þ Под термином «исследование операций» мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.
Окончательно термин «исследование операций» закрепился в конце Второй мировой войны, когда в вооруженных силах США были сформированы специальные группы математиков и программистов, в задачу которых входила подготовка решений для командующих боевыми действиями. В дальнейшем исследование операций расширило область своих применений на самые разные области практики: экономика, транспорт, связь и даже охрана природы.
чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо, кроме опыта и интуиции. Правда, никакой гарантии правильности, а тем более оптимальности при этом нет. Подчеркнем, что ЭВМ никаких решений не принимает. Решение принимает человек (ЛПР). А ЭВМ только помогает найти варианты решений. Непременное присутствие человека (как окончательный инстанции принятия решений) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов, есть тоже решение. По мере автоматизации управления функции человека перемещаются с одного уровня управления на другой - высший. Основные этапы решения задачи принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ показаны на Рис. 2.1.

Исходные данные

H

Объект

F

Задача

F

Модель

F

Алгоритм

F

Программа

F

ЭВМ :

Пакет прикладных программ (ППП)

H

Решение

ъ
Рис. 2.1. Основные этапы решения задачи принятия решения с помощью ЭВМ.
выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:
À должно существовать, как минимум, два варианта ее решения (ведь если вариант один, значит и выбирать не из чего);
Á надо четко знать в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим (кто не знает, куда ему плыть - тому нет и попутного ветра).
Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой. Когда производится содержательная постановка задачи, к ней привлекаются специалисты в предметной области. Они прекрасно знают свой конкретный предмет, но не всегда представляют, что требуется для формализации задачи и представления ее в виде математической модели.
Хорошую модель составить не просто. Известный математик Р.Беллман сказал так: «Если мы попытаемся включить в нашу модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях; если слишком упростим ее, то она перестанет удовлетворять нашим требованиям». Таким образом, исследователь должен пройти между западнями Переупрощения и болотом Переусложнения. Для выполнения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости. Эти правила применительно к задачам математического моделирования и формулируются так: учесть главные свойства моделируемого объекта; пренебрегать его второстепенными свойствами; уметь отделить главные свойства от второстепенных.
Составление модели - это искусство, творчество. Древние говорили: «Если двое смотрят на одно и то же, это не означает, что оба видят одно и то же». И слова древних греков: «Если двое делают одно и то же, это не значит, что получится одно и то же». Эти слова в полной мере относятся к составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения.
Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования:
À наблюдение явления и сбор исходных данных;
Á постановка задачи;
 построение математической модели;
à расчет модели;
Ä тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует либо вернуться на этап 3, т.e. предложить для решения задачи другую математическую модель; либо вернуться на этап 2, т.e. поставить задачу более корректно;
Å применение результатов исследований.
Таким образом, операционное исследование является итерационным процессом, каждый следующий шаг которого приближает исследователя к решению стоящей перед ним проблемы. В центре операционного исследования находятся построение и расчет математической модели.
þ Математическая модель - это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.
þ Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.
Проведение операционного исследования, построение и расчет математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение.
Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее решение, может руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще». Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.
В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и т.п.
2.2.  Классификация  и  принципы построения
математических  моделей
Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
À Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
Á Определение пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
 Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
à Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
Ä Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
Å Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.
Введем  следующие  условные  обозначения:
a - параметры модели;
x - управляющие переменные или решения;
X - область допустимых решений;
x - случайные или неопределенные факторы;
W - целевая функция или критерий эффективности (критерий оптимальности).
W=W (x, a, x)
В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид:
W=W (x, a, x) ® max (min)                                (2.1)
x Î X
þ Решить задачу - это значит найти такое оптимальное решение x^*ÎX, чтобы при данных фиксированных параметрах a и с учетом неизвестных x факторов  значения критерия эффективности W было по возможности максимальным (минимальным).
W^*=W (x^*, a, x) = max (min) W (x, a, x)
x Î X
þ Таким образом, оптимальное решение - это решение, предпочтительное перед другими  по определенному критерию эффективности (одному или нескольким).
Перечислим некоторые основные принципы построения математической модели:
À Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тex исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
Á Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
 Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.
à Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть  устойчивой  (сохранять свойства и структуру при этих воздействиях).
По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные. Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.
По учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.
þ В стохастических моделях неизвестные факторы - это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.). Среди стохастических характеристик можно выделить:
- модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию (2.1), либо в ограничения (2.2) входят случайные величины;
- модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;
- модели теории массового обслуживания, в которой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также - к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.
 þ Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.
þ В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игроков, преследующих разные цели, например, организацию предприятия в условиях конкуренции.
þ В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействии на него, например, организация производственного процесса.
þ В детерминированных моделях неизвестные факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических задач. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели делятся на: линейные, нелинейные, динамические и графические.
þ В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.
þ Hелинейные модели - это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случится и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.
þ В динамических моделях, в отличие от статических линейных и нелинейных моделей, учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в динамических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения.
þ Графические модели - используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.
3.  Некоторые  сведения  из  математики
3.1.  Выпуклые  множества
Предварительно дадим некоторые понятия, весьма важные для линейного программирования.
þ множество точек называется выпуклыми, если оно вместе с любыми двумя точками содержит отрезок, соединяющий эти точки. Простейшими примерами выпуклых множеств могут служить: отрезок, треугольник, квадрат, некоторые геометрические тела, например, пирамида, куб и т.д.
заметим, что выпуклый многоугольник обладает тем свойством, что весь расположен по одну сторону каждой из прямых, участвующих в ее образовании.
þ выпуклой линейной комбинацией точек М₁, М₂, ... М_n называется любая точка М такая, что:
М=a₁M₁+a₂M₂ + ... +a_nM_n,
       где a_i ³ 0 и a₁+a₂+ ... +a_n=1.
þ Обобщая сказанное выше, можно сказать, что множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками оно содержит и выпуклую произвольную комбинацию этих точек. Поскольку произвольная точка отрезка представляет собой выпуклую комбинацию его концов, то это и означает, что выпуклое множество вместе с двумя данными точками содержит весь соединяющий их отрезок.
Очевидно, что всякая точка выпуклого многоугольника, лежащая внутри его или на одной из сторон, за исключением вершин, может быть представлена как выпуклая линейная комбинация других точек этого многоугольника. Напротив, вершины многоугольника не представляются в виде выпуклой комбинации двух каких-нибудь других точек. В этом смысле вершины многоугольника называют экстремальными точками.
þ прямая линия называется опорной, если она имеет с выпуклым многоугольником, по крайней мере, одну общую точку и весь многоугольник расположен по одну сторону от этой прямой. Через каждую из вершин многоугольника можно провести бесконечное множество опорных линий. В пространстве трех измерений, по аналогии с понятием опорной прямой вводится понятие опорной плоскости.
þ Опорной плоскостью называется всякая плоскость, имеющая с выпуклым многогранником, по крайней мере, одну общую точку, причем такую, что весь многогранник расположен по одну сторону от нее. Опорная плоскость может иметь с выпуклым многогранником общую точку (вершину многогранника), прямую (ребро), и, наконец, общую грань.
3.2.  Линейные  неравенства
рассмотрим подробнее системы линейных неравенств и покажем, что решение их тесно связано с понятиями выпуклого многоугольника и выпуклого многогранника.
Для начала рассмотрим неравенство с одной переменной величиной x₁, например x₁<4. Если на плоскости провести прямую х₁=4, то она разделит всю плоскость на две части - полуплоскости: в одной из них, а именно слева от прямой х₁=4, лежат точки, абсциссы которых меньше 4, а справа от прямой - точки, абсциссы которых больше 4. Таким образом, неравенство x₁<4 геометрически определяет полуплоскость (Рис.1). Рассмотрим теперь неравенство с двумя переменными типа 3х₁+4х₂ < 12. Построим прямую линию 3х₁+4х₂=12. Разделим обе части уравнения на 12:

 
из которого видно, что прямая отсекает по осям отрезки, равные 4 и 3.
Неравенство 3х₁+4х₂ < 12 определяет собой совокупность всех точек плоскости, лежащих ниже прямой, т.е. в заштрихованной части (Рис. 2).
Чтобы легче было понять, какую именно полуплоскость определяет то или иное неравенство, мы в левую часть неравенства подставим координаты начала координат, т.е. х₁=0 и х₂=0. Если неравенство удовлетворяется, то оно определяет ту полуплоскость, в которой лежит начало координат, в противном случае - другую полуплоскость. Пользуясь геометрическими соображениями, найти возможные решения системы:
                              ì3х₁+4х₂ £ 12
                              íx₁< 2
                              îх₁ > 0 и х₂ > 0
Каждое из неравенств системы определяет полуплоскость, отмеченную на Рис.3  штрихами.
Полученный многоугольник является выпуклым, ибо вместе с любыми двумя точками содержит весь соединяющий их отрезок. таким образом, мы видим, что выпуклый многоугольник можно задать аналитически, с помощью системы линейных неравенств. Линейное уравнение с тремя переменными: a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁ определяет в пространстве некоторую плоскость, которая рассекает все пространство на два полупространства.
В связи с этим неравенство a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃ £ b₁ определяет одно из полупространств, к которому принадлежит также и сама граничная плоскость. В общем случае, когда система неравенств совместна, пространство решений образует некоторый выпуклый многогранник - многогранник решений. Частным случаем его могут быть: отдельная грань, ребро или точка. Последнее имеет место, когда система неравенств имеет одно единственное решение. Дальнейшие обобщения приводят нас к рассмотрению m линейных неравенств с n неизвестными. Каждое уравнение a_i1x₁+a_i2x₂+ ... +a_inx_n=b_i является уравнением некоторой гиперплоскости в n-мерном пространстве, которая как бы рассекает все пространство на два полупространства.
3.3.  Значения  линейной  формы  на  выпуклом  множестве
Предположим, что задана некоторая система из m-линейных неравенств (или уравнений) с n переменными х₁, х₂, ..., х_n. Система неравенств в случае совместности определяет некоторое выпуклое множество в n-мерном пространстве, ограниченное или бесконечное (многогранник решений).
Допустим далее, что нам задана некоторая линейная форма от этих переменных, определяющая функцию цели:
¦=c₁x₁+c₂x₂+ ... +c_nx_n
В каждой точке выпуклого множества, т.е. для каждого решения нашей системы, линейная форма ¦ принимает определенное значение. Возникает вопрос: в каких точках выпуклого множества линейная форма ¦ достигает своего наибольшего и наименьшего значения, если, конечно, такие существуют? Решение общей задачи линейного программирования сводится, таким образом, к нахождению точек выпуклого множества, в которых заданная линейная форма достигает оптимального значения, и мы ищем такие точки (х₁, х₂, ..., х_n), координаты которых неотрицательны. Сформулируем одно важное утверждение, облегчающее решение задачи.
þ В тех случаях, когда множество решений задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник, линейная форма достигает оптимального значения в одной из его вершин, в связи с чем последние и называются экстремальными точками.
В общем случае, линейная форма ¦=c₁x₁+c₂x₂+ ... +c_nx_n задает гиперплоскость в n-мерном пространстве. При ¦=0 эта гиперплоскость проходит через начало координат. Затем передвигаем эту плоскость параллельно самой себе в направлении вектора P перпендикулярно к этой плоскости. Первая из вершин, в которой линейная форма (гиперплоскость) встретит выпуклый многогранник, будет точкой, в которой линейная форма достигает наименьшего значения, а последняя из вершин - точкой, в которой линейная форма достигает наибольшего значения.
Может случиться, что гиперплоскость окажется параллельной одной из граней или ребер выпуклого многогранника, и тогда линейная форма ¦ достигает своего наименьшего или наибольшего значения в любой точке, лежащей на этом ребре. Но и тогда она достигает эти значения в вершине, лежащей на этом ребре.
Существуют различные методы решения задач линейного программирования. Одним из наиболее простых и наглядных методов решения является графический метод. Этот метод позволяет решать задачи, которые приводят к системам уравнений с двумя или тремя переменными. Большинство задач линейного программирования приводит к системам линейных неравенств с большим числом переменных. Эти задачи решаются симплексным методом.
4.  ПРИМЕРЫ  ЗАДАЧ  ЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ
4.1.   Транспортная  задача
уголь, добываемый в нескольких месторождениях, отправляется ряду потребителей. нам известно, сколько угля добывается в каждом из месторождений, скажем за месяц и сколько его требуется на тот же срок каждому из потребителей. Известны расстояния между месторождениями и потребителями, а также условия сообщения между ними. Учитывая эти данные. Можно подсчитать, во что обходится перевозка каждой тонны угля из любого месторождения в любой пункт потребления. Требуется при этих условиях спланировать перевозки угля таким образом, чтобы затраты на них были минимальными.
Пусть для простоты заданы всего 4  месторождения М₁, М₂, М₃, М₄, причем их ежемесячная добыча составляет a₁, а₂, а₃, а₄ тонн угля. Предположим далее, что этот уголь надо доставить в пункты потребления b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, соответственно с ежемесячными потребностями этих пунктов. Будем считать, что общее производство угля равно суммарной потребности в нем (сбалансированность планов): a₁, а₂, а₃, а₄ = b₁, b₂, b₃, b₄, b₅. Задача состоит в определении такого плана перевозок, при котором общая стоимость перевозок была бы наименьшей. Обозначим через x₁₁ количество угля (в тоннах), предназначенное к отправлению из M₁ в П₁; вообще через x_ij обозначим количество угля, отправляемого из месторождения M_i в пункт потребления П_j. Схема перевозок примет вид, изображенный в таблице 4.1.
Схема  перевозок                                     таблица  4.1

