Лекция 7




 Плоские электромагнитные

волны
7.1. Понятие  волнового процесса.

7.2. Плоские волны в идеальной среде.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.

7.5. Поляризация ЭМВ.
7.1. Понятие волнового процесса.
         Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ?

  Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:

1.   Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ.

2.   Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость света.

3.   Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.

4.   Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.

         Под  волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.




 7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.




          Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

                      ®          ®

(7.2.1.)      rot H = j we_a E       ü   Используем для анализа

                      ®              ®    ý    1 - е и 2 - е уравнения

(7.2.2.)      rot E = - j wm_a H    þ    Максвелла
        Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е.   в    пространстве   за        пределами

                                                                                  ®   ®

зарядов  и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.
                                                  ®

Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):

                      ®                        ®

                      E = () rot H

                                                  ®               ®

                      () rot (rot H) = - jwm_a H

                                 ®                ®        ®

                      rot rot H = grad div A - Ѳ H

                                    

                                   ®       ®                ®

                      grad div H - Ѳ H = w² e_am_a H

                            ®

           т.к.     div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла
                                ®       ®          

                           Ѳ H + k² H = 0 однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.3.)

                                                             

                           k² = w²m_ae_a                             
Точно    так    же    из    второго   уравнения получаем

                                      ®

уравнения для вектора Е:

®                 ®           

                              Ѳ E + k² E = 0 - однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.4.)

 В развернутом виде запишем уравнения:
                    () +() +() + k² H = 0           (7.2.5.)
Решать  такое  уравнение  трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.




r₁ » r₂ » r₃

т.к.  источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из  физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате  y, х нет, т.е.:
= = 0
                                    () + k² H = 0                      (7.2.6.)
Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:
                   H(z) = A e ^{- jkz} + B e ^jkz    ®  в обычной форме
                   H(z,t) = e ^jwt (A e ^{- jkz} + B e ^jkz) ® если поле зависит от времени.

                   ®          ®                           

                   H(z,t) = h    ®  означает, что поле векторное.

                    ®          ®

               H(z,t) = h [A e ^j(wt-kz) + B e ^j(wt+kz)]       (7.2.7.)
Выделим составляющую поля c амплитудой А:

               ®           ®

               H_a(z,t) = h A e ^j(wt-kz)  -  в комплексной форме.

                                                            (7.2.8.)

Выделим из комплексного выражения действительную часть:

    ®                                      ®

    H_a^реал(z,t) = Re H_a(z,t) = h A cos(wt - kz)          (7.2.9.)




Фотография процесса в момент времени t = t₁, t = t₂. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:
                   Ф₁ = wt₁ - kz₁     ;      Ф₂ = wt₂ - kz₂         (7.2.10.)
Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф₁ = Ф₂
                   wt₁ - kz₁ = wt₂ - kz₂
                   k (z₂ - z₁) = w (t₂ - t₁)
= V_ф - называется фазовой скоростью волны.

                     k = w Ö e_a m_a

                                    

                   V_ф = - зависит от свойств среды, 

                                                 где распространяется ЭМВ.

                   e₀ = 8,85*10 ^–12 ,     m₀ = 4p*10^-7 ,
                                V = 3*10⁸ (7.2.11.)

 l - называют пространственную периодичность волнового процесса.

 l - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.





в т. Z₁               Ф₁ = wt - kz₁
в т.    Z₂            Ф₂ = wt - kz₂
                          Ф₁ - Ф₂ = 2p
                      z₂ - z₁ = = l
                          k =         - волновое число
            V_ф = = f l  Þ   если в вакууме, то

                                                                  V_ф = c

                          V_ф = f l                                                                             (7.2.12.)
Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:

                               ®             ®

                         rot H = j w e_a E

                               ®               ®

                         rot E = - j w m_a H

Спроектируем уравнение на оси координат:

                                               .          .          .

                           ®                i          j          k

                     rot H =                         

                                             H_x        H_y       H_z

-() = jwe_a E_x
= jwe_a E;    
                                0 = jwe_a E_z

                                               ¯

                                               E_z = 0 

-() = - jwm_a H_x    ,      0 = - jwm_aH_z
 = - j wm_a H_y     ,      H_z = 0                                   (7.2.13.)
В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости ^ плоскости распространения:
-() = jwe_aE_x
                           j k H_y = jwe_a E_y

                                (7.2.14.)

