Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007

Содержание
  ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;
 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
 - пустое множество;
 - множество всех  для которых выполняется условие ;
 - множество всех натуральных чисел;
 - множество всех простых чисел;
 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;
 - дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число - любое число вида ;
Пусть  - группа. Тогда:
 - порядок группы ;
 - порядок элемента  группы ;
 - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
 - множество всех простых делителей порядка группы ;
 - множество всех различных простых делителей натурального числа ;
-группа - группа , для которой ;
-группа - группа , для которой ;
 - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
 - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
 - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
 - -ый коммутант группы ;
 - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
 - -холловская подгруппа группы ;
 - силовская -подгруппа группы ;
 - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
 - группа всех автоморфизмов группы ;
 -  является подгруппой группы ;
 -  является собственной подгруппой группы ;
 -  является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
 -  является нормальной подгруппой группы ;
 - подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;
 - индекс подгруппы  в группе ;
;
 - централизатор подгруппы  в группе ;
 - нормализатор подгруппы  в группе ;
 - центр группы ;
 - циклическая группа порядка ;
 - ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в .
Если  и  - подгруппы группы , то:
 - прямое произведение подгрупп  и ;
 - полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;
 -  и  изоморфны.
Группа  называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
 - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу  называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы  нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы  такая, что  нильпотентна.
разрешимой, если существует номер  такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .
Минимальная нормальная подгруппа группы  - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы  - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
 - цоколь группы .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
 - класс всех групп;
 - класс всех абелевых групп;
 - класс всех нильпотентных групп;
 - класс всех разрешимых групп;
 - класс всех -групп;
 - класс всех сверхразрешимых групп;
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть  - некоторый класс групп и  - группа, тогда:
 - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  - формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  - формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и .
Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .
Произведение формаций  и  состоит из всех групп , для которых , т.е. .
Пусть  - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется -абнормальной, если .
Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .
Пусть  - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы  называют порядок главного фактора , где  и , и обозначают символом .
Пусть  - группа и  - различные простые делители порядка группы . Тогда группа  называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что  - силовская -подгруппа группы  и подгруппа  нормальна в  для всех .

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа  группы  квазинормальна в , если  перестановочна с любой подгруппой из  (т.е.  для всех подгрупп  из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы  имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно, что если подгруппа  группы  нормальна в , то в  всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие  является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа  является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию  . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию  были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.
В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.
Определение. Подгруппа  группы  называется слабо квазинормальной в  подгруппой, если существует такая подгруппа  группы , что  и ,  - квазинормальные в  подгруппы.
Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.
Пример. Пусть
,
где . И пусть , . Тогда  и . Пусть  - группа простого порядка 3 и , где  - база регулярного сплетения . Поскольку ,  и  - модулярная группа, то  квазинормальна в  и поэтому подгруппа  слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа  является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа  группы  называется слабо нормальной в  подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа  группы , что  и .
Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть  - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) Пусть  - нормальная в  подгруппа. Тогда  слабо нормальная подгруппа в группе  тогда и только тогда, когда  - слабо нормальная подгруппа в группе .
(2) Если  - слабо нормальная в  подгруппа, то  - слабо нормальная в  подгруппа.
(3) Пусть  - нормальная в  подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в  подгрупп  таких, что ,  - слабо нормальная подгруппа в группе .
Доказательство. (1) Пусть  - слабо нормальная в  подгруппа и  - такая квазинормальная в  подгруппа, что


Тогда ,  - квазинормальная в  подгруппа и . Значит,  - слабо нормальная в  подгруппа.
Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в  подгруппы  мы имеем  и


Ясно, что

Поскольку

то

и  - квазинормальные в  подгруппы. Следовательно,  - слабо нормальная в  подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3) Пусть  - слабо нормальная подгруппа в группе  и  - квазинормальная в  подгруппа такая, что  и . Ясно, что  и

Значит,  слабо нормальна в  и ввиду (1),  - слабо нормальная в  подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа  разрешима тогда и только тогда, когда , где ,  - подгруппы группы  такие, что каждая максимальная подгруппа из  и каждая максимальная подгруппа из  слабо нормальны в .
Пусть  - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1)  - разрешима;
(2) , где ,  - подгруппы группы  такие, что каждая максимальная подгруппа из  и каждая максимальная подгруппа из  слабо квазинормальны в ;
(3) , где ,  - подгруппы группы  такие, что каждая максимальная подгруппа из  и каждая максимальная подгруппа из  слабо нормальны в .
Группа  метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа   -квазинормальна в ,  - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в .
Доказательство. Допустим, что , где  - -квазинормальна в ,  - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в . Покажем, что группа  метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1)  не является нильпотентной группой.
Предположим, что  нильпотентна. Так как ввиду леммы  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??)(3),  субнормальна, то  содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе  из  по лемме  GOTOBUTTON GEQ158  REF GEQ158  \* MERGEFORMAT (??)(2). Тогда

нильпотентна и поэтому  метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы  доказывает (1).

