Академия России
Кафедра Физики
Лекция: "Мощности гармонических колебаний в ЭЦ"
Орел-2009

Мгновенная, средняя и полная мощности ГК

Пусть в ЭЦ под воздействием гармонического напряжения:
,
возникает гармонический ток:
.
При согласном выборе направлений отсчета напряжения и тока мгновенная мощность в этой цепи определяется выражением:
.
Если в этом равенстве заменить произведение тригонометрических функций их суммой, то из выражения:
,
следует, что в режиме ГК мгновенная мощность потребляемая цепью, содержит постоянную составляющую, относительно которой она претерпевает периодические колебания с частотой 2w.
Положительным значением мгновенной мощности соответствует потребление цепью электрической энергии. Отрицательные же ее значения свидетельствуют о том, что в данный момент цепь не потребляет, а отдает электрическую энергию. В ЭЦ содержащих реактивные (пассивные) элементы это возможно за счет энергии, запасенной в магнитном (L) и (или) электрических (С) полях данных элементов на протяжении предшествующей части периода колебаний, когда значения мгновенной мощности были положительны. В ТЭЦ широко используется понятия средней или активной мощности. Применительно к рассматриваемому режиму ГК это постоянная составляющая последнего выражения:
.
Здесь  представляет собой разность фаз колебаний напряжения и тока. Таким образом, средняя мощность пропорциональна амплитуде напряжения и тока в ЭЦ и косинуса сдвига фазы между ними.
В пассивной ЭЦ средняя мощность не может принимать отрицательных значений, иначе нарушался бы принцип сохранения энергии . Разность фаз гармонического напряжения и тока в цепи не может выходить за пределы:
, т.к  и  положительны.
Для периодических, и в частности, ГК средняя мощность определяется как отношение энергии за период к величине этого периода:
.
Средняя мощность относится к числу усредненных, т.е. статистических характеристик колебательных процессов. В ЭЦ к ним же относятся и среднеквадратические значения напряжений и токов.
; .
Подставляя в эти выражения гармонические напряжения и ток, находим:
; .
U и I – называют действующими (эффективными) значениями напряжения и тока ГК.
Если перейти от амплитуд колебаний к их действующим значениям, то для средней мощности потребляемой пассивным двухполюсником находится типовое выражение:
.
Действующее значение напряжения и тока на входе двухполюсника связаны зависимостью:
 поэтому,
Т. к.  и  где R и G активные составляющие соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника, то
.
В этих выражениях квадрат действующего значения тока  можно представить как произведение комплексного тока  на сопряженную с ним комплексную величину .
Тогда , т.к по закону Ома , то .
Следовательно, средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения комплексного напряжения на входе двухполюсника и комплексной величины, сопряженной с комплексным током, проходящим через входные зажимы двухполюсника.
Пример: определить среднюю мощность ГК при
 и .
Найдем комплексно сопряженный ток , тогда
если действующее значение напряжения выбрано в вольтах, а тока – в амперах.
Рассмотрим произведение вида:

Сумма  получило название комплексной мощности, а произведение – мощность в ЭЦ гармонического тока в комплексной форме.
Действительная часть комплексной мощности  – средняя (активная) мощность.
Мнимая часть комплексной мощности  – реактивная мощность.
Произведение действующих значений напряжения и тока – называется полной или кажущейся мощностью :
.
Полная и реактивная мощности оцениваются в вольт - амперах.
Реактивная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для элемента индуктивности  реактивная мощность положительна. Она характеризует максимальное значение энергии, запасаемой в индуктивности при гармоническом токе с амплитудой :
.
Для элемента емкости, реактивная мощность отрицательна. Связь полной, средней и реактивной мощностей определяется соотношением
;   .
Значения средней мощности и полной мощности равны, если  т.е. когда сопротивление двухполюсника чисто активно (резистивно). В общем же случае  т.к .
Проблема повышения значения “косинуса Фu” (коэффициент мощности) является одной из важнейших проблем энергетики. Это и понятно, т.к если , то необходимую полезную работу можно получить от приемника энергии при наименьшем токе в соединительных проводах, т.е. при данных значениях U и I от источника в нагрузку поступает необходимая средняя мощность.
Поскольку комплексные напряжения и токи всегда удовлетворяют законам Кирхгофа, то к ним применима теорема Теледжена, согласно которой:
*
, и как следствие
 и .
Здесь можно ввести понятие условий баланса мощностей. Эти условия могут использоваться для проверки решений задач анализа режима ГК символическим методом.
Вывод: определение необходимых значений мощностей ГК в ЭЦ позволяет осуществить инженерный анализ результатов расчета на их правильность выполнения и оценить энергетическую эффективность всей ЭЦ или ее участка.

2. Условия передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке

Пусть дан источник ГК (генератор) с параметрами:
– комплексное задающее напряжение,
 – внутреннее сопротивление источника.
Найдем такие значения активной R и реактивной Х составляющей составляющих комплексного сопротивления пассивной нагрузки генератора , при которой в ней выделяется максимальная средняя мощность (рисунок 1).

Рис. 1.
В соответствии с законом Ома ток IH в нагрузке с комплексным сопротивлением будет:
где
.
При этом в нагрузке цепи выделяется средняя мощность:
.
Значение средней мощности изменяется в широких пределах с изменением сопротивления нагрузки. Мощность максимальна, если , т.е. при .
Это условие выполнимо, поскольку реактивная составляющая сопротивления нагрузки, т.е. двухполюсника, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда
.
Дальнейшая задача сводится к исследованию этой зависимости как функции от переменного RH.
Очевидно, что значение функции обращается в нуль при RH = 0 и . Следовательно, при изменении RH от 0 до ¥ функция имеет по крайней мере один максимум. Используя правила исследования функции, получим условия максимума: RH = R0.
Примечание:

Следовательно, в режиме ГК генератор развивает максимальную мощность в нагрузке, комплексное сопротивление которой
.
Сопряжено с комплексным внутренним сопротивлением генератора
.
Нагрузку, удовлетворяющую условиям , называют сопряженной нагрузкой.
Значение максимально возможной средней мощности, которую может развить генератор на нагрузке можно показать на рисунке 2.
.


Рис.2.
На рисунке сплошной линией приведен график зависимости средней мощности от соотношения . При  такая же по величине мощность, как и в нагрузке, выделяется на внутреннем сопротивлении генератора . Поэтому коэффициент полезного действия (КПД) генератора, т.е. отношение отдаваемой в нагрузку и развиваемой генератором мощности, равен h = 0,5. С увеличением RH – средняя мощность уменьшается, но растет КПД. График зависимости КПД генератора показан на рисунке штриховой линией.
В энергетических системах где чрезвычайно важен высокий КПД, стремятся к тому, чтобы .
Однако, следует обратить внимание на то, что при таком режиме использование генератора значительное уменьшение RH приводит к опасному (аварийному повышению мощности, расходуемой в самом генераторе).
В целях связи часто ZH выбирают равных Z0, т.е. .
В этом случае говорят, что генератор нагружен согласованно, а сопротивление нагрузки называют согласованной.
Схема генератора, нагруженного согласованно, показана на рисунке 3. При согласованной нагрузке .

Рис. 3.
Это по сути условие обеспечения неискаженной передачи формы сигналов.
.
При согласованной нагрузке полная, а тем более средняя мощность будет меньше или равна максимально возможной средней мощности, т.к Pcp. max получается при X0 = 0. При чисто активном сопротивлении генератора, что типично для радиотехнических устройств, понятие согласованной и сопряженной нагрузки не различаются.
Вывод: Т.О., в случае генератора с активным внутренним сопротивлением согласованное включение и максимально возможная средняя мощность в нагрузке достигается при условии равенства сопротивления нагрузки внутреннему сопротивлению генератора гармонических колебаний.

3. Особенности расчета ЭЦ с индуктивными связями

Как отмечалось ранее, применение различных методов расчета резистивных ЭЦ (МУН, МКТ, МН, МЭГ) справедливо и для режима ГК с использованием метода комплексных амплитуд (МКА). Это находит свое применение при расчетах различных схем усилителей, генераторов и т.д. Остановимся на некоторых особенностях расчета ЭЦ с индуктивными связями.
Из курса физики известно, что если две катушки имеют индуктивную связь (рисунок 4, а),
,
а)                                  б)                         в)
Рис. 4
то напряжение на зажимах одной из этих катушек представляет собой результат наложения двух составляющих: напряжения самоиндукции и напряжения взаимоиндукции, т.е.
 где  – взаимная индуктивность связанных катушек; а К – коэффициент связи, причем  
Знаки  в соотношениях ставятся при согласном и встречном выборе направлений отсчетов токов в катушках  и  соответственно. Выбор направления отсчетов токов будет согласным, если направления отсчета токов одинаковы по отношению к одноименным зажимам катушек. Нетрудно убедиться, что в этом случае (рисунок 4, б) при одинаковых знаках токов  и  магнитные потоки обеих катушек имеют одинаковые направления, т.е. магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются. На схемах одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначаются специальным знаком – точкой (рисунок 4, в). Для случая соответствующего этому рисунку, в соотношениях ставится знак “плюс”, т.к напряжения отсчетов токов выбрано одинаково по отношению к одинаковым зажимам обмоток, т.е. согласно.
При ГК от мгновенных значений напряжений и токов можно перейти к комплексным амплитудам. Тогда получим:
.
Отсюда следует, что при наличии взаимной индуктивности, в уравнениях контурных токов необходимо учитывать слагаемые вида

В качестве примера составим систему контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на рисунке 5 по МКТ.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

1

L

2

L

M

1

R

2

R

1

C

2

C

0

m

I

&

0

m

I

&

1

m

I

&

2

m

I

&

Рис.5.
.
Слагаемые  и  входят в уравнения со знаками “минус”, потому что здесь имеет место встречный выбор направлений отсчетов контурных токов.
В частном случае индуктивно связанные катушки могут находиться в одном контуре. Например, пусть последовательно соединены две катушки с индуктивностями L1 и L2, выполненные на общем сердечнике. Эквивалентная индуктивность такого соединения определяется по схеме рисунок 6 а.

Рис. 6.
Уравнение контурного тока для этого случая составляется с учетом того, что по обеим катушкам протекает один и тот же ток:
.
При согласном включении катушек (рисунок 6, б) имеем:
 где .
Если считать ,  и когда , то  в четыре раза больше индуктивности одной катушки. Это закономерно, т.к получается одна катушка с вдвое большим числом витков, а индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков. При встречном включении катушек (рисунок 6, в)
.
Для случая одинаковых катушек и жесткой связи эквивалентная индуктивность оказывается равной нулю.
Переход от согласованного к встречному включению может быть осуществлен в том случае, если изменяется положение одной катушки относительно другой. Этот принцип используется в вариометрах, которые устроены так, что подвижная катушка может поворачиваться относительно неподвижной и тогда изменяется не только значение М, но и характер включения. В результате индуктивность вариометра может плавно измениться от значения:
 до .
Вывод: рассмотренные примеры показывают, что метод контурных токов позволяет произвести анализ ЭЦ при наличии индуктивных связей.

Заключение

От источника в нагрузку поступает наибольшая средняя мощность при условии, что коэффициент  стремится к единице. В промышленности  приблизить к единице представляет важную техническую и экономическую задачи. В режиме ГК генератор развивает в нагрузке максимальную мощность, если сопротивление нагрузки сопряжено с внутренним сопротивлением генератора. При согласованной нагрузке средняя мощность будет меньше максимально возможной, но обеспечивается неискаженная передача формы сигналов.
Анализ сложных ЭЦ в режиме ГК существенно упрощается при использовании символического метода анализа применением известных методов расчета резистивных цепей. Отличие состоит лишь в написании символов.

Литература, используемая для подготовки к лекции

1.           Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник);
2.           Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. (Учебник);
3.           Качанов Н.С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник);
4.           В.П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000. (Учебник)