МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математики и информатики
Курсовая работа

«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций»
Выполнил:

 студентка 362 группы

Латфуллина Р.А.
Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент

Шармина Т.Н.
Тюмень - 2010

Содержание

Введение. 3

Глава1. Функции ,  как решения некоторых задач Коши. 5

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций. 16

Список литературы.. 22

Введение

Данная курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.

Тригонометрические функции являются важной составной  частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.

Объектом нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.

Целью курсовой работы является изучение и анализ различных способов определения тригонометрических функций.

Для достижения цели мы поставили следующие задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

В главе 1 излагается способ построения теории функций , , основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.

Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.

Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.

Глава1. Функции ,  как решения некоторых задач Коши

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.

Теорема1. Дифференциальное уравнение

,

где ; ; ;  , имеет на  единственное n-кратно дифференцируемое решение , удовлетворяющее условиям




(здесь - произвольно заданные фиксированные действительные числа).

Очевидно, что это решение обладает на  непрерывными производными всех порядков.

В частности, когда , указанное в теореме 1 решение тривиально ( на ).
Рассмотрим следующие две задачи Коши:

,     ,     ;                                                          (1)

,     ,     ,                                                          (2)

где ; ; . Их решения обозначим соответственно через  и . Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём , . Однако основные свойства функций ,  установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).
1.     ,        ().

Действительно, так как  и  - решения уравнения , то , , откуда , . Это значит, что каждая из функций ,  также являются решением уравнения . При этом решения  и  удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: , . Следовательно, по теореме существования и единственности  на , т.е.  для .

Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения

     ().
2.     Функция  нечётная, а  чётная.

Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с ) симметричны относительно точки . Покажем теперь, что  и  при любом .

Вводя в рассмотрение функции  и  (тогда , ) и учитывая свойство 1, будем иметь:

,

,      ;

,

      .

Таким образом, функции  и  являются решением одной и той же задачи Коши , , . Поэтому (согласно теореме 1)  на  , т.е. для любого .

Подобным же образом убеждаемся, что функция является решением задачи Коши  , , , следовательно,  на .
3.     Имеет место тождество      .

Доказательство. Полагая  и используя свойство 1, находим

     (),

Вследствие чего  на . А так как , то  на , т.е.  на .

Замечание. Из свойства 3 следует, что функции  и  ограничены, причём ,  для любого .
4.     Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций  и ):

      ()                                          (3)                                                             Доказательство. Введём в рассмотрение функции

  

Считая (без ограничения общности)  постоянной, а  переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как , :



так что

     (на ),



Аналогично

       (на ), , .

Следовательно, согласно теореме 1,  и  на . Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения.
Замечание. Пологая в формулах (3) , получаем следующие формулы удвоения:

,          ().

Отсюда с учётом свойства 3 получаем:

,          ().
Изучим теперь вопрос о нулях функций , , т.е. о корнях уравнений , . Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий , будем называть её положительным нулём.

Так как , то число  является одним из нулей функции .

Лемма1. Хотя бы одна из функций
,  обладает по крайней мере одним положительным нулём.

Доказательство
. Предположим (от противного), что уравнения ,  положительных решений не имеют. Тогда на  функции и  знакопостоянны. Действительно, если бы функция или  в некоторых точках  принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между  и , в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.

Учитывая, далее, что , заключаем, вследствие непрерывности , что  положительна в некоторой окрестности точки , и, следовательно,  на .

Функция  возрастает на , так как  на , а поскольку , то  на . С учётом свойства 3 и положительности функций ,  на  имеем



т.е.  для любого . Очевидно, сто последнее неравенство верно и при . Интегрируя почленно это неравенство по промежутку , где - любое положительное число, большее двух, получаем



т.е.  вопреки выбору числа . Полученное противоречие и доказывает лемму.
Лемма2
. Функция  имеет хотя бы один положительный нуль.

Доказательство. Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция  обладает хотя бы одним положительным нулём , а тогда (по формуле удвоения для функции ) будем иметь

,

т.е. - положительный нуль функции , но это противоречит допущению.
Замечание
. Если , то и  для любого .

Доказательство. Для ,  -это известно.

Пусть для  утверждение верно, т.е. . Докажем справедливость утверждения  для .

Используя свойство 4, вычислим :



т.к.  и .
5.     Существует наименьший положительный нуль функции .

Доказательство. Обозначим через  множество положительных нулей функции . Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть  . Очевидно, что . Предположим теперь, что функция  не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества  получаем, что - предельная точка множества . Теперь легко убедиться, что  является одним из нулей функции . Действительно,



(здесь мы воспользовались непрерывностью функции  и теоремой о пределе функции (в нашем случае ) в точке  по данному множеству , для которого  является предельной точкой). Отсюда следует, что  (поскольку в случае  число  было бы наименьшим положительным нулём функции вопреки сделанному выше предположению).

Но при  имеем



т.е. . Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции  неверно, и тем самым требуемое свойство доказано.
Обозначим наименьший положительный нуль функции  через . Выясним свойства функций  и , прямо или косвенно связанные с числом  ().
6.     Функция  положительна на интервале  и отрицательна на интервале .
7.     Функция  убывает на  и возрастает на .
8.     Числа вида   и только эти числа являются нулями функции .

Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2,  (). Если же  (), то . Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число  (), такое что . Без ограничения общности (учитывая нечётность функции ) можем считать, что . Пусть . Положим . Очевидно, что . Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим



т.е. функция  имеет нуль в интервале вопреки определению числа .
9.     ,  ;    , .
10.           Функция   положительна на  и отрицательна на .

Доказательство.

1)     Докажем, что  на .

,  (по свойству 9).  Найдём :

, т.к. , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наименьший положительный нуль функции .

Учитывая, что  и свойство 7, получаем, что - наибольший отрицательный нуль функции .

Таким образом, но интервале  функция  не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция  будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция  положительна в некоторой правосторонней окрестности точки  (в силу того, что  (по свойству 9)  ). Следовательно,  на всём интервале , следовательно,  и на .
2)     Докажем, что  на .

(по свойству 9).  Найдём :

, т.к. , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наибольший отрицательный нуль функции .

Таким образом, но интервале  функция  не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция  будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция  отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки  (в силу того, что ,  ). Следовательно,  на всём интервале .
11.           .

Действительно, из равенства  имеем , откуда, учитывая, что , получим .
12.      Функция  возрастает на  и убывает на .

Доказательство. Прежде всего, функция  непрерывна на каждом из отрезков  и   и дифференцируема на .

Так как , то учитывая свойство 10,  на  и  на .Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.

Замечание. Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на  и возрастает на .
13.            Функции ,- периодические с периодом .

Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что ,  , имеем при любом :

,

,

т.е. - период функций ,.

Докажем теперь, что ни одна из функций , не имеет положительного периода, меньше . Действительно, наличие такого периода у функции  противоречит свойству 7, а если бы таким периодом  обладала функция , то мы имели бы , т.е. , откуда . Поэтому , т.е. , что невозможно.

14.            Нулями функции  являются числа вида  и только эти числа.

Действительно, согласно тождеству , нулями функции  все те и только те числа , для которых . Последнее же уравнение на отрезке  (длина которого равна периоду  функции ) имеет два решения:  и  (на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений

,

уравнения  можно объединить в одну:

.
15.            Справедливы следующие тождества (формулы приведения):



Доказательство. Убедимся, например, что .

Учитывая свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем

.

Аналогично убеждаемся в справедливости остальных тождеств.
16.            Наименьший положительный нуль функции  равен .

Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости  круг . Его площадь, как известно, равна . С другой стороны, эта площадь равна , где -площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как

,

то



Вводя подстановку  и учитывая, что при возрастании  от до  функция  (т.е. ) возрастает от до , получаем



Итак, .

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций

Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из  степенными рядами, называются аналитическими в этом интервале.

Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам.
Рассмотрим степенные ряды

                                                                      (1)

                                                                (2)

Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при любом действительном , в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом

,

.

Следовательно, функции  и как суммы соответствующих степенных рядов (1) и (2) определены и непрерывны на интервале . Более того, эти функции дифференцируемы на , причём

    



Функция  чётная, а нечётная, так как ,  для любого .

Установим ещё некоторые свойства функций  и .
Теорема1. Для любого действительного

.                                                                                           (3)

Доказательство. Имеем



Коэффициент при   можно представить в виде

ибо - число сочетаний из  элементов по

Аналогично



Коэффициент при   можно представить в виде



ибо

При сложении  и  коэффициент при  будет равен



Выражение в скобках равно нулю, в чём можно убедиться, полагая ,  в формуле бинома Ньютона



Таким образом, .

Следствие. Функции  и ограниченные, причём и

Теорема 2.(теорема сложения для функций  и ). Для любых действительных  и

                                                                       (4)

                                                                        (5)


Доказательство
. Проверим  формулу:



Имеем:







Рассмотрим общий член этого ряда, содержащий произведения вида: , где . Получим



ибо

Таким образом,

.

Используя чётность или нечётность функций  и , проверим справедливость формулы:



Имеем



Аналогично проверяется справедливость формул


Теорема3. Для любых действительных  и  функция  удовлетворяет уравнению


                                                                          (6)

Доказательство. По определению функции имеем:





Вычислим - общий член ряда для суммы


Далее,





Вычислим - общий член ряда для произведения



ибо  Получим, что  при , а поскольку , то при любых действительных  и  имеет место равенство (6).


Замечание1. Из формул сложения (3) и (4) следуют формулы двойного аргумента:

                                                                                     (7)

Замечание2. Непосредственно из формул (3) и (7) получим:

       

 

Теорема4. Функция  имеет по крайней мере один положительный нуль.

Доказательство. Так как для любого



то    



и по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции  на  имеет по крайней мере один нуль, т.е. существует число , такое, что .

Теперь справедливы следующие утверждения.

1.      Функция  имеет наименьший положительный нуль , иными словами, существует , такое, что .

2.      Имеют место равенства:



3.      Функция  положительна на интервале , а функция - на интервале .

4.      Функция  возрастает на отрезке .

5.      Функция  убывает на отрезке  и возрастает на отрезке .

6.      .

7.      Нулями функции  являются числа  и только такие числа, а функции - числа

8.      Функции  и являются периодическими с наименьшим положительным периодом .

9.      Имеют место формулы приведения:



10.             Наименьший положительный нуль функции  равен .

 Список литературы

1.        Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович М.И., Элементарные функции: Учеб. Пособие.- Мн.: Выш. шк., 1991.-140с.

2.        Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления: том I-Спб.: Издательство «Лань», 1997.-800с.