(2) .
Допустим, что . Тогда ввиду леммы  GOTOBUTTON GEQ189  REF GEQ189  \* MERGEFORMAT (??),  нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).
(3) Если  - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то  метанильпотентна.
Пусть  - -группа и  - силовская -подгруппа в . Тогда  и поэтому по лемме  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??) каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в . Поскольку по лемме  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??),   -квазинормальна в ,


то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы ,  метанильпотентна.
(4) Условия теоремы справедливы для  (это проямо следует из леммы  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??)).
(5)  разрешима.
Если , то  метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы  из  мы имеем . Тогда ввиду (3),  разрешима. Пусть теперь  для каждой силовской подгруппы  группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из  имеет квазинормальной дополнение в  и поэтому  нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы  доказывает (5).
(6) В группе  имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .
Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда  абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3),  метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см.  GOTOBUTTON GEQ156  REF GEQ156  \* MERGEFORMAT [??]), то  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .

(7) Если   -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .
Пусть  - силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию,  слабо нормальна в  и поэтому  имеет квазинормальную подгруппу , такую что  и

Заключительное противоречие.
Пусть  - силовская -подгруппа в  и . Тогда

По условию  имеет квазинормальную подгруппу , такую что  и

Тогда


и поэтому  - дополнение для  в , которое является квазинормальной в  подгруппой. Если  - -подгруппа из , где , то ввиду (7),  имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы  GOTOBUTTON GEQ223  REF GEQ223  \* MERGEFORMAT (??)). Тогда по лемме  GOTOBUTTON GEQ223  REF GEQ223  \* MERGEFORMAT (??),  нильпотентна и поэтому  метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .
Обратно, предположим, что  метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда  имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть  - произвольная минимальная нормальная подгруппа в  и  - подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда  слабо нормальна в  и поэтому по лемме  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??)(1),  слабо нормальна в , противоречие. Значит,  и поэтому

Так как по условию  метанильпотентна и  - силовская подгруппа в , то  имеет нормальное дополнение  в . Но поскольку  и  - -группы, то  - нормальное дополнение для  в . Следовательно,  слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в .
Пусть  - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1)  - метанильпотентна;
(2) , где подгруппа  субнормальна в ,  - абелева холлова подгруппа в  и каждая силовская подгруппа из  слабо квазинормальна в ;
(3) , где подгруппа   -квазинормальна в ,  - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в .
Пусть , где подгруппа   -квазинормальна в ,  нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из  слабо нормальна в . Тогда  сверхразрешима.
Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Каждая собственная подгруппа  группы , содержащая , сверхразрешима.
Пусть , где . Тогда

где  нильпотентна и   -квазинормальна в . Так как по лемме  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??)(2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из  слабо нормальна в  и , то по выбору группы  мы имеем (1).
(2) Пусть  - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что   -группа. Допустим, что  содержит силовскую -подгруппу  из , или  циклична, или . Тогда  сверхразрешима.
Если , то

нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где   -квазинормальна в  и  нильпотентна. Пусть  силовская -подгруппа из  и  - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть  - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что  - силовская -подгруппа группы . Значит,  для некоторой силовской -подгруппы  из . Предположим, что  не является циклической подгруппой. Тогда  не циклична. Покажем, что  слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??). Допустим, что либо силовская -подгруппа  из  циклическая, либо . Тогда . Покажем, что  - максимальная в  подгруппа. Так как  и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы  из  мы имеем

где

Тогда

Так как  - максимальная в  подгруппа, то либо , либо . Если , то

что противоречит выбору подгруппы . Значит,  и поэтому мы имеем


противоречие. Следовательно,  - максимальная в  подгруппа и по условию  слабо нормальна в . Значит,

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .
(3)  и  сверхразрешима.
По выбору группы ,  и поэтому  сверхразрешима согласно (1).
(4)  - разрешимая группа.
По условию   -квазинормальна в  и поэтому по лемме  GOTOBUTTON GEQ158  REF GEQ158  \* MERGEFORMAT (??)(3),  содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе  группы . Так как группа  нильпотентна, то  разрешима.
(5) Если  - простое число и , то .
Пусть . Тогда ввиду (2),  сверхразрешима. Если  - множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме  GOTOBUTTON GEQ158  REF GEQ158  \* MERGEFORMAT (??)(1), , где  - нормальная -подгруппа группы  и поэтому

сверхразрешима. Но тогда

сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы  доказывает (5).

