Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра физики
ОТЧЕТ
Лабораторная работа по курсу "Общая физика"
ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА
Преподаватель                                Студент группы  220201
___________ /____________. /                   Стороженко Сергей Валерьевич
___________2011 г.                                                        2011 г.
2011


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.
2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

  

Средние значения времени < t >  и квадрата времени < t
² > прохождения грузом с перегрузомпути S:

                                     

                                                                (3.1)



                                                                   (3.2)


Абсолютная суммарная  погрешность измерения времени прохождения  пути S:

                                                           (3.3)
Абсолютная  случайная погрешность  измерения  времени прохождения  пути S:

σ_сл(t) = t(a, n) × S(t)  ;                                                                 (3.4)

где t(a, n)  - коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

                        

                                                                                          (3.5)




где

 t_i
 - времени прохождения  пути  при i –ом измерении ( i =1. … , n),

n – число измерений,    < t > - среднее значение времени прохождения  пути.


Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути S:
   σ(t
²) = 2 <
t
> σ(t)                                                                    (3.6)
Абсолютная  погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:



                                                              (3.7)
Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

b =
                                                                         (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

 a = 2b²                                                                                    (3.9)


Абсолютную случайную погрешность ускорения s_сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов. 

Рассчитываем параметры  линеаризованного  графика

(y = f(x)  =  Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

 

Расчет производится по формулам:    (3.10)
куда входят следующие величины:
                             (3.11)

где n
 – число экспериментальных точек.
Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: s_сл(β):



                                                                             (3.12)

  
где вспомогательная величина:



                                                          (3.13)
Абсолютная случайная погрешность ускорения:

s
(
a
)
 = 4 b
s
(
b
)
 
                                                                   (3.14)

 

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Макет № 82
Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты прямых и косвенных измерений          Таблица 4.1

	S1 = 10, см		S2 = 20, см		S3 = 30, см		S4 = 35, см		S5 =42, см
Номер измере­ния	=3,16        см1/2		= 4,47       см1/2		= 5,48       см1/2		= 5,92       см1/2		=6,48        см1/2
	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2
1	1,558	2,427	2,425	5,881	3,186	10,150	3,297	10,870	3,627	13,155
2	1,423	2,025	2,178	4,744	2,964	8,785	3,017	9,102	3,538	12,517
3	1,446	2,091	1,856	3,445	2,585	6,682	3,015	9,090	3,145	9,891
4	1,341	1,798	1,554	2,415	2,662	7,086	2,783	7,745	2,775	7,701
5	1,376	1,893	1,396	1,949	2,505	6,275	2,694	7,257	2,530	6,401
< t >, c	1,43		1,88		2,78		2,96		3,12
< t2 >, c2	2,05		3,69		7,79		8,81		11,33

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как  половину цены наименьшего деления секундомера : 

σ_сис(t) = 0,0005 с  ;
Абсолютная суммарная  погрешность измерения времени прохождения  пути по формуле 3.3 :

σ(t)1 =     0,0005²+0,0021²  = 0,0021 с;

Так как величина σ_сис(t)  много меньше величины σ_сл(t)₁  (σ_сис(t) = 0,0005 с  << σ_сл(t)₁ = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)₁ ≈ σ_сис(t)₁ .
Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t
²)₁ = 2×1,43×0,0021 = 0,006 с² ;
Результаты измерений записываем в виде   < t > ±  σ(t) :

t₁= 1,43±0,0021 с.
Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены  в таблице 4.2.
Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

 σ(S)  = 0,05 см ;
Абсолютная  погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :


Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.
Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n	S , см	σ(S), см	,  см0,5	σ(). см0,5	<t>, c	(<t>)2, c2	(<t>)× ,  c× см0,5
1	10	0,5	3,16	0,01	1,43	2,05	4,519
2	20	0,5	4,47	0,01	1,88	3,69	8,404
3	30	0,5	5,48	0,01	2,78	7,79	15,234
4	35	0,5	5,92	0,01	2,96	8,81	17,523
5	42	0,5	6,48	0,01	3,12	11,31	20,218
å	137		25,51		12,17	33,65	65,90
МНК	S 6		S 2		S 1	S 4	S 3

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S
=
f
₁
(
t
)  ( рис. 4.1.)  и   S
=
f
₂
(
t
²
) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.


 Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t
.


         Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от  квадрата времени t
²
.

На рис.4.3. представлен линеаризованный график  
=
f
₃
(
t
) зависимости квадратного корня   пройденного пути от времени t.



Рисунок 4.3.  Зависимость    от времени t
.  
На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

         b
_граф = 4 / 2,3  = 1,73  см^0,5/с ; 

 

     Величину ускорения определим по формуле 3.9:

          a
_граф =  2×1,73²  =5,98 см/с² ;
По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  b   линеаризованного  графика  =  b
t
  и случайную абсолютную погрешность параметра s_сл(b
).

 

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S
₁ −
S
₆  для расчета по МНК (число точек n =5):


 S
₁  =  12,17 c;                         S₄  =  33,65  c² ;

 
S₂  =   25,51см^1/2 ;                           S₆  =  137  см ;

 S₃  = 65,90  c×см^1/2 ;                            S₅  =  5×33,65  − 12,17 ²  = 20,14  c × см^1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр b   линеаризованного графика:
b  = (5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94  см^1/2/c.
Угловой коэффициент прямой b  = 0,94  см^1/2/c.
 Значение вспомогательной величины S₀ по формуле 3.13:


S₀  = 137/ 3 – (25,51²  
 + 0,94 ²×20,14 ) / 15 = 1,03 см.
По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:



s
(b)
 = (5×1,03² /20,14)
^0,5
= 0,513   см^1/2/c .
Величина ускорения по формуле 3.9 :

        

 a = 2×0,94²  = 1,76 см/с².
Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

s
(
a
)
 =   4×0,94×0,513 = 1,93  см/с² .
Получаем:

 a =  (1,76 ± 1,93) см/с²  = (1,76 ± 1,93)×10^-2 м/с² .
 

 5. ВЫВОДЫ
В результате проделанной работы мы смогли  в  пределах  погрешностей   измерений    построить     линеаризованный    график   зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение    S = at²/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

          a – ускорение  движения.
В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a =  (1,76 ±  1,93) × 10^-2 м/с² .




 6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

        

      1.  Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?

На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести F_тяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T₂.

  Сила тяжести F_тяж2 = (
M
+
m
)g,  где M – масса груза, m – масса перегрузка, g
– ускорение свободного падения.
2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.

Уравнение движения грузов имеют вид:

(
M
+
m
)g
– T
₁
= (
M
+
m
)a
₁  
-  груз с перегрузом (справа)

Mg – T₂ = Ma₂                                     
-
груз
(
слева
)


В силу не растяжимости нити a
₂= -  a
₁; при невесомом блоке T
₁ =  T
₂ имеем следующие уравнения движения:

(M + m)g – T = (M + m)a


Mg – T = - Ma
                                    


      3.  Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.

- физические допущения,  принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте;  погрешности измерения величин;

- точность вычислений.

      4.  Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?

Систематическая погрешность измерения времени σ_сис(t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина  систематической погрешности измерения времени σ_сис(t).

      5.  Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.

      Идеализация движения грузов на машине Атвуда:

- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.