Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации  сверхразрешимых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-32
____________ Лякишева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2007

Содержание
  Перечень условных обозначений
Введение
Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации  сверхразрешимых групп
Заключение
Литература

Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;
 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
 --- пустое множество;
 --- множество всех , для которых выполняется условие ;
 --- множество всех простых чисел;
 --- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
 --- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида ;
 --- множество всех целых положительных чисел.
 --- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .
Запись  означает, что  предшествует  в упорядочении , .
Пусть  --- группа. Тогда:
 --- порядок группы ;
 --- порядок элемента  группы ;
 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
 --- множество всех простых делителей порядка группы ;
 --- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
--группа --- группа , для которой ;
--группа --- группа , для которой ;
 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
 --- коммутант группы ;
 --- --холловская подгруппа группы ;
 --- силовская --подгруппа группы ;
 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;
 --- группа всех автоморфизмов группы ;
 ---  является подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
 ---  является нормальной подгруппой группы ;
 --- подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;
 --- индекс подгруппы  в группе ;
;
 --- централизатор подгруппы  в группе ;
 --- нормализатор подгруппы  в группе ;
 --- центр группы ;
 --- циклическая группа порядка ;
Если  и  --- подгруппы группы , то:
 --- прямое произведение подгрупп  и ;
 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы .
Группа  называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
Группу  называют --нильпотентной, если .
Группу  порядка  называют --дисперсивной, если выполняется  и для любого    имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение  таково, что  всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь  называется -цепью (с индексами ); если при этом  является максимальной подгруппой в  для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.
Ряд подгрупп  называется:
субнормальным, если  для любого ;
нормальным, если  для любого .
Нормальный ряд называется главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
 --- класс всех групп;
 --- класс всех абелевых групп;
 --- класс всех нильпотентных групп;
 --- класс всех разрешимых групп;
 --- класс всех --групп;
 --- класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть  --- некоторый класс групп и  --- группа, тогда:
 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и . Класс групп  называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .
Пусть  --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется:
-нормальной, если ;
-абнормальной, если .
Максимальная -цепь  называется -субнормальной, если для любого  подгруппа   -нормальна в . Подгруппа  группы  называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.
Группа  называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп  и  группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе  существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в  подгрупп плотно.
 

Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп  удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп  из , где  не максимальна в , найдется -подгруппа  такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа  является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что  является -нормальной максимальной подгруппой в  для любого . Если  совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если  --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда  --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
 

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации  сверхразрешимых групп
Пусть  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп,  --- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. Предположим, что  не -дисперсивна, где  таково, что  равносильно . Так как  --- формация -дисперсивных групп, то, по лемме  GOTOBUTTON GEQ211  REF GEQ211  \* MERGEFORMAT (??), лемма верна. Пусть теперь   -дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме  GOTOBUTTON GEQ146  REF GEQ146  \* MERGEFORMAT (??). Лемма доказана.
Пусть  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация сверхразрешимых групп,  --- несверхразрешимая -группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда  --- группа одного из следующих типов:
1)  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой , ;
2) , где ,  содержит такую абелеву подгруппу , нормальную в , что  --- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в  максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа  сверхразрешима, где  --- любая максимальная подгруппа из ;
3) , ,  --- минимальная нормальная подгруппа группы , подгруппа , где  --- произвольная максимальная подгруппа из , является либо сверхразрешимой, либо минимальной не -группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
4) , , где  --- минимальная нормальная подгруппа группы , , подгруппа ,  является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
5) , ,  --- минимальная нормальная подгруппа из ,  --- абелева группа,  и  --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где  --- произвольная максимальная подгруппа из ;
6) , , где ,  --- минимальные нормальные подгруппы группы , ,  --- минимальная несверхразрешимая группа;
7) , ), где  --- минимальная нормальная подгруппа группы ,  сверхразрешима, подгруппа , где  --- произвольная максимальная подгруппа группы , либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;
8) ,  и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , ,  со следующими свойствами: ,  --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы  и  принадлежат , где  --- максимальная подгруппа из ,  --- максимальная подгруппа из ;
9) ,  и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , ,  со следующими свойствами:  сверхразрешима,  --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, , где  --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо  и  является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, , где  --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо  и  является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.
Доказательство. По лемме, группа  разрешима. Если группа  не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа  дисперсивна по Оре.
1. Рассмотрим вначале случай , где  и  --- различные простые числа. По лемме в группе  любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.
1.1. Пусть в  имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме,  является минимальной несверхразрешимой группой и  --- абелева группа. Так как , то либо , либо . Если предположить, что , то  и . Поэтому  немаксимальна в  и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), . Противоречие. Значит, ,  и . Из того, что группа дисперсивна по Оре,  и , следует, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Ясно, что  и, значит,  сверхразрешима. Следовательно,   -субнормальна в  и в , где  --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа  сверхразрешима. Итак, в данном случае  --- группа типа 2) из данной теоремы.
1.2. Пусть теперь в  все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,  --- -группа. По лемме, либо  --- максимальная подгруппа в , либо  --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе  группы .
Пусть вначале  максимальна в . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если   -субнормальна в , то, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), . Предположим, что  не -субнормальна в . Тогда  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Так как , то . Если , то, согласно лемме,  --- минимальная не -группа. Пусть . Тогда  и . Применяя теорему Машке, получаем, что  и . Если , то . Противоречие. По лемме,  --- минимальная несверхразрешимая группа. Если  --- произвольная максимальная подгруппа из , то, ввиду леммы,   -субнормальна в . Применяя теорему, получаем, что подгруппа . Значит,  --- группа типа 2) из данной теоремы, а  --- группа типа 3) из данной теоремы.

