ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій
МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.
І Перевірка домашнього завдання
1. Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2.
1) = =
2)

Рівняння шуканої дотичної у – у₀ = . Оскільки х₀ = 1, у = х², то  і
Отже, у – 1 = 2 (х -1) або у = 2х – 1.
2.   Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 – 17 із Запитання і завдання до розділу VII.
II. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником
На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у =  дорівнює , тобто .  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Якщо покласти , де С – довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.
Якщо у формулі  покласти , то одержимо  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Нам уже відомо, що  SHAPE  \* MERGEFORMAT . А як знайти похідну функції у = х⁵, у = х²⁰ тощо? Розглянемо функцію у= хⁿ, де n – .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту , тоді:
1)  
2)  
(Скориставшись формулою
3)
Звідси  SHAPE  \* MERGEFORMAT

де n

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Розглянемо функцію у = х^n-1, де .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту , тоді
1)  
2)  


3)   =

Отже, , де .
Таким чином виконується рівність: .
Виконання вправ
1.   Знайдіть похідну функції:
а) у = х⁶;             б) у = х⁸;      в) у = х² ;       г) .
Відповідь:     а) 6х⁵;           б) 8х⁷;                в) 7х⁶;                г) 6х⁵.
2.   Знайдіть похідні функцій:
а) у = х^-10;                б) у = х² ;                в) ;           г) .
Відповідь:     а) -10х^-11;                б) -3х^-4;              в) -6х^-7;              г) -6х^-7.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій
Знайдемо похідну функції у= . Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді:
1)  
2)
3)  
.
Отже  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Аналогічно можна довести, що  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Знайдемо похідну функції .
Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді:

.

.
Отже,  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Аналогічно можна довести, що  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.
VI. Підведення підсумків уроку
Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.
Таблиця
Таблиця похідних
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

(С) = 0;                                 ; (хn)=n ;                          ; (                   ; ;                .

V. Домашнє завдання
Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 – 22. вправа №4 (2, 4).

ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій
МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Усне розв’язування вправ.
1) Знайдіть похідні функцій
а) у – х¹⁰;            б) ;           в) ;           г) .
Відповідь: а) 10х⁹;            б) -9х^-10;       в) -4х^-5;ё       г) 3х².
2) Знайдіть похідні функцій:
а)  в точці ;    б)  в точці ;
в)  в точці ;     г)  в точці .
Відповідь: а) 0;  б) ;  в) 4;   г) -1.
2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.
ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції
Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і

або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.
Доведення
Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).
Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту . Тоді

,
.
Отже, .
Наслідки
а)   Похідна різниці дорівнює різниці похідних.
Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси .
б)   Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто
.
Приклад. Знайдіть похідну функцій
а) ;
б) ;
в) .
Розв’язання а) ;
б) .
в) .
Відповідь: а) ;    б) в) = .
Виконання вправ
1.   Знайдіть похідні функцій:
а) у = х³ + х – х⁴;                              б) ;
в) ;                              г) .
Відповідь: а) ;   б) ;     в) ;
г) .
2.   Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х₀:
а) ;
б) ;
в) .
Відповідь: а) 1;  б) ;  в)-1.
3.   При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:
а) ;    б) ;  в) .
Відповідь: а) ; б) ;          в) .
ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції
Доведення. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді
1)  
Оскільки , , то

.
2)

.
Отже, .
Наслідки
а)   Постійний множник можна винести за знак похідної: .
Дійсно, .
б)   Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
.
Приклад. Знайдіть похідні функцій:
а)   ;
б)   ;
в)   .
Розв’язування
а)   ;
б)
;
в)

.
Виконання вправ.
1. Знайдіть похідну функцій:
а)   ;         б)  ;
в)   ;  г)  .
Відповідь:     а)  6х-5;       б)  ;
в)   ;           г)  .
2. Знайдіть похідні функцій:
а)   ;             б)  ;
в)   ;                 г)  .
Відповідь:     а)  ;        б)  ;
в)   ;   г)  .
3. Знайдіть похідні функцій:
а)   ;    б)  .
Відповідь:     а)  ; б)    .
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x) , то функція  диференційована в цій точці і .
Доведення
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай , тоді f(x)=у(х) . Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули

і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:
.
Отже, .
Приклад: Знайдіть похідні функцій
а)   ;                                     б)  .
Розв’язання
а)   .
б)   .
Виконання вправ
1. Знайдіть похідні функцій:
а)   ;       б)  ;          в)  ;           г)  .
Відповідь:     а)  ;                       б)  ;
в)   ;                      г)  .
2. Знайдіть похідні функцій:
а)   ;             б)  ;             в)  ;            г) 
Відповідь:     а)  ;                     б)  ;
в)   ;           г)  .
V. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).

ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції
Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
І. Перевірка домашнього завдання
1)   ;
2)
;
3)   ;
4)   ;
5)   ;
6)   .
2. Самостійна робота.
Варіант 1.
1.   Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х₀:
а)   , х₀=-1.                        (2 бали)
б)     .                     (2 бали)
2.   Знайдіть похідну функцій:
а)   .                    (2 бали)
б)   .                              (2 бали)
в)   .                        42 бали)
Варіант 2.
1.   Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х₀:
а)   , х₀=-1.                        (2 бали)
б)     .                     (2 бали)
2.   Знайдіть похідну функцій:
а)   .                     (2 бали)
б)   .                               (2 бали)
в)   .                       42 бали)
Відповідь: В-1. 1. а) ;                            б) -1
2. а) ;                  б) ;                  в)
В-2. 1. а) ;                            б) 1
2. а) ;        б) ;            в) .
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад.
Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .
Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u= , а потім за значенням u обчислити у= .
Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .
Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції  в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).
Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій   , де  - внутрішня функція,  - зовнішня функція.
Приклад 3. Запишіть складні функції  і , якщо  
Розв’язання


Виконання вправ.
1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :
а)               б)
в)                 г)
Відповіді: а)   
б)     ;
в)   
г)        .
2. Дано функції: . Побудуйте функції:
а) ;                в) ;               в) ;
г) ;           в) ;               є) .
Відповідь:     а) ;               б) ;
в) ;                г) ;
д)           є)
У складній функції  присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:
 – похідна функції у по аргументі х;
 – похідна функції у по аргументі u;
 – похідна функції u по аргументі х;
Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо вважати, що функція  має похідну в точці х₀, а функція  має похідну в точці u₀= , тобто існують границі ,  і .
Нехай, аргументу х₀ надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки  одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту  і .
Подамо . Перейдемо до границі при  (при цьому ).
 або .
Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х³-1)⁵.
Розв’язання
у = (3х³-1)⁵ – складена функція , де u =3х³-1, тоді , .
При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³-1:
.
Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:
а)   ;                                      б)  ;
в)   ;                                               г)  .
Розв’язання
а)   ;
б)   ;
в)   ;
г)   .
Виконання вправ.
1. знайдіть похідні функцій:
а)   у = (3х+2)⁵⁰;                                б)  (6-7х)¹⁰;
в)   ;                                   г)  .
Відповідь:     а)  ;                    б)  ;
в)   ;                               г)  .
2. Знайдіть похідні функцій:
а)   ;                                     б)  ;
в)   ;                                      г)  .
Відповідь:     а)  ;                      б)  ;
в)   ;                    г)  .
ІІІ. Підведення підсумків уроку
При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.
Таблиця диференціювання

,де

IV. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).

ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій
Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.
6)   ;
10) ;
11) ;
22) .
2.   Виконання усних вправ.
Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.
Таблиця

	1	2	3	4
1
2
3		=
4

ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції
Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=а^х проходить через точку (0; 1). Нехай  – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = а^х в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 34⁰(рис.29), а при а = 2, =47⁰.

у     у = е^х якщо основа а показникової функції у = а^х зростає від 2 до 3, то величина кута  зростає і приймає значення від 34⁰ до 47⁰. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = а^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 45⁰ (рис.31). Таке значення  прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459...  0
Таким чином, дотична до графіка функції у = е^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 45⁰.
У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції  в точці х₀ дорівнює =1. Отже, .
Знайдемо тепер формулу похідної функції .
Нехай аргумент х₀ одержав приріст , тоді:
1)  
2)  
3)   .
Таким чином, похідна функції е^х дорівнює самій функції:
Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
.
Отже,
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а)   у = 5^х;                б)  у = е^3-2х;             в)  ;           г)  .
Розв’язання
а)   ;
б)   ;
в)   ;
г) .
Виконання вправ.
№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю:  для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .
Звідси .
Отже,  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Знайдемо похідну функції . Так як , то
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
.
Отже,  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а)   ;           б)  ;
в)   ;           г)  .
а)   ;
б)   ;
в)   ;
г)
= .
Виконання вправ.
№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).

IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де
Ми довели, що  для .
Розглянемо функцію , де .
Знайдемо похідну цієї функції:

.
Отже,  для всіх .

ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ
Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1    перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.
№ 2.    3)  -е^-х;     5)  ;     7)  ; 9)  ;     11)    
13) ;      15)     ;        17)     .
№ 8.    1)  100х⁹⁹;         3)  ;         5)  ;  7)  -20х¹⁹;     9)  ;
11) .
2.   Усне розв’язування вправ.
Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.

	1	2	3	4	5
1
2
3
4
5

ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій
1)        Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.
2)        Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.
3)        Знайдіть похідну функції  та обчисліть її значення, якщо .
.
.
Відповідь: 4.
4)   Тіло рухається за законом .
Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).
Розв’язання
;
.
Відповідь:     .
ІІІ. Домашнє завдання
Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.

ТЕМА УРОКУ: Тематична контрольна робота № 1
Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1
1.   Знайдіть похідну функції:
а)   .   (2 бали)
б)   .                (2 бали)
в)   .          (2 бали)
г)   .                    (2 бали)
2.   Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3.   Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах).  (2бали)
Варіант 2
1.   Знайдіть похідну функції:
а)   .      (2 бали)
б)   .                              (2 бали)
в)   .                              (2 бали)
г)   .                                 (2 бали)
2.   Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3.   Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах).  (2бали)
Варіант 3
1.   Знайдіть похідну функції:
а)   .          (2 бали)
б)   .                            (2 бали)
в)   .                          (2 бали)
г)   .                               (2 бали)
2.   Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3.   Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах).  (2бали)
Варіант 4
1.   Знайдіть похідну функції:
а)   .  (2 бали)
б)   .              (2 бали)
в)   .                 (2 бали)
г)     .               (2 бали)
2.   Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3.   обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с (  вимірюється в радіанах). (2бали)
Відповідь: В-1. 1.   а) ; б) ;
в) ,;         г) .
2.   , .
3.   10
В-2 1. а) ;        б) ;
в) ,;      г) .
2.   , .
3.   9
В-3. 1. а) ;       б) ;
в) ,;       г) .
2.   , .
3.   35
В-4. 1. а) ;      б) ;
в) ,;          г) .
2.   , .
3.   20