Контрольная работа
Тема:
«Реализация и анализ цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой»
«Цифровая обработка сигналов»
Вариант №8

Задание:
1. Разработать алгоритм, реализующий заданный тип фильтра в частотной области (с использованием алгоритма БПФ).
2. Составить программу, позволяющую получить:
-         спектр входного сигнала;
-         спектральную (амплитудно-частотную) характеристику окна;
-         отклик фильтра на заданный сигнал;
-         спектр выходного сигнала.
3. Проанализировать полученные результаты.
Решение:
Математическая запись сигнала во времени:

Найдем спектр заданного сигнала, для этого воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

Затем найдем энергетический спектр сигнала, для этого возведем в квадрат модуль спектра сигнала:


Энергетический спектр сигнала имеет форму колокола, симметричного относительно начала координат, расходящийся по оси частот до бесконечности в обе стороны. Но так как фильтр с бесконечной полосой пропускания реализовать физически невозможно, определим верхнюю частоту с учетом того, что в задании полоса ФНЧ задается по уровню -3 дБ, т.е. по уровню половинной мощности:

Выразив , получаем: .
Дискретный сигнал, соответствующий заданному аналоговому сигналу будет выглядеть следующим образом:

Определим значение произведения , исходя из требования обеспечения уровня неопределённости (или наложения спектров) не хуже –13 дБ. Само же наложение спектров имеет место вследствие дискретизации сигнала (при невыполнении теоремы В.А. Котельникова), которая приводит к периодизации спектра сигнала с частотой .
Исходя из вышесказанного, для определения , сначала, найдём энергию сигнала, распределённую на участке от нуля до половины частоты дискретизации.

Далее, определим энергию, распределённую в диапазоне от половины частоты дискретизации до бесконечности:

Соотношение энергий будет задавать требуемый уровень неопределённости, а именно:

Решив это уравнение, получаем что, произведение = 0,238.
Теперь следует определить число отсчётов N, которое укладывается в периоде повторения Тп при частоте дискретизации равной 1/ . Для этого найдем эффективную длительность импульса:

Получаем, что число отсчетов, укладывающееся в периоде повторения равно:
.
Найдем порядок ФНЧ:
Так как полоса фильтра равна единице, то частота среза ФНЧ будет равна:
При сопоставлении частоты среза Ωср ФНЧ и верхней частоты Ωв спектра сигнала получаем ориентировочный порядок L однородного фильтра. Исходя из того, что однородный фильтр является ФНЧ с полосой пропускания на уровне половинной мощности примерно равной p/L.

Полученное значение округляем до целого числа, в итоге получаем L=13.
Теперь можно приступить к синтезу фильтра. Алгоритм, позволяющий получить спектр входного сигнала. АЧХ «окна», АЧХ и ИХ фильтра, отклик фильтра на заданный сигнал, а также спектр выходного сигнала реализован в пакете MathCAD.

Выводы:
В данной работе был рассчитан цифровой фильтр ФНЧ с конечной импульсной характеристикой. Такие фильтры обладают рядом положительных свойств: они всегда устойчивы, позволяют обеспечить совершенно линейную фазочастотную характеристику (постоянное время запаздывания).
Синтез фильтра производился методом окна. По заданию был задан параболический тип окна.
Сначала были найдены параметры сигнала: а, w_Д, w₀. Из условий, что уровень наложения спектров не хуже –13дБ. А также через эффективную длительность импульса, которая определяет энергетические характеристики сигнала. Далее сигнал был продискретизирован и найден его спектр.
Далее через нормируемую частоту фильтра было найдено число отсчётов фильтра.