Задача 1 (5)
Производится контроль партии из 4 изделий. Вероятность изделия быть неисправным равна 0,1. Контроль прекращается при обнаружении первого неисправного изделия. Х – число обследованных приборов. Найти:а) ряд распределения Х б)функцию распределения F(X), в ответ ввести F(3.5). в) m(x) г) d(x) д) p(1.5<X<3.5).
Решение
Пусть событие А – состоит в том, что изделие исправно, и соответственно - неисправно. По условию, вероятность , значит p(A)=1- . Случайная величина Х – число обследованных приборов – может принимать значения 0(если первый же прибор неисправен),1,2,3,4.
Найдем соответствующие вероятности:

Составим ряд распределения Х:

Х	0	1	2	3	4
р	0,1	0,09	0,081	0,0729	0,6561

Х – дискретная случайная величина. Найдем функцию распределения F(x)=P(X

Значение F(3.5)=0.34391
Математическое ожидание дискретной случайной величины


Дисперсия

Вероятность 
Задача 2(2). События А и В независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,94. Найти Р(А), если Р(В)=0,7. Ответ записать в виде десятичной дроби.
Решение.
Вероятность наступления суммы событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Но так как события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Имеем Р(А+В)=0,94 (наступает событие А или событие В или оба); Р(В)=0,7
0,94=Р(А)+0,7- Р(А)
0,3Р(А)=0,94-0,7=0,24
Р(А)=  - вероятность наступления А.
Задача 3(6). Дана плотность распределения случайной величины Х:

Найти а)константу А   б)функцию распределения F(x), в ответ ввести F(0); F(0.5)  в) m(x)   г)d(x)
 д) P(0<X<0.5).
Решение.
Константу А найдем из условия для р(х) :
Имеем
 Отсюда .
Функция распределения непрерывной случайной величины
Для  p(x)=0, F(x)=0
Для  -  
Для

Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Имеем

Дисперсия непрерывной случайной величины
Имеем

Вероятность
Задача 4(2). Дана плотность распределения вероятностей системы (X,Y).

Найти а)константу С;б)р1(х),р2(у); в) mx; г)my ;д)Dx; е)Dy; ж)cov(X,Y); з)rxy; и)F(-1,5); к) M(X|Y=1)
Решение. Плотность системы случайных величин должна удовлетворять условию:

В нашем случае ;  ; ;

                                      Y
                   
                B                   4
              -3   A               0                                  X
б) Плотности р1(х),р2(у):


в) Математические ожидания:
  
            г) Дисперсии:
   ж) Ковариация
з) Коэффициент корреляции

и) Значение F(-1,5)
   Функция распределения системы случайных величин
.       (1)
                              (-1,5)  Y
                                        5
                B             
                      D4           4
                        
     D1           D0
                                                        
               A                                                                     X
                -3          -1   O
     D2             D3
В областях D1,D2,D3,D4  которые не пересекаются с треугольником АВО значениеP(x,y)=0
Вычисляя F(-1,5) представим двойной интеграл в виде суммы интегралов:


к) Математическое ожидание M(x|y=1)