 | -3 | 4≠0 | |||
| 1 | 1 | 2 | 0 | -2 | -1 | 0 |
| 1 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 4 | 7 | 8≠0 | ||
Итак, x-1 – двукратный множитель, x+1 – трёхкратный множитель многочлена
Ответ: x-1 – двукратный, x+1 – трёхкратный множители.
7.0.
Вычислим результант многочленов:
Ответ:
8.0.
Преобразуем исходное уравнение следующим образом:
Справа будет полный квадрат, если дискриминант квадратного трёхчлена в левой части будет равен нулю.
Нам достаточно найти одно решение данной кубической резольвенты и подставить его в (*) для нахождения корней исходного уравнения. Выберем, например, корень
Применив формулу разности квадратов к последнему уравнению, имеем:
Решая последние два квадратных уравнения, получаем корни исходного уравнения четвёртой степени:
Ответ:
9.0.
Выполним замену x=y-3 или разделим многочлен
| | 1 | 9 | 9 | 81 |
| -3 | 1 | 6 | -9 | 108=q |
| -3 | 1 | 3 | -18=p | |
| -3 | 1 | 0 | ||
Получили уравнение
Δ=
Проверку результата решения осуществим другим способом (школьным). Разложим наше уравнение на множители:
Ответ:
10.0.
_
Получаем, что
Ответ:
11.0.
Выражение
Выпишем старший член многочлена
Значит
Возьмём, на пример,
систему, решив которую найдём коэффициенты A и B:
Значит
Ответ:
12.0.
а) α =
Из алгебраического равенства многочленов получаем следующую систему:
После несложных преобразований получаем, равносильную исходной системе, систему:
Возьмём для упрощения преобразований возьмём x = 2:
Ответ:
б)
Будем искать множитель, рационализирующий знаменатель, с помощью метода неопределённых коэффициентов. Т. к.
Из того, что
Ответ:
13.0.
1 способ. Если уравнение
| | 2 | 6 | -4 | 3 |
| 1 | 2 | 8 | 4 | 7≠0 |
| -1 | 2 | 4 | -8 | 11≠0 |
| 3 | 2 | 10 | 22 | 77≠0 |
| -3 | 2 | 4 | 10 | 47≠0 |
Таким образом, рациональных корней уравнение не имеет, следовательно, оно неразрешимо в квадратных радикалах.
2 способ. Данный многочлен по критерию Эйзенштейна неприводим над Z, а значит и над Q. Следовательно, данное уравнение неразрешимо в квадратных радикалах.
Ответ: данное уравнение неразрешимо в квадратных радикалах.
Задания для самостоятельного решения
№1. Найдите произведение многочленов
1.0.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
№2. Определите частное и остаток от деления многочлена
2.0.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
№3. При делении многочлена
3.0.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
№4. При каких p и q многочлен
4.0.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
№5. Найдите НОД многочленов
5.0.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
№6. Отделите кратные корни многочлена (с помощью формальной производной), если: 6.0.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
№7. Вычислите результант многочленов
7.0.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
№8. Решите уравнение:
8.0.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
№9. Решите уравнение:
9.0.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14.
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
№10. Число c является корнем многочлена
10.0.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
10.11.
10.12.
10.13.
10.14.
10.15.
10.16.
10.17.
10.18.
10.19.
10.20.
10.21.
10.22.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
№11. Пусть
11.0. Пусть
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
11.8.
11.9.
11.10.
11.11.
11.12.
11.13.
11.14.
11.15.
11.16.
11.17.
11.18.
11.19.
11.20.
11.21.
11.22.
11.23.
11.24.
11.25.
11.26.
№12. Освободитесь от иррациональности в знаменателе, если:
12.0. а)
12.1. а)
12.2. а)
12.3. а)
12.4. а)
12.5. а)
12.6. а)
12.7. а)
12.8. а)
12.9. а)
12.10. а)
12.11. а)
12.12. а)
12.13. а)
12.14. а)
12.15. а)
12.16. а)
12.17. а)
12.18. а)
12.19. а)
12.20. а)
12.21. а)
12.22. а)
12.23. а)
12.24. а)
12.25. а)
12.26. а)
№13. Проверьте, разрешимо ли в квадратных радикалах уравнение:
13.0.
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
13.6.
13.7.
13.8.
13.9.
13.10.
13.11.
13.12.
13.13.
13.14.
13.15.
13.16.
13.17.
13.18.
13.19.
13.20.
13.21.
13.22.
13.23.
13.24.
13.25.
13.26.
