Курсовая

Курсовая Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 13.1.2025





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математики и информатики
Курсовая работа

«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций»
Выполнил:

 студентка 362 группы

Латфуллина Р.А.
Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент

Шармина Т.Н.
Тюмень - 2010

Содержание

Введение. 3

Глава1. Функции ,  как решения некоторых задач Коши. 5

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций. 16

Список литературы.. 22


Введение


Данная курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.

Тригонометрические функции являются важной составной  частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.

Объектом нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.

Целью курсовой работы является изучение и анализ различных способов определения тригонометрических функций.

Для достижения цели мы поставили следующие задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

В главе 1 излагается способ построения теории функций , , основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.

Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.

Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.

Глава1. Функции ,  как решения некоторых задач Коши




Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.

Теорема1. Дифференциальное уравнение

,

где ; ; ;  , имеет на  единственное n-кратно дифференцируемое решение , удовлетворяющее условиям




(здесь - произвольно заданные фиксированные действительные числа).

Очевидно, что это решение обладает на  непрерывными производными всех порядков.

В частности, когда , указанное в теореме 1 решение тривиально ( на ).
Рассмотрим следующие две задачи Коши:

,     ,     ;                                                          (1)

,     ,     ,                                                          (2)

где ; ; . Их решения обозначим соответственно через  и . Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём , . Однако основные свойства функций ,  установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).
1.     ,        ().

Действительно, так как  и  - решения уравнения , то , , откуда , . Это значит, что каждая из функций ,  также являются решением уравнения . При этом решения  и  удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: , . Следовательно, по теореме существования и единственности  на , т.е.  для .

Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения

     ().
2.     Функция  нечётная, а  чётная.

Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с ) симметричны относительно точки . Покажем теперь, что  и  при любом .

Вводя в рассмотрение функции  и  (тогда , ) и учитывая свойство 1, будем иметь:

,

,      ;

,

      .

Таким образом, функции  и  являются решением одной и той же задачи Коши , , . Поэтому (согласно теореме 1)  на  , т.е. для любого .

Подобным же образом убеждаемся, что функция является решением задачи Коши  , , , следовательно,  на .
3.     Имеет место тождество      .

Доказательство. Полагая  и используя свойство 1, находим

     (),

Вследствие чего  на . А так как , то  на , т.е.  на .

Замечание. Из свойства 3 следует, что функции  и  ограничены, причём ,  для любого .
4.     Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций  и ):

      ()                                          (3)                                                             Доказательство. Введём в рассмотрение функции

  

Считая (без ограничения общности)  постоянной, а  переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как , :



так что

     (на ),



Аналогично

       (на ), , .

Следовательно, согласно теореме 1,  и  на . Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения.
Замечание. Пологая в формулах (3) , получаем следующие формулы удвоения:

,          ().

Отсюда с учётом свойства 3 получаем:

,          ().
Изучим теперь вопрос о нулях функций , , т.е. о корнях уравнений , . Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий , будем называть её положительным нулём.

Так как , то число  является одним из нулей функции .

Лемма1. Хотя бы одна из функций
,  обладает по крайней мере одним положительным нулём.


Доказательство
.
Предположим (от противного), что уравнения ,  положительных решений не имеют. Тогда на  функции и  знакопостоянны. Действительно, если бы функция или  в некоторых точках  принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между  и , в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.

Учитывая, далее, что , заключаем, вследствие непрерывности , что  положительна в некоторой окрестности точки , и, следовательно,  на .

Функция  возрастает на , так как  на , а поскольку , то  на . С учётом свойства 3 и положительности функций ,  на  имеем



т.е.  для любого . Очевидно, сто последнее неравенство верно и при . Интегрируя почленно это неравенство по промежутку , где - любое положительное число, большее двух, получаем



т.е.  вопреки выбору числа . Полученное противоречие и доказывает лемму.
Лемма2
.
Функция  имеет хотя бы один положительный нуль.

Доказательство. Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция  обладает хотя бы одним положительным нулём , а тогда (по формуле удвоения для функции ) будем иметь

,

т.е. - положительный нуль функции , но это противоречит допущению.
Замечание
.
Если , то и  для любого .

Доказательство. Для ,  -это известно.

Пусть для  утверждение верно, т.е. . Докажем справедливость утверждения  для .

Используя свойство 4, вычислим :



т.к.  и .
5.     Существует наименьший положительный нуль функции .

Доказательство. Обозначим через  множество положительных нулей функции . Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть  . Очевидно, что . Предположим теперь, что функция  не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества  получаем, что - предельная точка множества . Теперь легко убедиться, что  является одним из нулей функции . Действительно,



(здесь мы воспользовались непрерывностью функции  и теоремой о пределе функции (в нашем случае ) в точке  по данному множеству , для которого  является предельной точкой). Отсюда следует, что  (поскольку в случае  число  было бы наименьшим положительным нулём функции вопреки сделанному выше предположению).

Но при  имеем



т.е. . Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции  неверно, и тем самым требуемое свойство доказано.
Обозначим наименьший положительный нуль функции  через . Выясним свойства функций  и , прямо или косвенно связанные с числом  ().
6.     Функция  положительна на интервале  и отрицательна на интервале .
7.     Функция  убывает на  и возрастает на .
8.     Числа вида   и только эти числа являются нулями функции .

Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2,  (). Если же  (), то . Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число  (), такое что . Без ограничения общности (учитывая нечётность функции ) можем считать, что . Пусть . Положим . Очевидно, что . Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим



т.е. функция  имеет нуль в интервале вопреки определению числа .
9.     ,  ;    , .
10.           Функция   положительна на  и отрицательна на .

Доказательство.

1)     Докажем, что  на .

,  (по свойству 9).  Найдём :

, т.к. , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наименьший положительный нуль функции .

