Лекция 13

НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

1. Постановка задачи. Общая расчетная модель

 

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:

• экспоненциальное распределение наработки между отказами;
• экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t
₀ вероятность состояния системы в будущем (t > t
₀) зависит только от состояния в настоящем (t  = t
₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

 

 



 

Для марковского процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S
₁ , S
₂ , … , S
_n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями  S
₁ , S
₂ , … , S
_n .

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S
₁ , S
₂ , … , S
_n ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S_i в другое S_j .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

 



 

 

S
0 – работоспособное состояние;

S
1 – состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

- исправное состояние продолжается;

- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S
₁ , S
₂ , … , S
_n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

 

P
1
(t), P
2
(t), … , P_i(t), … , P
n
(t),

 

где P_i(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.

 

P_i(
t) =
P{
S(
t) =
si}.

 

Очевидно, что для любого t

 

(1)

 

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S
₁ , S
₂ , … , S
_n нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

 

(2)

 

 



 

 

В общем случае, интенсивности потоков _ij и _ij могут зависеть от времени t.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а)  в левой части – производная по времени t от P_i(t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

 

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний  P
1(t), P_i(t), … , P
n(t) необходимо задать начальное значение вероятностей

P
1(0), P_i(0), … , P
n(0),   при  t = 0,

сумма которых равна единице:

 



 

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то P_i(0) = 1, а остальные равны нулю.

 

2. Показатели надежности восстанавливаемых систем

 

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

S_M S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = S_K S_M ,

S_K S_M = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

 



 

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

 



 

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При  t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

 



 

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их  левые части   dP_i(t)/dt = 0, т.к.    P_i =
const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

 

(3)

 

и коэффициент готовности:

 



 

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4.  Параметр потока отказов  системы

 

(4)

 

где _jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

 

(5)

 

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

 

(6)

 

Примечание:             При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T
₀
= kг
.с
./
,

где  () = .

 



 

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T
₀,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ T
_В ,

где T
0 – средняя наработка  между отказами;

T
_В – среднее время восстановления.

 



 

P
₀(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P
₁(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

 

(7)

 

Начальные условия: при t = 0 P
₀(t = 0) = P
₀(0) = 1; P
₁(0) = 0, поскольку состояния S
₀ и S
₁ представляют полную группу событий, то

 

P 0(t) + P1(t) = 1.

(8)

 

Выражая P
₀(t) = 1 - P
₁(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P
₁(t):

 

dP1(t)/dt =   (1 – P1(t))  -  P 1(t).

(9)

 

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния P_i(t):

 



 

т. е. P_i(S) = L{P_i(t)} – изображение вероятности P_i(t).

Преобразование Лапласа для производной dP_i(t)/dt:

 



 

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

 

 

(9)

 

где L{
} =
L{1} =
/S .

При P
₁
(0) = 0

 

SP₁(S) + P₁(S)( +  ) = /S.

P
₁(S)( S + +  ) = /S,

 

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

 

(10)

 

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

 



         

Применяя  обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{
f(
t)} = 1/
S, то
f(
t) = 1;

 

L{
f(
t)} = 1/(
S +
a), то
f(
t) =
e^-
at,

 

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

 

(11)

 

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

 

(12)

 

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом P_i(t) = P_i = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

 

dP_i(t)/dt = 0.

 

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

 

(13)

 

Дополнительное уравнение: P0 + P
₁ = 1.

Выражая P
₁ = 1 - P
₀ , получаем 0 =   P
₀   -  (1 - P
₀ ), или = P
₀ ( +  ), откуда

 

(14)

 

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя  П(t)

 

Г
(t) = P
₀ (t);         П
(t) = 1 - Г
(t) = P
₁
(t).

 

- параметр потока отказов (t) по (4)

 

  (t) = P
₀(t) = Г(t).

 

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

 

(
t) = () = =
P0 =
kг.с.

 

- ведущая функция потока отказов (t )

 



 

- средняя наработка между отказами (t )

 

t₀= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

 

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

 



 

Рис. 1

 

Анализ изменения P
₀(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности          (= )

 

/ = 0  и   P0(t) = 1.

 

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

 

/ =   и   P0(t) = e^-t,

 

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 



 

Система дифференциальных уравнений:

 



 

Начальные условия: P
₀ (0) = 1; P
₁(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

 



 

После группировки:

 



 

откуда

 



 

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:

 



 

3. Связь логической схемы надежности с графом состояний

 

Переход от логической схемы к графу состояний необходим:

1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .