Академия  России
Кафедра Физики
Лекция
Переходные процессы в колебательных контурах

 

 

 

Орел 2009

Содержание
Вступление
Переходные колебания в параллельном контуре
Свободные колебания в параллельном контуре
Режимы переходных колебаний в колебательных контурах
Переходные колебания  при гармоническом воздействии
Литература

Вступление
Колебательные контуры составляют значительную часть аппаратуры связи. Они могут выполнять самые различные функции: например, участвовать в выделении гармонических колебаний из последовательности видеоимпульсов, в формировании прямоугольных импульсов заданной длительности и др. На практике довольно распространен случай, когда на контур действует прямоугольный импульс (рис. 1).

Рис. 1

Если предположить , то нетрудно видеть, что при  в контуре будет наблюдаться режим переходных колебаний, а с момента  – свободные колебания за счет запасенной реактивными элементами энергии. Рассмотрим оба этих случая на примере параллельного контура.

Переходные колебания в параллельном контуре
Пусть на параллельный контур, находящийся при ННУ, в момент  действует перепад тока величиной . Требуется определить реакцию – временную зависимость напряжения на контуре (рис. 2а).

а)                                                                          б)
Рис. 2
Для нахождения  воспользуемся операторной схемой замещения, показанной на рис. 2,б. Найдем :

где  – есть коэффициент затухания;
 – частота собственных незатухающих колебаний.
Воспользуемся таблицей соответствий (Л.0.1, стр. 222):
,
где  – частота собственных затухающих колебаний.
График имеет вид:

Рис. 3
Свободные колебания в параллельном контуре
Пусть в момент  в схеме, показанной на рисунке 4а гасится источник тока . Требуется определить временную зависимость напряжения на контуре.
Примечание: Такая задача возникает после окончания действия прямоугольного импульса (рис. 1) на контур.
   
а)                                            б)                                      в)
Рис. 4
Для определения начальных условий изобразим эквивалентную схему (рис. 4б) для момента времени, непосредственно предшествующего коммутации. При этом для постоянного тока индуктивность представляется коротким замыканием, а емкость – обрывом цепи. Легко видеть, что до момента гашения весь ток источника будет проходить через индуктивность. Поэтому , .
В операторной схеме (рис. 4б) индуктивность отображена схемой замещения с источником тока. Нахождение здесь  отличается от предыдущего случая (рис. 2б) лишь направлением операторного источника тока. Следовательно, можно записать:
.
График данной зависимости будет зеркальным отображением зависимости (*), полученной для переходного процесса (рис. 5).

Рис. 5
Можно показать, что аналогичные результаты получаются при анализе переходных и свободных колебаний в последовательном контуре.
Отметим две особенности полученных выражений:
– во-первых, колебания носят гармонический характер, на что указывает множитель гармонической функции ;
– во-вторых, амплитуда полученных колебаний изменяется во времени по экспоненциальному закону .
Очевидно, что вид графиков найденных функций будет зависеть от величины коэффициента затухания  и его соотношения с  поскольку последним определяется величина .
Поэтому в зависимости от  и  различают несколько режимов колебаний. Рассмотрим их подробней применительно к параллельному контуру.
Режимы переходных колебаний в колебательных контурах
Ранее было получено выражение  для напряжения на контуре при ступенчатом воздействии:
,
где .
Для удобства изложения последующего материала выразим коэффициент затухания и частоту , через добротность:
.
В зависимости от величины  (или добротности ) будем различать четыре режима колебаний: колебательный, квазиколебательный, критический и апериодический.
а) Колебательный режим.
Этот режим получается в контуре без потерь (идеальный контур), т. е. в чисто теоретическом случае:   .
Выражение  принимает вид:
.
График полученного выражения показан на рисунке 6.

Рис. 6
б) Квазиколебательный режим.
Режим, который используется в подавляющем большинстве случаев.
Он получается при   .
Для построения графика (рис. 7) используем выражение:
,
где  – амплитуда напряжения, убывающая по экспоненциальному закону.

Рис. 7
Длительность переходных колебаний может быть найдена из условия, что амплитуда напряжения будет менее 5% от своего максимального значения, т. е.:
, откуда .
Отсюда можно сделать вывод, что чем выше добротность контура  (или чем меньше полоса пропускания ), тем более длительным будет переходный процесс.
Частота затухающих колебаний , однако это отличие незначительно. Действительно при средней добротности ( ), например , имеем: .
в) Критический режим.
Он возникает, когда   .
В этом случае  и  получается неопределенность .
Раскроем ее:
.
Выражение для  принимает вид:
.
График этой функции начинается и заканчивается нулем, не пересекает ось времени. Исследуем его на экстремум:
.
Экстремальные точки найдем из условия:
,
при этом:
.
График напряжения в рассматриваемом режиме показан на рисунке 8.

Рис. 8
г) Апериодический режим.
Такой режим получается при  ( ), откуда следует, что  будет комплексной и не имеет физического смысла. График напряжения при этом будет менее выраженным, чем при критическом режиме (пунктир на рисунке 8).
Вывод: изменяя добротность контура (например, с помощью шунтирующего сопротивления) можно изменять длительность и вид колебательного процесса.
Задание: Самостоятельно начертить график квазиколебательного процесса при воздействии на контур прямоугольного импульса.
Переходные колебания в параллельном контуре при гармоническом воздействии
Пусть на параллельный контур с резонансной частотой  (рис. 9,а) находящийся при нулевых начальных условиях, в момент  действует гармоническое колебание, частота которого совпадает с :
.
Требуется определить закон изменения напряжения на контуре.
Задачу решим в операторной форме, для чего перейдем к схеме замещения, показанной на рисунке 9,б.

а)                                                                б)
Рис. 9
По таблице соответствий воздействие  имеет изображение:
.
Определим операторную проводимость контура:
,
где  и  определены ранее.
По закону Ома в операторной форме имеем:
.
Поскольку в таблице соответствий нет нужной формулы для перехода во временную область, то данное выражение следует преобразовать.
Для этого воспользуемся теоремой разложения и методом неопределенных коэффициентов. Представим правильную дробь 4‑го порядка в виде суммы двух правильных дробей 2‑го порядка:
,
где ,  ,  ,   — коэффициенты, подлежащие определению.
Если данное выражение привести к общему знаменателю, раскрыть скобки в числителе и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , то получим систему 4‑х уравнений с 4‑мя неизвестными.
Решая систему уравнений имеем: ; ; .
Теперь полученное выражение можно записать в виде:

и использовать таблицу соответствий.
По таблице соответствий находим оригинал:
.
Предполагая, что контур имеет добротность, при которой ,  и, пренебрегая произведением  как очень малой величиной, получим:
.
Из формулы следует, что процесс установления гармонического напряжения в контуре до амплитудного значения  происходит  не мгновенно, а за конечное время, определяемое множителем .
Если процесс установления колебаний в контуре считать законченным при достижении напряжением величины более 95% от максимальной, то можно определить :
; .
 Видно, что время установления зависит от добротности контура: чем выше добротность, тем дольше происходят в контуре переходные процессы. На рисунке 10 показаны графики переходных колебаний при различных добротностях контура. 

Рис. 10

В радиотехнических устройствах (например, в радиоприемниках) на параллельный контур обычно действуют гармонические колебания в виде радиоимпульсов с прямоугольной огибающей.
При этом чтобы напряжение на контуре достигло своего максимального значения, необходимо выполнять условие: .
Отсюда, зная длительность радиоимпульсов, можно рассчитать минимальную полосу пропускания контура:
, или его добротность:  .

Литература

Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986,
 Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: 1981