Курсовая на тему Расч т параметров изгиба однопрол тной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-12-12Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Курсовая работа
Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами
Дано:
L = 6.8 м = 680 см.
q0 = 22.2 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 5800 см4
æ = 0.93
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:

, (2)
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII (0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)

(6)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJWIV (x) = q 0, (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:

(8)
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:

(9)

(10)
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна:
D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что
WII(0)=В,
откуда следует, что величина В будет равна:
В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что

(13)
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:

(14)
или

,
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида

(15)
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:

(16)
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.


(17)
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:

; (18)

, (19)
где:
Δ0 – определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:

ΔА - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:

ΔС - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:

Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:

,
которые после несложных преобразований примут вид:

Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:

(20)

(21)
в которых введены обозначения:

(22)

(23)
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:

(24)
6. Значения изгибающих моментов M(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:

или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:

(25)
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):

(26)
Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия:

или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:

,
откуда
(xпр) 
(27)
Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:

(28)
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).
Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:

(29)
7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:
æ 
(30)
Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:

, (31)
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ 
(32)
Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:

(33)
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:

(34)

(35)
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:

(36)

(37)
А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:

(38)
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:

,
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:

(39)
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:

(40)
и в районе упругой заделки (при x = L):

(41)
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение

9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)

;

,
а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:

или в безразмерном относительном виде:

0.383
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр =M(260,8) 
- 755359 кг*с*см

1194621 кг*с*см
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = - 5791 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 9305 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение:

,00 Н.
Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами
Дано:
L = 6.8 м = 680 см.
q0 = 22.2 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 5800 см4
æ = 0.93
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII (0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJWIV (x) = q 0, (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна:
D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что
WII(0)=В,
откуда следует, что величина В будет равна:
В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:
или
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:
где:
Δ0 – определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:
ΔА - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:
ΔС - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:
Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
которые после несложных преобразований примут вид:
Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
в которых введены обозначения:
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:
5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
6. Значения изгибающих моментов M(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:
или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):
Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия:
или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:
откуда
(xпр)
Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).
Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:
7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:
æ
Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ
Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:
А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:
и в районе упругой заделки (при x = L):
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение
9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)
а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:
или в безразмерном относительном виде:
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр =M(260,8)
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = - 5791 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 9305 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение: