Реферат Итерациональные методы решения нелинейных уравнений
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__ok.png)
Предоплата всего
от 25%
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__signature.png)
Подписываем
договор
ГЛАВА 5. Методы приближения ФУНКЦИЙ.
§5.1. Постановка задачи аппроксимации и интерполяции функций.
В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функцию приходится заменять другой, более простой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функции.
Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ ее задания. Предположим, что в результате некоторого эксперимента для конечного набора значений
получен набор значений
Повод для аппроксимации может возникнуть даже тогда, когда аналитическое выражение некоторой функции
Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции – дифференцирование функции, вычисление определенных и неопределенных интегралов. Если аналитическое выражение функции достаточно сложное, то поставленная задача трудно выполнима, а иногда и невыполнима с помощью элементарных приемов. Например, интеграл
Классический подход к численному решению подобных задач заключается в том, чтобы, опираясь на информацию о функции
Для оценки «близости» функций выбирают тот или иной критерий согласия. Эти критерии основаны на использовании той или иной метрики, т.е. способа введения расстояния между функциями, принадлежащими тому или иному классу:
Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия:
Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов.
Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным критерием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние
Если
Задача интерполирования состоит в следующем.
На отрезке
Необходимо построить функцию
Геометрически это означает, что нужно найти кривую
В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем их не иметь.
Сформулированная задача становится однозначной, если вместо произвольной функции
Полученную интерполяционную функцию
Различают интерполирование в узком смысле, т.е. когда
§5.2. Конечные разности. Обобщенная степень.
Пусть задана функция
называется первой конечной разностью функции
Например:
Символ
Легко проверить основные свойства оператора
1)
2)
3)
Из формулы (5.3) имеем:
Отсюда, рассматривая
Из формулы (5.4):
и т.д. Окончательно получим:
В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени.
Определение.
Обобщенной
где
Полагают, что
Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая
то есть
Для второй конечной разности:
то есть
Аналогично,
и так далее.
Окончательно будем иметь:
§5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть для функции
Условия (5.13) эквивалентны тому, что
Будем искать полином в виде
Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде:
Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты
Чтобы найти коэффициент
Полагая
откуда
Для определения коэффициента
Положив
откуда
Продолжая процесс, получим:
причем
Подставляя найденные значения коэффициентов
Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома
Для практического использования первую интерполяционную формулу Ньютона записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную
Тогда
Подставляя (5.23) в (5.21), получим окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона:
Если в формуле (5.24) положить
При
Первую интерполяционную формулу Ньютона используют для интерполирования функции в окрестности начальной точки
Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона:
где
Учитывая, что
В этом случае соотношение (5.27) примет вид:
§5.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования в окрестности конечного значения
Пусть для функции
Используя обобщенную степень, получим:
Найдем коэффициенты
Полагая
Чтобы найти коэффициент
Полагая
Отсюда
Из второй конечной разности
при
Следовательно,
Продолжая дальнейшее вычисление конечных разностей, получим:
Подставляя найденные значения коэффициентов
Введем новую переменную
тогда
С учетом (5.38) вторая интерполяционная формула Ньютона примет вид:
Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона:
где
§5.5. Интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть на отрезке
Таблица 5.1.
| | | … | |
| | | … | |
Установим зависимость
Построим многочлен
Лагранж предложил строить многочлен
Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка
Найдем неизвестные коэффициенты
При
Следовательно, коэффициент
При
Следовательно, коэффициент
Таким образом, коэффициенты
С учетом найденных коэффициентов интерполяционный полином Лагранжа запишется в виде
Для интерполяционной формулы Лагранжа справедлива оценка погрешности:
где
Пример 5.1. По заданной системе точек
Таблица 5.2.
| | | |
| | | |
построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:
Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по следующим формулам:
Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:
Учитывая, что таблица приведена для функции
Погрешность вычислений равна
Ниже приведены графики функции
Рис.5.1.
Если таблица 5.1, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов
С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется так:
Запишем формулу Лагранжа в случае, если
Получили формулу линейной интерполяции (5.25):
Здесь
При
Здесь
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.24)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.27) и (5.28).
Если обозначить через
Тогда формула (5.43) примет вид:
Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.39)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.40).
§5.6. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов.
Данный метод относится к классу аппроксимационных методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от
Используем для построения результаты эксперимента:
Таблица 5.3
| | | … | |
| | | … | |
Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты
Используя вид
Необходимыми условиями экстремума функции
Запишем систему для определения
Решим систему одним из известных методов и найдем коэффициенты
Запишем алгоритм метода наименьших квадратов.
1. Ввести таблицу чисел
2. Вычислить
3. Решить любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений и получить коэффициенты искомого многочлена
Пример 5.2. По заданной системе точек (см. Табл.5.3) из примера 5.1 построить аппроксимационные многочлены первого
Для построения полинома первого порядка необходимо вычислить следующие суммы
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов
Значения неизвестных коэффициентов равны:
Тогда искомый многочлен первого порядка будет иметь вид:
Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке
Для построения многочлена второго порядка дополнительно необходимо вычислить следующие суммы
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов
Значения неизвестных коэффициентов равны:
Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
На рисунке 5.2 приведены графики искомых полиномов и табличной функции. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке равна:
Рис.5.2.
§5.7.
Обработка экспериментальных данных некоторыми другими
функциями.
Во многих случаях экспериментальные данные могут быть аппроксимированы не только полиномами различных порядков. Это обусловлено физическими, экономическими и другими законами исследуемых процессов, а также опытом испытателя. Если, например, испытатель уверен, что параметры какого-либо прибора, снятые с испытательного стенда, по своим физическим характеристикам являются близкими к экспоненциальным, то нет смысла аппроксимировать их полиномами. Также экспериментальные данные могут быть аппроксимированы показательными, логарифмическими, тригонометрическими и другими функциями.
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных, приведенных в таблице 5.3, экспоненциальной функцией
Сформулированную задачу будем решать методом наименьших квадратов. Функция
Расписав необходимые условия экстремума этой функции по переменным
Решая эту систему любым известным методом, определим коэффициенты экспоненциальной функции
Пример 5.3. По заданной в таблице 5.4 системе точек
Таблица 5.4.
| 0 | 0,7 | 1,39 | 1,65 | 1,93 | 2,2 | 2,45 | 2,79 |
| 0,05 | 0,07 | 0,24 | 0,42 | 0,66 | 0,78 | 0,89 | 1,07 |
методом наименьших квадратов построить аппроксимационную экспоненциальную функцию вида:
Для построения необходимо вычислить следующее суммы:
и решить СЛАУ второго порядка относительно неизвестных коэффициентов
Значения неизвестных коэффициентов равны:
Тогда искомая экспоненциальная функция будет иметь вид:
График функции
Рис.5.3.