Многие крупные проекты, такие как строительство дома, изготовление станка, разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета и т.д., можно разбить на большое количество различных операций (работ). Некоторые из этих операций могут выполняться одновременно, другие — только последовательно: одна операция после окончания другой. Например, при строительстве дома можно совместить во времени внутренние отде­лочные работы и работы по благоустройству территории, однако возводить стены можно только после того, как будет готов фундамент.
Задачи планирования работ по осуществлению некоторого проекта состоят в определении времени возможного окончания как всего проекта в целом, так и отдельных работ, образующих проект; в определении резервов времени для выполнения отдельных работ; в определении критических работ, то есть таких работ, задержка в выполнении которых ведет к задержке выполнения всего проекта в целом; в управлении ресурсами, если таковые имеются и т.п.
Пусть некоторый проект W состоит из работ V₁,...,V_n; для каждой работы V_k, известно, или может быть достаточно точно оценено время ее выполнения t(V_k). Кроме того, для каждой работы V_k известен, возможно пустой, список ПРЕДШ(V_k) работ, непосредственно предшествующих выполнению работы V_k. Иначе говоря, работа V_k может начать выполняться только после завершения всех работ, входящих в список ПРЕДШ(V_k).
Для удобства, в список работ проекта W добавим две фиктивные работы s и p, где работа s обозначает начало всего проекта W. а работа p — завершение работ по проекту W. При этом будем считать, что работа s предшествует всем тем работам vÎW, для которых список ПРЕДШ(v) пуст, иначе говоря, для всех таких работ vÎW  положим  ПРЕДШ(v)={s}.  Положим далее ПРЕДШ(s) =Æ, ПРЕДШ(p)={vÎW: v не входит ни в один список ПРЕДШ(w)}, то есть считаем, что работе p предшествуют все те работы, которые могут выполняться самыми последними. Время выполнения работ s и p естественно положить равными нулю:   t(s)=t(p)=0.
Весь проект W теперь удобно представить в виде сети G=(V,E,c). Ориентированный взвешенный граф G=(V,E,c) называется сетью. Сеть может быть представлена матрицей весов дуг, массивами смежностей СЛЕД или ПРЕДШ, или списками СЛЕД[v] или ПРЕДШ[v]. При этом записи в списках смежности состоят из трех компонент: поля имени узла, поля веса соответствующей дуги и поля ссылки на следующую запись), где сеть G=(V,E,c) определим по правилам:
1.                      V=W, то есть множеством узлов объявим множество работ;
2.                      E={(v,w) : vÎПРЕДШ(w)}, то есть отношение предшествования задает дуги в сети;
3.                      c(v,w)=t(w).
Так построенную сеть G часто называют сетевым графиком выполнения работ по проекту W. Легко видеть, что списки смежностей этой сети ПРЕДШ[v] совпадают с заданными для проекта списками предшествующих работ ПРЕДШ(v).
Понятно, что сетевой график любого проекта не должен содержать контуров. Действительно, пусть узлы V_k1,V_k2,...,V_kr=V_k1 образуют контур в сети G. Это означает, что работа V_k2 не может на­чаться раньше, чем будет завершена работа V_k1, работа V_k3 — раньше, чем завершится работа V_k2, и т.д., и, наконец, V_kr = V_k1 — раньше, чем будет завершена работа V_kr-1. Но тогда никакая из работ V_k1,...,V_kr никогда не сможет быть выполнена. А каждый реальный проект должен допускать возможность его завершения. Следовательно, в сетевом графике нет контуров.
Отсутствие контуров в сети G позволяет пронумеровать работы проекта W таким образом, чтобы для каждой дуги (V_i,V_j) сети G выполнялось условие i<j, то есть каждая дуга идёт из узла с меньшим номером в узел с большим номером. Осущест­вить такую нумерацию узлов сети G можно с помощью алгоритма топологической сортировки. Поэтому в дальнейшем будем считать, что узлы в сети G топологически отсортированы.
Конечной целью построения сетевой модели является получе­ние информации о возможных сроках выполнения как отдельных работ, так и о возможном сроке выполнения всего проекта в це­лом. Обозначим через PBЫП(v) (соответственно PHAЧ(v)) наиболее  ранний  возможный  срок  выполнения работы  v (соответственно наиболее ранний возможный срок начала работы v). Удобно считать, что PBЫП(s)=PHAЧ(s)=0. Поскольку на­чать выполнять работу v можно только после того, как будут выполнены все работы, предшествующие данной работе v, то получим следующие формулы для расчета значений PHAЧ(v) и PBЫП(w):
PHAЧ(v) = МАКС{PBЫП(w): wÎПРЕДШ(v)},
PBЫП(v)= PHAЧ(v) + t(v).
Значение PBЫП(p) дает наиболее ранний возможный срок завершения всего проекта в целом. Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики РНАЧ и РВЫП.
АЛГОРИТМ 1.
Данные: Сетевой график G работ V, заданный списками ПРЕДШ(v), vÎV.
Результаты: Наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), vÎV.
Шаг 1.                     Объявить возможные ранние сроки начала РНАЧ(v) и выполнения РВЫП(v) работ равными нулю. Текущей вершиной объявить первую вершину v_k=v_1.
Шаг 2.                     Всем вершинам v предшествующим текущей вершине v_k, значение РНАЧ(v_k) присвоить максимум из значений РВЫП(v) и РНАЧ(v_k). Значение РВЫП(v_k) положить равным значению РНАЧ(v_k) плюс время выполнения самой работы текущей вершины t(v_k).
Шаг 3.                     Если имеется следующая вершина (работа) после текущей, то объявить ее текущей вершиной v_k, иначе перейти в Шаг 5.
Шаг 4.                     Вернуться в Шаг 2.
Шаг 5.                     Выдать наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), vÎV, конец работы алгоритма.
 Пусть T — плановый срок выполнения проекта W. Ясно, что Т должно удовлетворять неравенству Т >= РВЫП(V_n+1).
Через ПВЫП(v) (соответственно ПНАЧ(v)) обозначим наиболее поздний допустимый срок выполнения (начала) работы v, то есть такой срок, который не увеличивает срок Т реализации всего проекта.
Значения возможных и допустимых сроков выполнения работ позволяют определить резервы времени для выполнения той или иной работы. Полный резерв (иногда его называют суммарный) времени выполнения работ определяется по формуле:
PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v).
Значение PE3EPB(v) равно максимальной задержке в выпол­нении работы v, не влияющей на плановый срок Т. Понятно, что справедливо и такое равенство: РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v).
Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Через любую такую работу проходит некоторый мак­симальный s-p-путь в сети G. Критические работы характеризуются тем, что любая задержка в их выполнении автоматически ведет к увеличению времени выполнения всего проекта.
Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики ПВЫП и ПНАЧ.
АЛГОРИТМ 2.
Данные: Сетевой график G работ V, заданный списками ПРЕДШ(v), vÎV, плановый срок окончания проекта – Т.
Результаты: Наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП(v) и ПНАЧ(v).
 
Шаг 1.                Объявить для всех работ vÎV значение наиболее позднего срока выполнения работ равным Т – значению планового срока окончание проекта и вершину v_p фиктивной работы p объявить текущей v_k.
Шаг 2.                Присвоить значение ПНАЧ текущей работы v_k равным значению ПВЫП работы и вычесть время выполнения текущей работы.
Шаг 3.                Присвоить значению ПВЫП(v) для всех работ vÎПРЕДШ(v) предшествующих текущей работе v_k минимальное значение из значений ПВЫП выполнения роботы v или ПНАЧ выполнения текущей работы v_k, если таковых нет перейти в Шаг 4.
Шаг 4.                Если имеется предыдущая вершина (работа) к текущей, то объявить её текущей, иначе перейти в Шаг 6.
Шаг 5.                Перейти в Шаг 2.
Шаг 6.                Выдать наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП(v) и ПНАЧ(v), конец работы алгоритма.

Проиллюстрируем работу приведенных алгоритмов на следующих примерах:
Пример 1: Проект  гаража для стоянки автопогрузчиков.

n	Наименование работы	Предшеству-ющие работы	Время вы-полнения t(vk)
1	Начало проекта (фиктивн. работа)	Нет	0
2	Срезка растительного слоя грунта	1	5
3	Монтаж каркаса	2	30
4	Обшивка стен профнастилом	3	15
5	Кровля из профнастила	3	12
6	Заполнение проема воротами	4	5
7	Масляная окраска ворот и профнастила	5,6	10
8	Щебёночное основание под полы	7	3
9	Асфальтовое покрытие	8	3
10	Уборка строительного мусора после строит.	7	3
11	Конец проекта (фиктивная работа)	9,10	0

Рис 1. Проект гаража для стоянки автопогрузчиков.
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений РНАЧ(v) и РВЫП(v), vÎV равными нулю. Текущая вершина vk=1.
2	Вершин предшествующей первой нет. РВЫП(1)=РНАЧ(1)+t(1). {РНАЧ(1) стало равным 0}
3	Текущая вершина vk=2.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+t(2) {РВЫП(2) стало равным 5}.
3	Текущая вершина vk=3.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+t(3) {РВЫП(3) стало равным 35}.
3	Текущая вершина vk=4.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 35} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+t(4) {РВЫП(4) стало равным 50}.
3	Текущая вершина vk=5.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 35} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+t(5) {РВЫП(5) стало равным 47}.
3	Текущая вершина vk=6.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 50} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+t(6) {РВЫП(6) стало равным 55}.
3	Текущая вершина vk=7.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47} РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 55} РВЫП(7)=РНАЧ(7)+t(7) {РВЫП(7) стало равным 65}.
3	Текущая вершина vk=8.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 65} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+t(8) {РВЫП(8) стало равным 68}.
3	Текущая вершина vk=9.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 68} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+t(9) {РВЫП(9) стало равным 71}.
3	Текущая вершина vk=10.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 65}
3	Текущая вершина vk=11.
4	Переход в Шаг 2.
2	РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}
3	Переход в Шаг 5.
5	Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ.

Таблица результатов работы алгоритма.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
РНАЧ(v)	0	0	5	35	35	50	55	65	68	65	71
РВЫП(v)	0	5	35	50	47	55	65	68	71	68	71

Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=71. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени  наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов.

Шаг n	Действия выполняемые шагом
1	Объявление значений ПВЫП(v), vÎV равным Т. Текущая вершина vk=11.
2	ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)-t(11) {ПНАЧ(11) стало равным 71}.
3	ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 71} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 71}
4	Текущая вершина vk=10.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 68}
3	ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(7) стало равным 68}
4	Текущая вершина vk=9.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)-t(9) {ПНАЧ(9) стало равным 68}
3	ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(8) стало равным 68}
4	Текущая вершина vk=8.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)-t(8) {ПНАЧ(8) стало равным 65}
3	ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(7) стало равным 65}
4	Текущая вершина vk=7.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)-t(7) {ПНАЧ(7) стало равным 55}
3	ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 55} ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 55}
4	Текущая вершина vk=6.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)-t(6) {ПНАЧ(6) стало равным 50}
3	ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 50}
4	Текущая вершина vk=5.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)-t(5) {ПНАЧ(5) стало равным 43}
3	ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 43}
4	Текущая вершина vk=4.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)-t(4) {ПНАЧ(4) стало равным 35}
3	ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 35}
4	Текущая вершина vk=3.
5	Переход в шаг 2.
2	ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)-t(3) {ПНАЧ(3) стало равным 5}
3	ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
4	Текущая вершина vk=2.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)-t(2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
3	ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
4	Текущая вершина vk=1.
5	Переход в Шаг 2.
2	ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)-t(1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
3	Переход в Шаг 4.
4	Переход в Шаг 6.
6	Конец работы алгоритма, выдача значений времени  наиболее позднего начала и выполнения работ.

Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v).

Работы	РНАЧ	РВЫП	ПНАЧ	ПВЫП	Резерв
1	0	0	0	0	0
2	0	16	0	16	0
3	16	26	16	26	0
4	0	32	18	50	32
5	26	47	26	47	0
6	47	52	47	52	0
7	47	61	50	64	3
8	47	57	54	64	10
9	52	59	52	59	0
10	59	64	59	64	0
11	59	64	64	64	0

Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=64.
Литература:
1. Асанов М. О. «Дискретная оптимизация», УралНАУКА, Екатеринбург 1998.