Лекция

Лекция Показатели надежности восстанавливаемого объекта

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.4.2025



Лекция 13

НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ


1. Постановка задачи. Общая расчетная модель

 

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:
  • экспоненциальное распределение наработки между отказами;
  • экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t
0
вероятность состояния системы в будущем (t > t
0
) зависит только от состояния в настоящем (t  = t
0
) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

 

t < t
0


t  > t
0


 



 

Для марковского процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S
1 , S
2 , … , S
n
, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями  S
1 , S
2 , … , S
n
.

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S
1 , S
2 , … , S
n )
– возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

 



 

 

S
0
– работоспособное состояние;

S
1
– состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

- исправное состояние продолжается;

- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S
1 , S
2 , … , S
n .
Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

 

P
1
(t), P
2
(t), … , Pi(t), … , P
n
(t)
,

 

где Pi(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.

 

Pi(
t) =
P{
S(
t) =
si}.


 

Очевидно, что для любого t

 



(1)

 

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S
1 , S
2 , … , S
n
нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

 



(2)

 

 



 

 

В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а)  в левой части – производная по времени t от Pi(t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

 

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний  P
1(t), Pi(t), … , P
n(t)
необходимо задать начальное значение вероятностей

P
1(0), Pi(0), … , P
n(0)
,   при  t = 0,

сумма которых равна единице:

 



 

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi(0) = 1, а остальные равны нулю.

 

2. Показатели надежности восстанавливаемых систем

 

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SK SM ,

SK SM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

 



 

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

 



 

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При  t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

 



 

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их  левые части   dPi(t)/dt = 0, т.к.    Pi =
const
при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

 



(3)

 

и коэффициент готовности:

 



 

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4.  Параметр потока отказов  системы

 



(4)

 

где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

 



(5)

 

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

 



(6)

 

Примечание:             При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T
0
= kг
.с
./
,


где  () = .

 



 

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T
0,


а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ T
В ,


где T
0
– средняя наработка  между отказами;

T
В
– среднее время восстановления.

 



 

P
0(t)
– вероятность работоспособного состояния при t;

P
1(t)
– вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

 



(7)

 

Начальные условия: при t = 0 P
0(t = 0) = P
0(0) = 1; P
1(0) = 0,
поскольку состояния S
0
и S
1
представляют полную группу событий, то

 

P
0
(t) + P1(t) = 1. 

(8)

 

Выражая P
0(t) = 1 - P
1(t)
, и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P
1
(t):

 

dP1(t)/dt =   (1 – P1(t))  -  P
1
(t).

(9)

 

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

 



 

т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).

Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:

 



 

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

 

 



(9)

 

где L{
} =
L{1} =
/S
.

При P
1
(0) = 0


 

SP1(S) + P1(S)() = /S.

P
1
(S)( S + ) = /S,

 

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

 



(10)

 

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

 



         

Применяя  обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{
f(
t)} = 1/
S, то
f(
t) = 1;


 

L{
f(
t)} = 1/(
S +
a), то
f(
t) =
e-
at,


 

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

 



(11)

 

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

 



(12)

 

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

 

dPi(t)/dt = 0.

 

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

 



(13)

 

Дополнительное уравнение: P0 + P
1 = 1.


Выражая P
1
= 1 - P
0
, получаем 0 =   P
0
  -  (1 - P
0
), или = P
0
(), откуда

 



(14)

 

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя  П(t)

 

Г
(t) = P
0
(t);         П
(t) = 1 - Г
(t) = P
1
(t)
.

 

- параметр потока отказов (t) по (4)

 

  (t) = P
0(t) = Г(t).


 

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

 

(
t) = () = =
P0 =
kг.с.


 

- ведущая функция потока отказов (t )

 



 

- средняя наработка между отказами (t )

 

t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

 

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

 



 

Рис. 1

 

Анализ изменения P
0(t)
позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности          (= )

 

/ = 0  и   P0(t) = 1.

 

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

 

/ =   и   P0(t) = e-t,

 

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 



 

Система дифференциальных уравнений:

 



 

Начальные условия: P
0
(0) = 1; P
1(0) = 0.


Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

 



 

После группировки:

 



 

откуда

 



 

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:

 



 

3. Связь логической схемы надежности с графом состояний

 

Переход от логической схемы к графу состояний необходим:

1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .

 



 





1. Реферат на тему In The Beginning Was The Word Essay
2. Контрольная работа Темперамент и характер 2
3. Реферат на тему Arhurian Romances Essay Research Paper Chretein de
4. Кодекс и Законы Правотворчество и систематизация
5. Презентация Качество питьевой воды
6. Реферат Ознайомлення дітей з державними символами України та національними символами і оберегами
7. Реферат на тему Epic Of Gilgamesh And The Bible Wisdom
8. Реферат Богдан Хмельницький
9. Реферат Новое время
10. Реферат Фирма и рынок - параметры взаимодействия