Пусть теперь  немаксимальна в . Тогда, по лемме,  содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Тогда группа  представима в виде , где  --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы  имеет вид , где  --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), принадлежит формации . Получили, что группа  --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке  GOTOBUTTON GEQ173  REF GEQ173  \* MERGEFORMAT (??), . Ввиду следующего равенства  получаем противоречие с тем, что . Итак,  --- группа типа 1) из данной теоремы. Если же , то группа  имеет вид  и . Так как  максимальна в , то . Рассмотрим подгруппу . Если , то   -субнормальна в . Учитывая, что  дисперсивна по Оре, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), получаем, что . Противоречие. Каждая собственная подгруппа из  будет немаксимальна в  и, по лемме, -субнормальна в . Если  максимальна в , то  --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае  --- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что  не максимальна в , то она содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Получили, что  и . Это значит, что . Противоречие с тем, что  --- максимальная подгруппа в .
2. Рассмотрим случай , где ,  и  --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе  либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.
2.1. Предположим, что в  имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме,  является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что . Так как , то  и , . Применяя лемму и учитывая, что , получаем . Из того, что  разрешима, следует, что либо , либо  нормальна в . По теореме, в  существует подгруппа . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Предположим, что . Тогда  будет немаксимальна в  и, по условию, найдется -субнормальная подгруппа  такая, что . Ясно, что . Поэтому , а это значит, что   -субнормальна в . Тогда, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), . Это значит, что . Ясно также, что  и  максимальна в . Тогда  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой  --- абелева группа. Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Предположим, что . Так как либо , либо , то пусть для определенности . Из того, что , следует, что  и . Имеем  и  --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому . Значит, подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Пусть  --- произвольная подгруппа из , отличная от . Тогда, по условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Ясно, что . Поэтому . Отсюда следует, что   -субнормальна в . Предположим, что . Согласно лемме  GOTOBUTTON GEQ192  REF GEQ192  \* MERGEFORMAT (??),  --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае  --- группа типа 5). Пусть . Тогда , где  --- -группа. Если , то, ввиду леммы  GOTOBUTTON GEQ192  REF GEQ192  \* MERGEFORMAT (??),  --- минимальная несверхразрешимая группа. Если , то, применяя теорему  GOTOBUTTON GEQ184  REF GEQ184  \* MERGEFORMAT (??), получаем, что  --- циклическая группа. Противоречие. Предположим, что . Тогда . Подгруппа  самонормализуема в , так как в  и , подгруппа  является максимальной. Значит,  --- группа Фробениуса с ядром  и дополнительным множителем . По теореме  GOTOBUTTON GEQ179  REF GEQ179  \* MERGEFORMAT (??), . Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда . По теореме Машке  GOTOBUTTON GEQ173  REF GEQ173  \* MERGEFORMAT (??),  и . Отсюда получаем, что  и . Противоречие. Значит, . Если , то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что  либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак,  --- группа типа 5) из данной теоремы.
Пусть теперь  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Так как , то ,  и . Предположим, что . По теореме  GOTOBUTTON GEQ182  REF GEQ182  \* MERGEFORMAT (??), в  существует подгруппа , содержащая . Так как , то  и  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Предположим, что . Применяя лемму, получаем, что , а значит, . Подгруппа  немаксимальна в , так как ,  и . По условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Отсюда следует, что   -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Итак,  --- минимальная несверхразрешимая группа. Так как , то . Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в  нет -абнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак, ,  и . Ясно, что  и . Ввиду того, что группа  дисперсивна по Оре, получаем, что  --- наибольший простой делитель  и , а значит, . Из  следует, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в  существует такая -субнормальная подгруппа  такая, что . Ясно, что . Поэтому  сверхразрешима. Отсюда следует, что   -субнормальна в , где  --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа  сверхразрешима. Следовательно,  --- группа типа 2) из данной теоремы.
2.2. Пусть теперь в  все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме  --- -группа. По лемме либо  --- максимальная подгруппа в , либо  --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе  группы .
Пусть  максимальна в . Так как , то . Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае  группа типа 7) из данной теоремы.
Предположим теперь, что  не максимальна в . Тогда , где  --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы  имеет вид , где  --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??) принадлежит формации . Получили, что группа  --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке, . Ввиду следующего равенства  получаем противоречие с тем, что . Итак,  --- группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь . В этом случае . Так как , то . Согласно лемме  GOTOBUTTON GEQ191  REF GEQ191  \* MERGEFORMAT (??), подгруппы  и  будут -субнормальны в . Очевидно, что , . Поэтому  и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Если , то  --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда , где  --- -группа и . Так как , то  --- элементарная абелева группа. Значит,  и  --- минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно,  --- группа типа 6) из данной теоремы.
3. Рассмотрим случай , где , ,  и  --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе  либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.
3.1. Предположим, в  имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме,  является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как , то  и , . Отсюда получаем, что  и . Применяя леммы и получаем, что . Рассмотрим подгруппу . Такая группа существует согласно теореме  GOTOBUTTON GEQ182  REF GEQ182  \* MERGEFORMAT (??). Так как , то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Если , то  и, согласно лемме, . Подгруппа  немаксимальна в . Поэтому, по лемме  GOTOBUTTON GEQ191  REF GEQ191  \* MERGEFORMAT (??),   -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Следовательно,  и, согласно лемме,  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой  является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что  и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  циклическая согласно теореме. Поэтому  --- абелева группа. Так как , то . Аналогично получаем, что коммутантом группы . является . Пусть . Легко видеть, что  сверхразрешима. Ввиду теоремы, . Так как  и , то  и . Отсюда получаем, что . Значит,  и . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в  существует -субнормальная максимальная подгруппа  такая, что . Ясно, что . Поэтому  принадлежит  и -субнормальна в . Применяя теорему, получаем . Так как  и  --- циклические группы, согласно теоремы, то в  два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы  и , где  --- максимальная подгруппа из ,  --- максимальная подгруппа из . Значит, подгруппы вида  и  принадлежат , и  --- группа типа 8) из данной теоремы.
3.2. Пусть теперь в  все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,  --- -группа. По лемме, либо  --- максимальная подгруппа в , либо  максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе  группы .
Предположим, что  --- максимальная подгруппа в . В  существует максимальная подгруппа , не -субнормальная в  и . Рассмотрим подгруппу . Так как  и , то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Если , то, по лемме  GOTOBUTTON GEQ192  REF GEQ192  \* MERGEFORMAT (??),  --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Если , то, по лемме  GOTOBUTTON GEQ213  REF GEQ213  \* MERGEFORMAT (??),  --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что . Тогда , ввиду леммы. Подгруппа , поэтому, согласно теоремы Машке,  и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  будет минимальной нормальной подгруппой группы , в противном случае в  существует минимальная нормальная подгруппа , для которой  и . Применяя лемму, получаем, что  --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в  существует подгруппа  такая, что  --- минимальная несверхразрешимая группа. Значит, ,  и  --- циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы  GOTOBUTTON GEQ184  REF GEQ184  \* MERGEFORMAT (??). По доказанному выше,  может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если  --- группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа из   -субнормальна в ,  --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа  --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.
Так как подгруппа  максимальна в  и , то  и . Из того, что все силовские подгруппы из  циклические, следует, что в  всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как  и  --- циклическая группа, то максимальная подгруппа  из  нормальна в . Подгруппа  максимальна в . Рассмотрим теперь подгруппу . Если , то . Если предположить, что , то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Если , то  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда  максимальна в , причем  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, . Пусть . Тогда  и, согласно доказанному выше,  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.
Пусть , где  --- максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если , то  и, по доказанному,   -субнормальна в . По теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), . Пусть . Тогда  и, согласно доказанному выше,  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.
Подгруппа ,  и  циклические, поэтому в  три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в  три класса -нормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы: ,  и . Группа  в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.
Пусть теперь  не максимальна в . Тогда , где . Если , то  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда . Ввиду дисперсивности группы   . Пусть  --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа. Если  --- -число, то  сверхразрешима. Предположим, что  --- степень . Тогда .  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Если , то  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Значит, . Подгруппа  максимальна в , так как в противном случае  сверхразрешима. По лемме  GOTOBUTTON GEQ192  REF GEQ192  \* MERGEFORMAT (??)  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак,  сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора , получаем, что  --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие.
4. Рассмотрим случай . Согласно лемме в группе   -абнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в  имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа , то  и, ввиду разрешимости группы , . Противоречие. Пусть теперь в  все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,  --- -группа. По лемме, либо  --- максимальная подгруппа в , либо  --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Если  немаксимальна в , то, по доказанному выше, . Остается случай, когда  --- максимальная подгруппа в . В этом случае  и в  найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Рассмотрим подгруппу . . Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа из   -субнормальна в . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Если , то, по лемме,  --- минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит,  и  максимальна в . По лемме,  --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Противоречие. Теорема доказана.
В случае, когда  --- формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.
Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где  --- формация всех сверхразрешимых групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда  является холловой -абнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число , и холлова -подгруппа  группы  сверхразрешима, утверждается, что холлова -подгруппа из  не максимальна в , что в общем случае не верно.

Заключение
В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случаях, когда  --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы  и  такие, что ,  не максимальна в , и из  всегда следует, что  не -субнормальна в .

Литература
1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.
3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.
4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.
6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.
7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.
8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.
9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.
10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.
11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.
12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.
13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.