ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

 

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ  СИМВОЛЫ

Цель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;
2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.

Символы граней

Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a₀, b₀, c₀). Осевыми единицами называют отрезки a₀, b₀, c₀ , отсекаемые единичной гранью на координатных осях x,y,z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).
Таблица 1.

Сингония	Угловые соотношения	Осевые единицы
Кубическая	a=b=g=90°	a0=b0=c0
Тетрагональная	a=b=g=90°	a0=b0¹c0
Ромбическая	a=b=g=90°	a0¹b0¹c0
Моноклинная	a=g=90°¹b	a0¹b0¹c0
Триклинная	a¹b¹g¹90°	a0¹b0¹c0
Гексагональная	a=b=90°, g=120°	a0=b0¹c0

В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a₀, b₀, c₀ (рис. 1) a=OA/a₀, b=OB/b₀, c=OC/c₀.
Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных  к соответствующим единичным отрезкам a₀, b₀, c₀.
Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.
В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексов h, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOY будет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).
В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.
Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

z

y

x

A

B

C

a0

b0

c0

Рис. 1. Грань кристалла, отсекающая на координатных осях отрезки ОА=аа0, ОВ=bb0, OC=cc0 .

Символы ребер

Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.
Если осевые единицы единичной грани равны a₀, b₀, c₀ , а точки А (x_1, y₁, z₁) и В (x_2, y₂, z₂) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)_x=x₂-x₁,    (AB)_y=y₂-y₁,     (AB)_z=z₂-z₁.
Тогда символ направления  [r s t] определится как
.
Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r, s, t, записываемых в квадратных скобках [r s t]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[x y z]] можно записать.

Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление  перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.
Заданное направление может быть определено и с помощью углов a, b, g, которые оно образует с координатными осями  x, y, z. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:
.
В кубических кристаллах:
.
Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов  нормали к грани (h k l) пропорционально отношению индексов:
,
отсюда:
.
Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).

 

Основные кристаллографические соотношения

1.      Угол между двумя направлениями.
Чтобы найти угол между двумя направлениями [r₁, s₁, t₁], [r₂, s₂, t₂] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения  двух векторов .
.
Если .
(Здесь  - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:
,
.
Откуда
.
2) Угол между направлением и плоскостью
Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (h k l) изображаются как [h k l], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [r s t].
Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как
 .
3) Условие зональности.
Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (h k l) принадлежала зоне, ось которой  [r s t] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (h k l) и осью зоны [r s t] должен быть равен нулю. При  этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как
.
Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r s t] , образованного двумя гранями (h₁ k₁ l₁) и (h₂ k₂ l₂) из совместного решения уравнений:
 .
Решение данной системы уравнений можно представить в виде:
 
Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.
Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h k l), в которой лежат два заданных направления [r₁ s₁ t₁] и [r₂ s₂ t₂]. В этом случае решение системы уравнений

Дает индексы искомой грани (h k l).
4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.
При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния  d с индексами (h k l) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое  рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:
 - для ромбической сингонии;
   - для тетрагональной сингонии;
 - для кубической сингонии.

План работы

1.      Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.
2.      Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.
3.      Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.
4.      Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.
5.       Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.

Контрольные вопросы

1.      В чем сущность метода индексов?
2.      Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?
3.      Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?
4.      В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?
5.      Что физически собой представляет условие зональности?