(6) .
Допустим, что . Тогда по лемме  GOTOBUTTON GEQ189  REF GEQ189  \* MERGEFORMAT (??),  нильпотентна. Пусть  - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??)(3)  субнормальна в , то  субнормальна в . Тогда , согласно лемме  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??)(1). Но тогда ввиду (2),  сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как  и

нильпотентно, то  - силовская -подгруппа из . Пусть  - холлова -подгруппа из  и . По лемме  GOTOBUTTON GEQ190  REF GEQ190  \* MERGEFORMAT (??),  нормальна в  и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда  нормальна в  и поэтому  - нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно,  и поэтому . Согласно теореме  GOTOBUTTON GEQ140  REF GEQ140  \* MERGEFORMAT (??),  сверхразрешима и поэтому  - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы  GOTOBUTTON GEQ192  REF GEQ192  \* MERGEFORMAT (??). Но тогда  - абелева группа экспоненты, делящей  и поэтому  сверхразрешима, согласно леммы  GOTOBUTTON GEQ192  REF GEQ192  \* MERGEFORMAT (??). Полученное противоречие с выбором группы  доказывает (6).
Заключительное противоречие.
Пусть  - минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть  - -группа и  - силовская -подгруппа группы . В силу (2),  сверхразрешима и поэтому  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что  и . Значит, по лемме  GOTOBUTTON GEQ185  REF GEQ185  \* MERGEFORMAT (??) для некоторой максимальной подгруппы  из  мы имеем . Ясно, что  и поэтому по условию  имеет дополнение  в , которое является квазинормальной в  подгруппой. Тогда

и поэтому . Но тогда

и поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5),  имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??)(3),  субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы  содержится в . Следовательно,  - -группа. Отсюда следует, что

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Группа  дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа  квазинормальна в ,  дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы  слабо нормальна в .
Доказательство. Пусть , где подгруппа  квазинормальна в ,  дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы  слабо нормальна в . Покажем, что группа  дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Каждая собственная подгруппа  группы , содержащая , дисперсивна по Оре.
Пусть , где . Тогда

где  дисперсивна по Оре и  квазинормальна в . Так как по лемме  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??)(2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из  слабо нормальна в  и , то по выбору группы  мы имеем (1).
(2) Пусть  - неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо  содержит силовскую -подгруппу  из , либо  циклична, либо . Тогда  дисперсивна по Оре.
Если , то

дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где  квазинормальна в  и  дисперсивна по Оре. Пусть  силовская -подгруппа из  и  - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть  - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что  - силовская -подгруппа группы . Значит,  для некоторой силовской -подгруппы  из . Предположим, что  не является циклической подгруппой. Тогда  не циклична. Покажем, что  слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы  GOTOBUTTON GEQ258  REF GEQ258  \* MERGEFORMAT (??). Допустим, что либо силовская -подгруппа  из  циклическая, либо . Тогда . Покажем, что  - максимальная в  подгруппа. Так как  и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы  из  мы имеем

где

Тогда

Так как  - максимальная в  подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит,  и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно,  - максимальная в  подгруппа и по условию  слабо нормальна в . Значит,

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .
(3) Если  - простое число и , то .
Пусть

Тогда ввиду (2),  дисперсивна по Оре. С другой стороны, если  - множество всех простых делителей , то ввиду леммы  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??)(3) и леммы  GOTOBUTTON GEQ158  REF GEQ158  \* MERGEFORMAT (??), , где  - нормальная -подгруппа в  и поэтому

дисперсивна по Оре. Но тогда

дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).
(4)  разрешима.
По условию  квазинормальна в  и поэтому ввиду леммы  GOTOBUTTON GEQ187  REF GEQ187  \* MERGEFORMAT (??)(3) и леммы  GOTOBUTTON GEQ158  REF GEQ158  \* MERGEFORMAT (??),  содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе  группы . Так как

дисперсивна по Оре, то  разрешима.
(5) .
Предположим, что . Тогда согласно лемме  GOTOBUTTON GEQ189  REF GEQ189  \* MERGEFORMAT (??),  нильпотентна. Пусть  - силовская -подгруппа группы . Поскольку  субнормальна в , то  субнормальна в . Значит, по лемме  GOTOBUTTON GEQ158  REF GEQ158  \* MERGEFORMAT (??), . Но ввиду (2),  дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть  - наименьший простой делитель . Тогда  имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что  и . Пусть  - наибольший простой делитель ,  - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1),  нормальна в  и поэтому . Если , то  - силовская -подгруппа группы  и поэтому  дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что  дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда   -группа. Пусть  - силовская -подгруппа в . Тогда  - силовская -подгруппа в . Поскольку  - подгруппа группы  и ввиду (1),  дисперсивна по Оре, то . Так как  дисперсивна по Оре, то  и поэтому . Следовательно, группа  дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).
Заключительное противоречие.
Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть  - -группа и  - силовская -подгруппа группы . Ввиду (2),  дисперсивна по Оре. Пусть  - наименьший простой делитель . Тогда  имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что  и . Пусть  - наибольший простой делитель ,  - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1),  нормальна в  и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда   -группа. Значит,  и поэтому  дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заключение
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны в группе . Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.
Основные результаты данной работы:
- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;
- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;
- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;
- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.

Литература
1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков, М.Т. О -разрешимости конечной группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Го Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
4.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
6.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.
7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.
8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82.
9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.
10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.