Курсовая на тему Расчет параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленными концами
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-12-12Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
«Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами»
SHAPE \* MERGEFORMAT 
Дано:
L = 7,9 м = 790 см.
q0 = 33,3 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 7800 см4
æ = 0.94
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
, (2)
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII (0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
(6)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJWIV (x) = q 0 , (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
( 8)
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:
(9)
(10)
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что WII(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
(13)
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:
(14)
или 
,
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
(15)
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:
(16)
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
(17)
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:
; (18)
, (19)
где: Δ0 – определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:
ΔА - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:
ΔС - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:
Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
,
которые после несложных преобразований примут вид:
Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
(20)
(21)
в которых введены обозначения:
(22)
(23)
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:
5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
(24)
6. Значения изгибающих моментов M(x) , действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:
или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
(25)
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):
(26)
Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия: 
или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:
,
Откуда (xпр) 
(27)
Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:
(28)
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).
Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:
(29)
7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:
æ 
(30)
Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:
, (31)
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ 
(32)
Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:
(33)
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:
(34)
(35)
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:
(36)
(37)
А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:
(38)
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
,
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:
(39)
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:
(40)
и в районе упругой заделки (при x = L ):
(41)
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение
9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)
;
,
а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:
или в безразмерном относительном виде:
0.3825
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр =M(302,175) 
-3040614,03 кг*с*см
2441947,28 кг*с*см
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = - 10062,43 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 16244,57 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение:
,00 Н.
Приведенные в таблице 1 числовые значения позволяют построить эпюры, показывающие характер распределения по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки таких параметров, как прогиб балки w(х) и действующие на балку изгибающие моменты М(х) и перерезывающие силы N(x).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Дано:
L = 7,9 м = 790 см.
q0 = 33,3 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 7800 см4
æ = 0.94
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII (0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJWIV (x) = q 0 , (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что WII(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:
или
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:
где: Δ0 – определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:
ΔА - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:
ΔС - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:
Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
которые после несложных преобразований примут вид:
Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
в которых введены обозначения:
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:
5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
6. Значения изгибающих моментов M(x) , действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:
или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):
Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия:
или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:
Откуда (xпр)
Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).
Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:
7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:
æ
Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ
Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:
А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:
и в районе упругой заделки (при x = L ):
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение
9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)
а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:
или в безразмерном относительном виде:
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр =M(302,175)
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = - 10062,43 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 16244,57 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение:
Приведенные в таблице 1 числовые значения позволяют построить эпюры, показывающие характер распределения по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки таких параметров, как прогиб балки w(х) и действующие на балку изгибающие моменты М(х) и перерезывающие силы N(x).
| L | wx) | M(x) | N(x) |
| 0 | 0 | 0 | -5680 |
| 0,05 | 0,4842 | -207206 | -4807,39 |
| 0,1 | 0,9418 | -379930 | -3934 |
| 0,15 | 1,3503 | -518172 | -3062 |
| 0,2 | 1,6917 | -621933 | -2189 |
| 0,25 | 1,9525 | -691213 | -1316 |
| 0,3 | 2,1238 | -726011 | -443 |
| 0,35 | 2,2009 | -726327 | 430 |
| 0,4 | 2,1840 | -692162 | 1303 |
| 0,45 | 2,0775 | -623515 | 2176 |
| 0,5 | 1,8904 | -520387 | 3049 |
| 0,55 | 1,6362 | -382777 | 3922 |
| 0,6 | 1,3328 | -210686 | 4795 |
| 0,65 | 1,0028 | -4114 | 5668 |
| 0,7 | 0,6730 | 236941 | 6541 |
| 0,75 | 0,3750 | 512476 | 7414 |
| 0,8 | 0,1448 | 822494 | 8286 |
| 0,85 | 0,0228 | 1166992 | 9159 |
| 0,9 | 0,0539 | 1545973 | 10032 |
| 0,95 | 0,2876 | 1959435 | 10905 |
| 1 | 0,7779 | 2407378 | 11778 |