Учитывая, что  и свойство 7, получаем, что - наибольший отрицательный нуль функции .

Таким образом, но интервале  функция  не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция  будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция  положительна в некоторой правосторонней окрестности точки  (в силу того, что  (по свойству 9)  ). Следовательно,  на всём интервале , следовательно,  и на .
2)     Докажем, что  на .

(по свойству 9).  Найдём :

, т.к. , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наибольший отрицательный нуль функции .

Таким образом, но интервале  функция  не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция  будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция  отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки  (в силу того, что ,  ). Следовательно,  на всём интервале .
11.           .

Действительно, из равенства  имеем , откуда, учитывая, что , получим .
12.      Функция  возрастает на  и убывает на .

Доказательство. Прежде всего, функция  непрерывна на каждом из отрезков  и   и дифференцируема на .

Так как , то учитывая свойство 10,  на  и  на .Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.

Замечание. Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на  и возрастает на .
13.            Функции ,- периодические с периодом .

Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что ,  , имеем при любом :

,

,

т.е. - период функций ,.

Докажем теперь, что ни одна из функций , не имеет положительного периода, меньше . Действительно, наличие такого периода у функции  противоречит свойству 7, а если бы таким периодом  обладала функция , то мы имели бы , т.е. , откуда . Поэтому , т.е. , что невозможно.

14.            Нулями функции  являются числа вида  и только эти числа.

Действительно, согласно тождеству , нулями функции  все те и только те числа , для которых . Последнее же уравнение на отрезке  (длина которого равна периоду  функции ) имеет два решения:  и  (на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений

,

уравнения  можно объединить в одну:

.
15.            Справедливы следующие тождества (формулы приведения):



Доказательство. Убедимся, например, что .

Учитывая свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем

.

Аналогично убеждаемся в справедливости остальных тождеств.
16.            Наименьший положительный нуль функции  равен .

Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости  круг . Его площадь, как известно, равна . С другой стороны, эта площадь равна , где -площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как

,

то



Вводя подстановку  и учитывая, что при возрастании  от до  функция  (т.е. ) возрастает от до , получаем



Итак, .

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций




Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из  степенными рядами, называются аналитическими в этом интервале.

Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам.
Рассмотрим степенные ряды

                                                                      (1)

                                                                (2)

Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при любом действительном , в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом

,

.

Следовательно, функции  и как суммы соответствующих степенных рядов (1) и (2) определены и непрерывны на интервале . Более того, эти функции дифференцируемы на , причём

    



Функция  чётная, а нечётная, так как ,  для любого .

Установим ещё некоторые свойства функций  и .
Теорема1. Для любого действительного

.                                                                                           (3)

Доказательство. Имеем



Коэффициент при   можно представить в виде

ибо - число сочетаний из  элементов по

Аналогично



Коэффициент при   можно представить в виде



ибо

При сложении  и  коэффициент при  будет равен



Выражение в скобках равно нулю, в чём можно убедиться, полагая ,  в формуле бинома Ньютона



Таким образом, .

Следствие. Функции  и ограниченные, причём и

Теорема 2.(теорема сложения для функций  и ). Для любых действительных  и

                                                                       (4)

                                                                        (5)


Доказательство
.
Проверим  формулу:



Имеем:







Рассмотрим общий член этого ряда, содержащий произведения вида: , где . Получим



ибо

Таким образом,

.

Используя чётность или нечётность функций  и , проверим справедливость формулы:



Имеем



Аналогично проверяется справедливость формул


Теорема3. Для любых действительных  и  функция  удовлетворяет уравнению


                                                                          (6)

Доказательство. По определению функции имеем:





Вычислим - общий член ряда для суммы


Далее,





Вычислим - общий член ряда для произведения



ибо  Получим, что  при , а поскольку , то при любых действительных  и  имеет место равенство (6).


Замечание1. Из формул сложения (3) и (4) следуют формулы двойного аргумента:

                                                                                     (7)

Замечание2. Непосредственно из формул (3) и (7) получим:

       

 

Теорема4. Функция  имеет по крайней мере один положительный нуль.

Доказательство. Так как для любого



то    



и по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции  на  имеет по крайней мере один нуль, т.е. существует число , такое, что .

Теперь справедливы следующие утверждения.

1.      Функция  имеет наименьший положительный нуль , иными словами, существует , такое, что .

2.      Имеют место равенства:



3.      Функция  положительна на интервале , а функция - на интервале .

4.      Функция  возрастает на отрезке .

5.      Функция  убывает на отрезке  и возрастает на отрезке .

6.      .

7.      Нулями функции  являются числа  и только такие числа, а функции - числа

8.      Функции  и являются периодическими с наименьшим положительным периодом .

9.      Имеют место формулы приведения:



10.             Наименьший положительный нуль функции  равен .

 Список литературы


1.        Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович М.И., Элементарные функции: Учеб. Пособие.- Мн.: Выш. шк., 1991.-140с.

2.        Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления: том I-Спб.: Издательство «Лань», 1997.-800с.




1. Реферат на тему The First Reconstruction A Revolution Essay Research
2. Реферат на тему Justice And Injustice Essay Research Paper In
3. Реферат Конструкция водозаборной скважины
4. Доклад группа Fates Warning
5. Реферат на тему The Life Of Billie Holiday Essay Research
6. Реферат Импорт деревообрабатывающего оборудования марки Вайнинг из Германии в Россию
7. Курсовая на тему Партійна система України Політичний маркетинг
8. Реферат на тему Конституционный статус Президента РФ 2
9. Реферат Функции управления предприятием и пути их адаптации к условиям рыночной экономики
10. Реферат на тему Internet Censorship 2 Essay Research Paper Internet