МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
Математический факультет
Кафедра алгебры и методики преподавания математики
Курсовая работа

СОДЕРЖАНИЕ
Ведение
1.Основные определения и теоремы
2.Смежные классы
2.1. Правые и левые смежные классы
2.2 Двойные смежные классы
3. Нормальные подгруппы и фактор-группы
3.1 Нормальные подгруппы
3.2 Фактор-группы
Заключение
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини (1799) и Абеля (1825).
В 1830–1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы. С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки, формулировали и доказывали теоремы.
Теория групп – один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Мозыря.
Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.
Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной математикой вообще.
Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы, доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором определена бинарная алгебраическая операция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:
1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется
a*(b*c)=(a*b)*c;
2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е. для любого a Î G найдется такой элемент e ,что выполняется
a*e=e*a=a
3) для любого элемента G существует симметричный элемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется
a*b=b*a=e;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то G называют циклической группой.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.
Тогда
áаñ ={e, a, a , … , a }
Кроме того, а = e в точности тогда, когда k делит m.
ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á а ñ для каждого натурального m.
ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы áаñ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами á а ñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.
ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h h H и h H.

2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
2.1 Правые и левые смежные классы
Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gÎG.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.
Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.
ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:
1) H=He;
2) gÎHg для каждого gÎG;
3) если a Î H, то Ha=H; если bÎ Ha , то Hb=Ha;
4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда ab ÎH;
5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;
6) если H – конечная подгруппа, то | Hg | = | H | для всех gÎG.
Доказательство
Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса
(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hÎH и ab = hÎH. Обратно, если ab ÎH, то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.
(5) Пусть Ha Ç Hb ≠Æ и c Î Ha Ç Hb. Тогда c= a= b и ab = ÎH. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).
(6) Для каждого gÎG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H | = | Hg |
Ч.т.д.
Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы G по подгруппе H .Итак, если T = {  | aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H в группе G, то G = , H Æ при .
Таким образом, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппой непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.
Если G – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе H также будет конечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G : H|. Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в правой трансверсали T подгруппы H, т.е.
|G : H|=|T|=|G|/|H|
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G : H |. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.
Доказательство.
Пусть индекс H в группе G равен n . По теореме 2.1.1. имеем разложение
G=Hg Hg Hg , Hg Hg Æ при i ≠ j.

Так как
| Hg | = |H| для всех i, то | G | = | H || G : H |
СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядок всей группы.
Доказательство
Порядок элемента a совпадает с порядком циклической подгруппы áаñ, порожденный этим элементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | á аñ | = | a | делит | G |.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы H в группе G. Если L={ l  | aÎ J } – левая трансверсаль подгруппы H в группе G, то
G= l H, l H Ç l H=Æ при .
Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G : H |=| L |. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1 .Поэтому из теоремы Лагранжа имеем
СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечной группы G по подгруппе H совпадают.
ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядка нет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит | G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе G и рассмотрим циклическую подгруппу áаñ, порожденную этим элементом. Так как a ≠ e ,то á аñ ≠ E, поэтому áаñ = G и G – циклическая группа.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤ G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в группе K, а S – правая трансверсаль подгруппы K в группе G, то TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. В частности, | G : H | = | G : K || K : H |.
Доказательство
Пусть
T={t , … ,t }, S={s , … , s }
Тогда
K=Ht . . . Ht , Ht Ht Æ, i ≠j;
G=Ks . . . Ks , Ks Ks Æ, i ≠j.
Теперь
G =( Ht . . . Ht )s . . .  ( Ht . . .  Ht )s . (2.1.1)
Предположим, что Ht s Ht s  для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда
t s (t s )  = t s s t ÎH ≤ K,
поэтому
s s Î t Kt  = K, K s =Ks

Но s  и s – элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s = s  и b = d. Теперь
t s (t s )  = t t ÎH, H t =Ht
и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то
|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |
Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.
2.3. Двойные смежные классы
Пусть H и K – подгруппы группы G и g Î G. Множество
HgK ={ hgk | h Î H, k Î K}
называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K
ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Каждый элемент gÎ G содержится в единственном двойном смежном классе HgK;
2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;
3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;
4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;
5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит
| K: H  K | правых смежных классов по H и | H : H K | левых смежных классов по К.
Доказательство.
(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то
g=ege Î HgK
Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk для некоторых hÎH, kÎK и
HgK=H(hxk)K=HxK.
(2) и (3) следуют из (1)
(4)Так как
HgK=  = ,
то утверждение (4) доказано.
Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK=  по подгруппе H. Допустим, что Hgk =Hgk . Тогда
Hg k k  = Hg и k k  Î g Hg K=H K

Справедливо и обратное, т.е. если k k Î H K, то
k k Î g Hg, g k k ÎHg, g k ÎHgk
и Hg k = Hgk . Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе H K.
Аналогично,
Hgk=  и h gK=h gK
тогда и только тогда, когда h h ÎH K . Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс
|H : H   K |
Произведение подгрупп. При g = e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH , kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.
Пример:
Найдем разложение симметрической группы S  в левые смежные классы по подгруппе .
Для этого найдем все левые смежные классы группы
S ={Î,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H= ={Î,(12)}
ÎH = Î{Î, (12)} = {Î, (12)} = H,
(12)H = (12) {Î, (12)} = {(12), Î} = H,
(13)H = (13) {Î, (12)} = {(13), (123)},
(23)H = (23) {Î, (12)} = {(23), (132)},
(123)H = (123){Î,(12)} = {(123),(13)} = (13)H,
(132)H = (132){Î,(12)} = {(132),(23)} = (23)
Искомое разложение принимает вид
S =ÎH (13) H (23) H.