       

Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.                                                                                                                   

                                             ®   ®

       Ориентация векторов Е и Н.

                                 

                               ®               ®

Для плоской ЭМВ Е всегда ^ Н.

                                       ®®

Покажем, что величина Е Н = 0:

            ®®                 ®®

            E H = E H cos (E H) = 0
            (i E_x + j E_y) (i H_x + j H_y)

             E_xH_x + E_yH_y­ = Z_c H_yH_x - Z_cH_xH_y = 0

       

             E_x = Z_c H_y      ;                 E_y = - Z_c H_x

             ®     ®

             E  ^  H       всегда в плоской ЭМВ


             ®    ®

             H = y₀ A e ^j(wt-kz)               общая запись

             ®    ®                                  плоской ЭМВ.          

             H = x₀ A Z_c e ^j(wt-kz)                                                                (7.2.15.)
   Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются

                                                              ®   ®

2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?





                     

                        

                         ®                  ®   ®

                         П_ср = () Re [E *H^*]

Итоги:                    ®       ®

1.Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)

2.   Отношение = Z_c  определенная величина в случае вакуума  Z_c = 120 p. Плоская ЭМВ однородная.

3.   Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.

4.   У плоской ЭМВ   E_z = 0  , H_z = 0.

7.4. Групповая скорость плоских волн





    Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?




                                               w
                                                                      w

                                      w₁              w₂        w₃
    В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью  w₁ w₂ w₃. С какой скоростью передается сигнал ?

    Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:

             

                   y₁ = A cos (w₁t - k₁ Z)
                   y₂ = A cos (w₂t - k₂ Z)                               (7.4.1.)
Рассмотрим сложение двух сигналов:
              y ₌ y₁ + y₂ = A [cos (w₁t - k₁ Z) + cos (w₂t - k₂Z)]
              y = 2A cos ((w₁ -) t - (k₁ -) Z) *
                     *cos ((w₁ +) t - (k₁ +) Z)
             = D w           = w₀

          

              = D k            =  k₀
                D w <<  w₀                        D k << k₀

 

            y = 2 A cos  (D wt - D k Z)    cos  (w₀t - k₀Z)   (7.4.2.)

                          -----------------------   -------------------

      описывает медленно описывает быстро изменяющийся   волновой процесс.




При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в пространстве фронт max амплитуд.

в т.  Z₁ , t₁   Þ  Ф₁ = D wt₁ - D kZ₁  ,

в т.  Z₂ , t₂   Þ  Ф₂ = D wt₂ - D k Z₂
                   Ф₁ = Ф₂  Þ  D wt₁ - D kz₁ = D wt₂ - k DZ₂
                             Dk (Z₂ - Z₁) = Dw (t₂ - t₁)
=V_гр

                      = V_гр        Þ                                 (7.4.3.)
V_гр по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с групповой скоростью связано перемещение энергии:
                          V_гр £ c             V_ф >< c
V_ф  связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.

V_ф - скорость изменения состояния фазового фронта.


Пример: 
                           Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.
7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн




Под поляризацией будем понимать заданную в

                                                                ®        ®

пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида      поляризации:        линейную    (вектор Е и Н ориентирован   всегда вдоль    одной    линии    прямой),

                                                        ®         ®

круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).

Возьмем два ортогональных колебания:

                             Е_х = А cos (wt - kz)
                             E_y = B cos (wt - kz + j)             (7.5.1.)
j - показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.

Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?

1)  А ¹ В  амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.

   y                                  (j = 0)

                                         _____    ___________

  в                              E = Ö E²_x + E²_y = Ö A² + B² cos (wt-kz) 
       _q                                      

q = arctg = arctg ()                                                                               (7.5.2.)

                            

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом.

2)     А = В  ;    j = ± (p/2)

Два ортогональных колебания по определению:

 

q = arctg () = arctg=
= arctg ± tg (wt - kz) = ± (wt - kz)
Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом ± p/2  дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией).




                             
         ___________     _____________________________

E =Ö½E²_x½+½E²_y½=ÖA²cos² (wt - kz) + A²sin² (wt - kz) = A
                                           E = A
Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.

3) В общем случае, когда А ¹ В, и фазы разные, вектор

®       ®

Е или Н вращается по эллипсу.
Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление.




         1                  2                 3                   4                 5
         Явление поляризации широко используется на практике. Все  приемные устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация - режим передачи, горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации.