Курсовая работа
Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами


Дано:
L = 6.8 м = 680 см.
q₀ = 22.2 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 5800 см⁴
æ = 0.93
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJW^IV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
, (2)
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
W^II (0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
 (6)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q₀ = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJW^IV (x) = q ₀, (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
 (8)
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:
 (9)
 (10)
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна:
 D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что
W^II(0)=В,
откуда следует, что величина В будет равна:
 В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
 (13)
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:
 (14)
или
,
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
 (15)
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:
 (16)
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
   (17)
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:
; (18)
, (19)
где:
Δ₀ – определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:
 
Δ_{А -} определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С₁ и С₂ и коэффициентов при неизвестной величине С:

Δ_С - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С₁ и С₂:

Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
,
которые после несложных преобразований примут вид:

Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
 (20)
 (21)
в которых введены обозначения:
 (22)
 (23)
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
 (24)
6. Значения изгибающих моментов M(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:
 
или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
 (25)
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр необходимо в первую очередь определить значение координаты (x_пр) расположения этого изгибающего момента M_пр. Для определения значения координаты (x_пр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):
 (26)
Тогда значение координаты (x_пр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение M_пр, определится из условия:

или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:
,
откуда
(x_пр) (27)
Тогда экстремальное значение M_пр будет равно:
 (28)
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение M_оп) или при x = x_пр (значение M_пр).
Значение M_оп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:

 (29)
7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки M_оп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления M_жз:
æ  (30)
Значение изгибающего момента M_жз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:
, (31)
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ (32)

Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:
 (33)
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов А^I и С^I при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:
 (34)
 (35)
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления M_оп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:
 (36)
 (37)

А значение координаты (x_пр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр в соответствии с формулой (27) определится выражением:
 (38)
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
,
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:
 (39)
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:
 (40)
и в районе упругой заделки (при x = L):

 (41)
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение

9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)
;
,
а координата (x_пр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр в соответствии с формулой (27) будет равна:

или в безразмерном относительном виде:
0.383
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки M_пр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления M_оп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:

M_пр =M(260,8)  - 755359 кг*с*см
 1194621 кг*с*см
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = - 5791 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 9305 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента M_пр в пролёте балки имеет нулевое значение:
,00 Н.