3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ
3.1 Нормальные подгруппы
Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xÎG. Запись H  G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента h ÎH существует элемент h Î H такой, что xh = h x.
ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:
1) H – нормальная подгруппа группы G;
2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. h ÎH для всех hÎH и всех xÎG;
3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H  для всех xÎG.
Доказательство.
Доказательство проведем по схеме (1)  (2) (3) (4)
(1)  (2). Пусть H  G, т.е. xH=Hx для всех xÎG. Если h — произвольный элемент из H, то hx  Hx = xH. Поэтому существует элемент h H такой, что hx = x h .Теперь x hx = h  H.
(2)  (3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H  = {h  | h H} Í Í H для всех x G. В частности, Hx  Í H, т.е. xHx Í H. Теперь
H Í x Hx =H  и H = H  для всех x  G.
(3)  (1). Если H = H для всех x  G, то x Hx = H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.
Ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.
Если H G и h H, то h Í H. Обратно, если h Í H для всех h H, то H G.
Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £ K £ G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x  K.
Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.
ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.
3.2 Фактор-группы
Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x Î G}. Положим
(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)
Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = x H, yH = y H для некоторых x , y  Î G, то x  = xh, y  = =yg, h и g Î H. Поэтому
(x H)(y H) = x y H = (xh)(yg)H = xy(y hy)gH = xyH,
т.к. y hy ÎH по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.
Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на  и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент a H — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.
ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность  = {xH | x Î G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией
(xH)(yH) = xyH
образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)  = a H.
Группа  называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.
Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.
Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.
|G/H |=| G : H |=| G | / | H |
ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.
Доказательство.
Пусть G/Z(G) = á gZ(G)ñ циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = g z , b = g z , z , z Î Z(G), k, l Î Z

и
ab = g z g z  = g g z z  = g g z z  = g z g z  = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á аñ исчерпываются бесконечной циклической группой á аñ / E » á а ñ и конечными циклическими группами áaáа ñ ñ порядка m для каждого натурального числа m.
Доказательство.
По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = á а ñ, m Î N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.
Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a  | k Î Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов a M, k Î Z. Если два смежных класса совпадут a M = a M, то a ÎM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, a M, . , a M попарно различны. Кроме того, для любого a M Î A/M имеем:
t = mq + r, 0 ≤ r < m и a M = a a M = a M.
Таким образом,
A/M = {M, aM, a M, . . . , a M} = áaMñ,
т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.
ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáа ñ ñ порядка m для каждого натурального m, делящего n.
Доказательство.
По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = á а ñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что
A/M = áaMñ = {aM, a M, . . . , a M,M},
т.е. A/M=áaáа ñ ñ будет циклической группой порядка m.
Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.
ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)
Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:
1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то  = U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;
2) каждая подгруппа фактор-группы  = G/H имеет вид  = V/H, где V— подгруппа группы G и H £V ;
3) отображение  : U →  является биекцией множества S(G,H) на множество S( );
4) если N Î S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.
Доказательство.
(1) Пусть U Î S(G,H) и пусть  ={uH | u Î U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если u H, u H Î Î , то u , u  Î U, а так как U — подгруппа, то u u Î U и u Î U. Поэтому,

(u H)(u H) = u u H Î , (u H) = u  H Î
и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность – подгруппа группы .
(2) Пусть  — произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие  , т.е. V = {x Î G | xH Î  }. Если v , v  Î V, то v H, v H Î  , а так как  — подгруппа, то
(v H)( v H) = v  v H Î  и (v H)  = v  H Î
Следовательно, v  v  Î V и v  Î V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ
(3) Отображение  : U →  будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что  – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы  = {uH | u Î U} и  = { vH | v Î V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v Î V такой, что uH = vH. Поэтому v u Î H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и  — инъекция.
(4) Если N  G, N Î S(G,H), то
(gH)  (nH)(gH) = g ngH Î N/H
для всех g Î G, n Î N. Поэтому  = N/H   . Обратно, если     , то

g ngH = (gH) (nH)(gH) Î
и g ngH ÎN, значит N  G.
Пример: Найдем все фактор-группы группы S .
Среди подгрупп группы S  со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S , H=  (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S . Ясно, что S / S – единичная группа, а S / E изоморфна S .Порядок подгруппы H=  равен 3, а порядок S / H равен 2. Поэтому S / H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S  по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S  имеет три фактор-группы: S / H  S , S / S E, S / H={H,(12)H}= .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.
2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая школа, 2006.