	ПН	в П1	в П2	в П3	в П4	в П5	Всего
ПО							отправлено
из М1		х11	х12	х13	х14	х15	a1
из М2		х21	х22	х23	х24	х25	а2
из М3		х31	х32	х33	х34	х35	а3
из М4		х41	х42	х43	х44	х45	а4
Всего привезено		b1	b2	b3	b4	b5

4.1

ìх11+х12+х13+х14+х15 = b1 ïх21+х22+х23+х24+х25 = b2 íх31+х32+х33+х34+х35 = b3 îх41+х42+х43+х44+х45 = b4

4.2

ìх11+х12+х13+х14+х15 = a1 ïх21+х22+х23+х24+х25 = a2 íх31+х32+х33+х34+х35 = a3 îх41+х42+х43+х44+х45 = a4

Общее количество угля, привозимое в пункт П₁ из всех месторождений, будет х₁₁₊х₁₂₊х₁₃₊х₁₄₊х_{15 =} b₁; в другие пункты - П₂, П₃ и т.д. и примет вид уравнений 4.1. общее количество угля, вывозимое из М₁, будет: х₁₁₊х₁₂₊х₁₃₊х₁₄₊х_{15 =} a₁, примет вид 4.2. предполагаем, что стоимость перевозки прямо пропорциональна количеству перевозимого угля, т.е. стоимость перевозки x_ij тонн угля равна:
x _{i j} = C _{i j} ^. X _{i j}
Общая стоимость S всех перевозок будет равна:                                 (4.3)
S=c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+c₁₃х₁₃+c₁₄х₁₄+c₁₅х₁₅+ ... +c₄₁х₄₁+c₄₂х₄₂+c₄₃х₄₃+c₄₄х₄₄+c₄₅х₄₅.
4.2.  Общая  формулировка  задачи  линейного  программирования
Аналогично транспортной задаче решается задача об оптимизации распределения ресурсов (трудовых, материальных, финансовых) и задача о диете. При всем разнообразии, по своему конкретному содержанию каждая из них была задачей на нахождение наиболее выгодного варианта. С точки зрения математической, в каждой задаче ищутся значения нескольких неизвестных, причем требуется, чтобы:
À эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
Á при этих значениях некоторая линейная функция (линейная форма) от этих неизвестных обращалась в минимум (максимум);
 эти значения были неотрицательными.
Задачами такого рода и занимается линейное программирование.
þ Говоря точнее, линейное программирование - это математическая дисциплина, изучающая методы нахождения наименьшего (или наибольшего) значения линейной функции нескольких переменных, при условии, что последние удовлетворят конечному числу линейных уравнений или неравенств. Общая математическая формулировка задачи линейного программирования выглядит следующим образом.
Дана система линейных уравнений:
                                                    ìа₁₁x₁+а₁₂x₂+ ... +а_1nx_{n =} b₁   
                                                    ïа₂₁x₁+а₂₂x₂+ ... +а_2nx_{n =} b₂   
                                 (I) í  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...   
                                                    îа_m1x₁+а_m2x₂+ ... +а_mnx_{n =} b_m
         и линейная функция ¦=c₁x₁+c₂x₂+ ... +c_nx_n (II).
Требуется найти такие неотрицательные решения х₁ ³ 0, х₂ ³ 0 ... х_n ³ 0 (III) системы (I) при которых функция ¦ принимает наименьшее (наибольшее) значение.
Уравнения (I) называются ограничениями данной задачи, уравнение (II) называется линейной формой, а уравнение (III), строго говоря, тоже являются ограничениями, однако их не принято так называть, поскольку они являются общими для всех задач линейного программирования, а не только конкретной задачи. Любое неотрицательное решение системы уравнений называется допустимым. Допустимое решение, дающее минимум функции ¦, оптимальное решение (если оно существует) не обязательно единственно; возможны случаи, когда имеется бесчисленное множество оптимальных решений. Наконец, саму функцию ¦  часто называют линейной формой или функцией цели.
Казалось бы, т.к. задача линейного программирования ставится как задача минимизации некоторой функции ¦, то можно применить классический прием дифференциального исчисления. Однако частные производные ¦ равны коэффициентам при неизвестных, которые в «нуль» одновременно не обращаются.
4.3.  Графическая  интерпретация
 решения  задач  линейного  программирования
Задачу линейного программирования (ЛП) можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы являются основой для решения задачи на ЭВМ. Их единственный недостаток состоит в том, что в отличие от графических методов, они недостаточно наглядны. Графические методы очень наглядны, но они пригодны лишь для решения задач на плоскости, т.е. когда размерность пространства К=2. Однако, учитывая большую наглядность графических методов, с их помощью рассмотрим идею решения задачи ЛП на примере задачи распределения ресурсов.
Однако прежде чем заняться решением, сделаем некоторые замечания. Пусть мы имеем систему m уравнения с n неизвестными (I).
Возможны следующие варианты:
À Число неизвестных меньше, чем число уравнений n < m.
например:  ì2x₁=4, в этом случае n=1;
                       îx₁=5, тогда m=2 (число линейно независимых уравнений).         (4.4)
Очевидно, что система (4.4) решения не имеет, и она несовместна;
Á Число неизвестных равно числу уравнений n=m.
В этом случае система имеет единственное решение или не имеет ни одного. Заметим, что m равно числу линейно независимых уравнений.
Для системы:  ì2x=10,  n=1, m=1;
                              î6x=30.
 Если число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесчисленное множество решений. Пусть n > m. Например:
2x₁+x₂=2                                          (4.5)
Очевидно, что это уравнение прямой, и все значения x₁ и x₂, лежащие на этой прямой, являются решением уравнения (4.2). Значит уравнение (4.5) имеет бесчисленное множество решений.
В случае, когда система имеет больше одного возможного решения, может быть поставлена задача оптимизации, суть которой в том, что из всех допустимых решений, удовлетворяющих ограничениям и граничным условиям, выбрать такое, которое придает целевой функции оптимум. Вспомним построение линейных зависимостей. Пусть дано уравнение:
a₁x₁+a₂x₂=b                                         (4.6)
Преобразуем его к виду:
                                     (4.7)
Запись (4.7) называют уравнением прямой в отрезках, что изображено на Рис. 4.1. Рассмотрим еще одну форму представления уравнения (4.6). Запишем это уравнение в виде:
a₂x₂=b-a₁x₁
                                 или

                                 или
x₂=F-kx₁                                                         (4.8)
Уравнение (4.8) изображено на рис. 4.2.
Вспомним неравенства. Если линейное уравнение с двумя переменными может быть представлено в виде прямой на плоскости, то неравенство вида:
a₁x₁+a₂x₂ £ b                                       (4.9)
изображается как полуплоскость, показанная на рис. 4.1. На этом рисунке часть плоскости, удовлетворяющая неравенству, заштрихована. Координаты всех точек, принадлежащих заштрихованному участку, имеют такие значения x₁ и x₂, которые удовлетворяют заданному неравенству. Значит, эти значения составляют область допустимых решений (ОДР). Саму прямую считаем принадлежащей каждой из двух указанных полуплоскостей. Предположим теперь, что задано не одно неравенство, а система:
                                                              ìа₁₁x₁+а₁₂x₂ £ b₁   
                                                              ïа₂₁x₁+а₂₂x₂ £ b₂   
                                  (4.10)   í  ...  ...  ...  ...      
                                                              îа_m1x₁+а_m2x₂ £ b_m,
где первое неравенство определяет некоторую полуплоскость П₁, второе - полуплоскость П₂ и т.д.
если какая-либо пара чисел (x₁, x₂) удовлетворяет всем неравенствам (4.10), то, соответствующая точка Р(x₁, x₂), принадлежит всем полуплоскостям П₁, П₂, ... П_m одновременно. Другими словами, точка Р принадлежит пересечению (общей части) полуплоскостей П₁, П₂, ... П_m, т.е. некоторой многоугольной области М (Рис. 4.3), которая является ОДР. Вдоль контура области изображены штрихи, идущие внутрь области. Они одновременно указывают, с какой стороны от данной прямой лежит соответствующая полуплоскость, то же самое указано и с помощью стрелок на каждой линии. Сразу же отметим, что ОДР не всегда бывает, ограничена: в результате пересечения нескольких полуплоскостей может возникнуть и неограниченная область (Рис. 4.4). Возможен и случай, когда область допустимых решений (ОДР) пуста. Это означает, что система (5.7) противоречива (Рис. 4.5). Многоугольник ОДР обладает весьма важным свойством: он является выпуклым.
þ фигура называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками А и В, она содержит и весь отрезок АВ.
В случае трех неизвестных, каждое уравнение представляет собой плоскость в пространстве. Каждая плоскость разбивает все пространство на два полупространства. Система неравенств определяет в пространстве выпуклый объемный многогранник, который представляет ОДР.
5.  МЕТОДЫ  РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ  ЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ
5.1.  Общая  и  основная  задачи  линейного  программирования
К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (задача о раскрое, смесях и т.д.).
Во всех этих задачах требуется найти максимум или минимум линейной функции при условии, что ее переменные принимают неотрицательные значения и удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений или линейных неравенств либо системе,  содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения. Каждая из этиx задач является частным случаем общей задачи линейного программирования.
þ Oбщей задачей линейного программирования называется задача, которая coстоит в определении максимального (минимального) значения функции:
                                           (5.1)
при условии:
                                  (5.2)
                               (5.3)
X_j ³ 0 (j=1, 1; 1 £ n)                                   (5.4)
где a_ij, b_i, с_j - заданные постоянные величины и k £ m.
þ Функция (5.1) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (5.1)-(5.4), а условия (5.2)-(5.4) - ограничениями данной задачи.
þ Стандартной (или симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (5.1) при выполнении условий (5.2) и (5.4), где k=m и 1=n.
þ Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (5.1) при выполнении условий (5.3) и (5.4), где k=0 и 1=n.
þ Совокупность чисел Х^* = (x₁, x₂, ..., x_n), удовлетворяющих ограничениям задачи (5.2)-(5.4), называется допустимым решением (или планом).
þ План Х^* = (x₁, x₂, ..., x_n), при котором целевая функция задачи (5.1) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.
значение целевой функции (5.1) при плане X будем обозначать через F(X). Следовательно, Х^* - оптимальный план задачи, если для любого X выполняется неравенство F(X) £ F(Х^*) (соответственно F(X) ³ F(Х^*)).
5.2.  Геометрический  метод  решения
задач  линейного  программирования
Перепишем основную задачу линейного программирования в векторной форме: найти максимум функции
F=CX                                              (5.5)
при условиях:
x₁P₁+x₂P₂+ ... +x_nP_n = P₀                                (5.6)
Х ³ 0                                              (5.7)
где  C = (с₁, с₂, ..., с_n), Х = (х₁, х₂, ..., х_n);  СХ  -  скалярное  произведение;  Р₁, Р₂, ..., Р_n и Р₀ - m-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы уравнений задачи.
þ План X = (х₁, х₂, ..., х_n) называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов P_j, входящих в разложение (5.6) с положительными коэффициентами x_j, линейно независима.
Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т.е. для одного из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.
Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме стандартной, содержит не более двух переменных или задача, записанная в форме основной, содержит не более двух свободных переменных. Haйдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:
F=c₁x₁ + с₂х₂                                        (5.8)
при условиях:
a_i1x₁+a_i2x₂ £ b_i (i=1, k)                                 (5.9)
x_j ³ 0 (i=1,2)                                      (5.10)
Каждое из неравенств (5.9), (5.10) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми a_i1+a_i2=b_i (i=1, k), x₁=0 и x₂=0. В этом случае, если система неравенств (5.9), (5.10) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям.
þ Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то областью допустимых решений (ОДР) задачи (5.8)-(5.10) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.
Таким образом, исходная задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки области допустимых решений, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин ОДР целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим линию уровня c₁x₁+c₂x₂=h (где h - некоторая постоянная), проходящую через ОДР, и будем ее передвигать в направлении вектора C=(с₁; с₂) до тех пор, пока она не пройдет через последнюю ее общую точку с многоугольником ОДР. Координаты указанной точки и определяю оптимальный план данной задачи.
При нахождении решения задачи могут встретиться случаи, изображенные на рис. 5.1-5.4. Рис. 5.1 характеризует такой случай, когда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке А. Из рис. 5.2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка АВ. На рис. 5.3 изображен случай, когда целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений, а на рис. 5.4 - случай, когда система ограничений задачи несовместна.
Oтметим, что нахождение минимального значения линейной функции при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тex же ограничениях лишь тем, что линия уровня c₁x₁+c₂x₂=h передвигается не в направлении вектора С, а в противоположном направлении.

Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения.
Тот факт, что оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника ОДР, позволяет сделать еще два важных вывода:
À если оптимальным решением являются координаты вершины многоугольника ОДР, значит, сколько вершин имеет ОДР, столько существует целевых функций и столько оптимальных решений по этим функциям может иметь задача.
Á поскольку, чем больше ограничений имеет задача, тем больше вершин, тo, следовательно, чем больше целевых функций и, следовательно, тем больше оптимальных решений по этим функциям.
Из рисунков можно сделать вывод, что вершина, координаты которой являются оптимальным решением, определяются углом наклона прямой, описывающей целевую функцию. Значит, каждая вершина будет соответствовать оптимальному решению для некоторой целевой функции. Итак, нахождение решения задачи линейного программирования (5.8)-(5.10) на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы.
этапы нахождения решения задачи линейного программирования:
À Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (5.9) и (5.10) знаков неравенств на знаки точных равенств.
Á Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
 Находят многоугольник решений (ОДР).
à Строят вектор C=(с₁; с₂).
Ä Строят прямую c₁x₁+c₂x₂=h, проходящую через многоугольник решений.
Å Передвигают прямую c₁x₁+c₂x₂=h в направлении вектора С, в результате чего-либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов.
Æ Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
5.3.  Графическое решение  задачи  распределения  ресурсов
Пусть для двух видов продукции П₁ и П₂ требуются трудовые, материальные и финансовые ресурсы. Наличие ресурсов каждого вида и их нормы расхода, необходимые для выпуска единицы продукции, приведены в табл. 5.1.
Таблица  5.1

Характеристика	Вид продукции		располаг.
	П1	П2	ресурс
Резервы:
трудовые	1	4	14
материальные	3	4	18
финансовые	6	2	27
выпуск	1	1	---
прибыль	4	8,5	---
план	х1	х2	---

составим математическую модель задачи.
                                                             ìx₁+4x₂ £ 14
                                                             ï3x₁+4x₂ £ 18
                                 (5.11)   í6x₁+2x₂ £ 27
                                                             îx₁ ³ 0, x₂  ³ 0.
математическая модель представляет собой систему линейных неравенств. Значит ОДР нашей задачи выпуклый многоугольник. Для удобства построения неравенства можно записать в форме, аналогичной уравнениям в отрезках:
                                                              ìx₁/14+x₂/7/2 £ 1
                                                              ïx₁/6+x₂/9/2 £ 1
                                  (5.12)   íx₁/9/2+x₂/27/2 £ 1
                                                              îx₁ ³ 0, x₂  ³ 0.
Если мы хотим найти оптимальное решение, то должны принять целевую функцию. Допустим, мы хотим, чтобы решение было оптимальным в смысле максимизации суммарного выпуска. Тогда целевая функция:
F=x₁+x₂ ® max                                      (5.13)
Эту зависимость представим в виде x₂= F-x₁. Из графика данного уравнения (Рис. 5.1) следует, что tga = -1, при этом a =135^о, а величина F равна отрезку, отсекаемому прямой функции цели на оси координат. Если прямую перемещать параллельно самой себе в направлении, указанном стрелками, то эта величина будет возрастать. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С (x^*₁; x^*₂). При этом F=F^*.
На основании рассмотренного, можно сделать исключительно важный вывод: оптимальным решением являются координаты вершин ОДР. А из этого вывода следует метод решения задачи линейного программирования.
метод решения задачи линейного программирования:
À Найти вершины ОДР, как точки пересечения ограничений.
Á Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.
 Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное значение, является оптимальной вершиной.
à Координаты оптимальной вершины являются оптимальными значениями искомых переменных.
Если направление целевой функции совпадает с направлением одной из сторон, то у задачи будет, по крайней мере, два решения. В таком случае говорят, что задача имеет  альтернативные решения. А это значит, что одно и то же оптимальное значение целевой функции может быть получено при различных значениях переменных.
Тот факт, что оптимальное решение находится на вершине ОДР, дает еще два очень важных вывода:
À если оптимальным решением являются координаты вершин ОДР, значит, сколько вершин имеет ОДР, столько оптимальных решений может иметь задача.
Á поскольку чем больше ограничений, тем больше вершин, то, следовательно, чем больше ограничений, тем больше оптимальных решений.
Как видно на Рис. 5.1, вершина, координаты которой являются оптимальным решением, определяется углом наклона прямой, описывающей целевую функцию. Значит, каждая вершина будет соответствовать оптимальному решению для некоторой целевой функции. Поясним это на рассмотренном ранее примере. Раньше мы находили оптимальное решение по максимизации суммарного выпуска F₁=x₁+x₂ ® max. Найдем оптимальные решения еще для четырех целевых функций:
F₂=x₂ ® max (максимизация выпуска продукции П₂)
F₃=x₁ ® max (максимизация выпуска продукции П₁)
F₄=4x₁+8,5x₂ ® max (максимизация прибыли)
F₅=(1+3+6)x₁ + (4+4+2)x₂ = 10х₁+10х₂ ® max (минимизация используемых ресурсов).
Для каждой целевой функции, так же как и для F₁, можно построить линию целевой функции и определить вершину, в которой целевая функция будет иметь оптимальное значение. Результаты решения задачи по пяти целевым функциям сведем в таблицу 5.2, из анализа которой можно сделать вывод: координаты каждой вершины могут быть оптимальным решением в некотором смысле.
Таблица  5.2

Целевая функция	Вершина	x1	x2	x1+x2	Прибыль	Используемый ресурс
F1=x1+x2 ® max	C	4	1,5	5,5	28,75	55
F2=x2 ® max	A	0	3,5	3,5	29,75	35
F3=x1 ® max	D	4,5	0	4,5	18	45
F4=4x1+8,5x2 ® max	B	2	3	5	33,5	50
F5= 10х1+10х2	0	0	0	0	0	0

5.4.  Симплексный  метод
Симплексный метод или метод последовательного улучшения плана является одним из основных методов решения задач ЛП. название симплексный метод берет от слова «симплекс», которым создатель метода Р. Данциг обозначил наложенное на переменные x₁, x₂ ... x_n ограничение x₁+x₂+ ... +x_n=1.
þ В математике симплексом в k-мерном пространстве называется совокупность k+1 вершин.
Так для плоскости при k=2 симплексом будет треугольник; в пространстве при k=3 симплексом будет тетраэдр, имеющий 4 вершины.
С учетом этого понятия аналитический метод решения задачи ЛП называют симплекс-методом. Он основан на алгоритме направленного перебора вершин. Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается.
þ Определение значения целевой функции и переменных в одной вершине считается итерацией.
Число итераций в реальных задачах может измеряться сотнями. Вручную, с помощью симплекс-метода, могут быть решены задачи, содержащие не более 10 итераций. Поэтому в реальных задачах применяют ЭВМ и пакеты прикладных программ (ППП).
Метод решения задач ЛП с помощью симплексных таблиц изложен на конкретном примере. Пусть требуется найти неотрицательное решение системы линейных неравенств:
                                                                ì4x₁+9x₂ £ 56
                                   (5.14)  í5x₁+3x₂ £ 37
                                                                î-x₁+2x₂ £ 2
обращающее в максимум линейную форму:
¦=3x₁+4x₂                                            (5.15)
Вначале перейдем от системы неравенств (5.14) к системе уравнений, добавив к левым частям неравенств неотрицательные переменные x₃, x₄, x₅. Мы получим:
                                                     ì4x₁+9x₂+x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅=56
                           (5.16)  í5x₁+3x₂+0 ^. x₃+x₄+0 ^. x₅=37
                                                     î-x₁+2x₂+0 ^. x₃+0 ^. x₄+ x₅=2
¦= 3x₁+4x₂+0 ^. x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅                            (5.17)
перепишем теперь систему (5.16) в виде системы 0-уравнений:
                                                    ì0=56 - (4x₁+9x₂+1 ^. x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅)
                          (5.18)  í0=37 - (5x₁+3x₂+0 ^. x₃+1 ^. x₄+0 ^. x₅)
                                                    î0=2 - (-x₁+2x₂+0 ^. x₃+0 ^. x₄+1 ^. x₅)
¦=0 - (-3x₁-4x₂-0 ^. x₃-0 ^. x₄-0 ^. x₅)                         (5.19)
заметим, что система (5.18) может быть записана в виде одного векторного равенства:
0=B-(A₁x₁+A₂x₂+A₃x₃+A₄x₄+A₅x₅),
где вектор-столбец В имеет своими компонентами свободные члены, а векторы A₁, A₂, ... , A₅ - коэффициенты при соответствующих переменных x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. Иными словами:

	56			4			9			1			0			0
В=	37		A1=	5		A2=	3		A3=	0		A4=	1		A5=	0
	2			-1			2			0			0			1

Линейная форма имеет вид: ¦=3x₁+4x₂+0 ^. x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅.
Векторы A₃, A₄, A₅ образуют базис. Это означает, что, присвоив х₁=0, х₂=0, получаем из (5.16) первое базисное решение: x₁=0; x₂=0; x₃=56; x₄=37; x₅=2.
При этом значение линейной формы ¦=0. На основании (5.18) строим первую симплексную таблицу.
Симплексная  таблица  строится  следующим  образом:
В заглавной строке пишем последовательно векторы B, A₁, A₂, A₃, A₄ , A₅. Слева добавляем колонку «Базисные векторы», рядом с ней колонку «С», в которой поставлены коэффициенты при базисных переменных в линейной форме, в данном случае величины С₃, С₄, С₅. В последней строке, называемой индексной, и обозначаемой через ¦ j-С_j, проставляются числа, равные значению линейной формы, в соответствием с уравнением (j=1, 2, 3, 4, 5). В итоге мы имеем таблицу 5.3.
Таблица  5.3.

Базисные	Коэффициенты	Вектор свободных	3	4	0	0	0
векторы	линейной формы С	членов В	A1	A2	A3	A4	A5
A3	0	56	4	9	1	0	0
A4	0	37	5	3	0	1	0
A5	0	2	-1	2	0	0	1
Индексная строка  ¦ j-Сj		0	-3	-4	0	0	0

Это первая симплексная таблица, соответствующая первому базисному решению: x₁=0; x₂=0; x₃=56; x₄=37; x₅=2.  Значение линейной формы, равное нулю, мы записываем в первой клетке индексной строки.
Т.к. мы решаем задачу на максимум, то из выражения линейной формы  видно, что имеет смысл увеличить x₁ или x₂. Действительно, коэффициенты при этих переменных в скобках отрицательны (а по существу положительны), и если мы положим x₁>0 или x₂>0, то значение ¦ увеличится. Но эти же коэффициенты с их знаками стоят в индексной строке.
Итак, мы приходим к следующему выводу: наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено, и то, что от табл. 5.3 надо  перейти к следующей.
Переход к новой таблице, т.е. к новой улучшенной программе осуществляем следующим способом: в индексной строке находим наибольшее по абсолютному значению отрицательное (а при задаче на минимум - наибольшее положительное) число. В нашем примере этим числом будет - 4. Найденное число определяет ведущий или ключевой столбец. Затем мы делим свободные члены на положительные элементы ведущего столбца и выбираем из полученных отношений наименьшее. Наименьшее отношение определяет ведущую строку. В данном случае имеем:
                                       
Таким образом, ведущей строкой будет строка A₅. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки стоит разрешающий элемент. В нашем случае - это число 2.
Теперь мы приступаем к составлению второй таблицы или второго плана. Вместо единичного вектора A₅ мы в базис вводим вектор A₂. Переход к новому базису, как это известно, эквивалентен элементарному преобразованию матрицы, элементами которой служат числа табл. 5.3. А именно: в новой таблице элемент строки, соответствующий элементу ведущей строки прежней таблицы, равен этому элементу ведущей строки, разделенному на разрешающий элемент. чтобы получить любой другой элемент новой симплексной таблицы, нужно от соответствующего элемента прежней таблицы отнять произведение элемента ведущей строки на элемент ведущего столбца, разделенное на разрешающий элемент. Например, элементу 4  (табл. 5.3)  будет  соответствовать  элемент  табл. 5.4:
                                         
Таким образом, мы переходим ко второй таблице (таблица 5.4). Указанные выше преобразования относятся к столбцам B, A₁, A₂, A₃, A₄ , A₅.
Таблица  5.4.

Базисные	Коэффициенты	Вектор свободных	3	4	0	0	0
векторы	линейной формы С	членов В	A1	A2	A3	A4	A5
A3	0	47	17/2	0	1	0	-9/2
A4	0	34	13/2	0	0	1	-3/2
A5	4	1	-1/2	1	0	0	1/2
Индексная строка  ¦ j-Сj		4	-5	0	0	0	2

Из табл. 5.4  видно, что значение линейной формы возросло и теперь равно 4. Однако наличие в индексной строке отрицательных чисел свидетельствует о том, что это значение еще можно увеличить. Переходим к следующей симплексной таблице. число «5» определяет ведущий столбец. Находим ведущую строку. Для этого определяем:
                         
Итак, разрешающим элементом будет 13/2. Вектор A₄  выводим из базиса и вводим вместо него вектор A₁. Пересчет коэффициентов осуществляем по указанным выше правилам и получаем таблицу 5.5.
Таблица  5.5

Базисные	Коэффициенты	Вектор свободных	3	4	0	0	0
векторы	линейной формы С	членов В	A1	A2	A3	A4	A5
A3	0	33/13	0	0	1	-17/13	-33/13
A1	3	68/13	1	0	0	2/13	-3/13
A2	4	47/13	0	1	0	1/13	5/13
Индексная строка  ¦ j-Сj		392/13	0	0	0	10/13	11/13

В индексной строке нет отрицательных элементов. Следовательно, мы получим оптимальную программу. Оптимальное решение:
x₁=68/13;  x₂=47/13;  x₃=33/13;  x₄ = x₅ = 0.
5.5.  Анализ  симплекс-таблиц
Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий круг вопросов, возникающих при планировании, проектировании и в ходе управления производством. Так на этапе планирования целесообразно находить варианты плана при различных вариантах номенклатуры, ресурсов, целевых функций и т.д.
При оперативном управлении решается достаточно широкий и важный круг вопросов, которые возникают при ежедневном обеспечении производственного процесса. Мы рассмотрим лишь те вопросы оперативного управления, которые могут быть решены с помощью моделей, уже составленных при планировании. «Что будет, если пять человек из числа трудовых ресурсов отвлекут на другие работы? Что будет, если сырья поставят на 20% меньше? Какую продукцию следует выпускать, если изменились цены?» Рассмотрим, как находить ответы на эти вопросы на конкретном примере.
Допустим, предприятие должно выпускать продукцию четырех видов: П₁,П₂,П₃,П₄, используя для этого три вида ресурсов. Располагаемые ресурсы, нормы расходов материалов и прибыль приведены в Таблице 5А.
ТАБЛИЦА  5А

Элемент	Вид продукции				Располагаемый
модели	П1	П2	П3	П4	ресурс
Ресурсы:
трудовые	1	1	1	1	16
сырье	6	5	4	3	110
оборудование	4	6	10	13	100
Прибыль с единицы продукта	60	70	120	130	---
План	х1	х2	х3	х4	---

                                                              ìx₁ + x₂ + x₃+ x₄  £ 16
                                                              ï6x₁ + 5x₂ + 4x₃+ 3x₄  £ 110
                                  (5.20)   í4x₁ + 6x₂ + 10x₃+ 13x₄ £ 100
                                                              îx_j ³ 0, j  ³ 1,4.
F = 60x₁ + 70x₂ + 120x₃ + 130x₄ ® max
От системы неравенств (5.20) перейдем к системе уравнений. Для этого, в каждое неравенство добавим по одной дополнительной переменной: y_i ³ 0, i  ³ 1,m. Тогда получим систему уравнений:
                                                              ìx₁ + x₂ + x₃+ x₄ + y₁ =16
                                                              ï6x₁ + 5x₂ + 4x₃+ 3x₄  + y₂ =110
                                  (5.21)   í4x₁ + 6x₂ + 10x₃+ 13x₄ + y₃ =100
                                                              îx_j ³ 0, j = 1,4; y_i ³ 0, i = 1,3.
F = 60x₁ + 70x₂ + 120x₃ + 130x₄ ® max
Затем перепишем систему (5.21) в следующем виде:
                                                              ì y₁ =16 - (x₁ + x₂ + x₃+ x₄)
                                                              ï y₂ =110 - (6x₁ + 5x₂ + 4x₃+ 3x₄)
                                  (5.22)   í y₃ =100 - (4x₁ + 6x₂ + 10x₃+ 13x₄)
                                    î F = 0 - (-60x₁ - 70x₂ - 120x₃ - 130x₄)
Систему (5.22) можно представить в виде Таблицы 5В, которую составляют следующим образом: свободные переменные, заключенные в скобки, выносят  в верхнюю строку таблицы. В остальные столбцы записывают свободные члены и коэффициенты перед свободными переменными. Эта, так называемая симплекс таблица, служит основой для решения задач линейного программирования. В этой таблице переменные, являющиеся свободными, в данном случае x₁, x₂, x₃, x₄ по условию равны 0. Поскольку свободные переменные равны 0, то из системы (5.22) видно, что базисные переменные y₁, y₂, y₃, а также целевая функция F, которую записывают снизу, равны свободным членам. Значит y₁=16, y₂=110, y₃=100, F=0.
ТАБЛИЦА  5В

Величина	Свободный	Свободные переменные
	член	х1	х2	х3	х4
Базисные переменные:
y1	16	1	1	1	1
y2	110	6	5	4	3
y3	100	4	6	10	13
Индексная строка (F)	0	- 60	- 70	- 120	- 130

Напомним, что в системе (5.21) общее число переменных N=n+m, где n - число основных переменных, m - число дополнительных переменных. Все переменные можно подразделить с одной стороны на основные и дополнительные, а с другой - на базисные и свободные.
þ Свободными переменными будем называть такие, которые равны 0.
Из теории известно, что n переменных в допустимом решении должны быть равны 0 , т.е. столько же переменных, сколько и основных. Однако, из этого ни в коей мере не следует, что нулю равны все основные переменные. Если из общего числа переменных N=n+m будут свободными n переменных, то очевидно, что m переменных будут базисными, т.е. не равны нулю. С учетом введенных терминов можно сказать, что целью решения задачи ЛП является нахождение базисных и свободных переменных.
Для задачи ЛП, записанной в виде симплекс таблицы, можно сформулировать признаки допустимого и оптимального решений. Решение является допустимым, если в симплекс таблице в столбце свободных членов все значения, относящиеся к базисным переменным будут неотрицательными. Оптимальное значение, как мы знаем, может либо минимизировать, либо максимизировать значение целевой функции. В связи с этим, для оптимальных значений есть два признака: один для случая минимизации целевой функции, другой - для случая максимизации.
Целевая функция имеет минимальное значение, если, во-первых, решение является допустимым, т.е. свободные члены будут неотрицательными, а во=вторых, все элементы в строке целевой функции (свободный член не рассматривается) будут неположительными. При этом целевая функция равна свободному члену. Таким образом можно сделать вывод, что в Табл. 5В получено оптимальное решение нашей задачи для случая минимизации целевой функции.
Действительно, если x₁= x₂= x₃= x₄ = 0 мы никакой продукции не выпускаем и при этом прибыль F=0. Дополнительные переменные y₁, y₂, y₃, показывающие объем неиспользованных ресурсов, равны, соответственно: 16, 110,100, т.е. тому ресурсу, который имеется в наличии. В самом деле, мы ничего не выпускаем, но не тратим ресурсы. Следовательно, данные в Табл. 5В соответствуют такой вершине ОДР, в которой целевая функция принимает минимальное значение.
Признак максимизации целевой функции формируется следующим образом: целевая функция имеет максимальное значение, если, во-первых, решение является допустимым, а во-вторых, все элементы в строке целевой функции (свободный член не рассматривается) будут неотрицательными.
Поскольку Табл. 5В не удовлетворяет данному признаку, то необходимо перейти к другой вершине ОДР. Переход от одной вершины к другой, производится по определенному алгоритму симплекс-метода, который заключается в обмене переменных.
þ Каждый переход от одной вершины к другой, который называется итерацией, состоит в том, что одна базисная переменная приравнивается к нулю, т.е. переходит в свободную, а одна свободная переменная переводится в базисную.
На каждой итерации проверяют удовлетворение признаков допустимого и оптимального решений. Такая процедура продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены оба признака. Применительно к нашей задаче переходим к следующей симплекс-таблице, полученной после первой итерации.
Переход к новой таблице осуществляем следующим способом: в индексной строке, где находится целевая функция находим наибольшее по абсолютному значению отрицательное число. Найденное число определяет ведущий столбец. Затем мы делим свободные члены на положительные элементы ведущего столбца и выбираем из полученных отношений наименьшее. Наименьшее отношение определяет ведущую строку. В нашем случае имеем:

Таким образом, ведущим столбцом будет столбец х₃, а ведущей строкой  будет строка y₃. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки будет разрешающий элемент. В нашем случае это число 10. Таким образом, ведущей строкой будет строка y₃, обозначим ее через A_r. Ведущим столбцом будет столбец х₄, обозначим его через A_k, и, следовательно, разрешающий элемент A_rk = 10.
Теперь приступаем к составлению второй таблицы. В этой таблице элементы направляющей строки равны этому элементу ведущей строки, деленному на разрешающий элемент, и находятся в соотношении:

Элементы любой другой строки j находят из соотношения:

Т.е. чтобы получить любой другой элемент новой симплексной таблицы, нужно от соответствующего элемента прежней таблицы отнять произведение элемента ведущей строки на элемент ведущего столбца, разделенное на разрешающий элемент.
После этих преобразований новая симплексная таблица после первой итерации примет вид Таблицы 5С.
ТАБЛИЦА  5С

Величина	Свободный	Свободные переменные
	член	х1	х2	х3	х4
Базисные переменные:
¬ y1	6	0,6	0,4	0	- 0,3
y2	70	4,4	2,6	0	- 2,2
¬ y3	10	0,4	0,6	1	1,3
Индексная строка (F)	1200	- 12	2	0	26

В Табл. 5С в индексной строке только один отрицательный элемент, следовательно, ведущим столбцом будет х₁, а ведущую строку определяем по наименьшему отношению:

Т. о. Ведущей строкой будет y₁, а разрешающим элементом число 0,6.
Применительно к нашей задаче последняя симплекс-таблица, полученная после второй итерации, будет иметь вид:
ТАБЛИЦА  5D

Величина	Свободный	Свободные переменные
	член	х1	х2	х3	х4
Базисные переменные:
х1	10	5/3	2/3	- 1/6	- 1/2
y2	26	-22/3	- 1/3	1/3	0
х3	6	- 2/3	1/3	1/6	3/2
Индексная строка (F)	1320	20	10	10	20

Из этой таблицы видно, что в столбце свободных членов все элементы положительные. Значит решение является допустимым. В строке целевой функции все элементы тоже положительные. Следовательно, это решение оптимальное и максимизирует целевую функцию. При этом оптимальным планом будут следующие величины: х₁^*=10, х₃^*=6 (значит, они - базисные) и х₂^*=х₄^*=0 (т.к. они свободные). При этом целевая функция F=1320.
Вот результат решения задачи. Однако, с помощью симплекс-таблицы можно узнать еще много полезных сведений. Так их этой же таблицы видим, что свободные переменные y₁=y₃=0, а базисная переменная y₂=26. А это значит, что в оптимальном плане резервы трудовых ресурсов и оборудования равны нулю. Иными словами, эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем резерв ресурсов сырья y₂=26, что свидетельствует о том, что имеются излишки сырья. Вот какие полезные сведения можно получить из окончательной симплекс-таблицы.