Содержание
  Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список

           Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество  с определёнными на нём бинарными операциями  и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.
1)   ;
2)  
3)    
А2.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1)   ;
2)  
3)    
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
  , .
А4.   .
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .
Будем считать пары  и  эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение₁. Элемент  назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .
Обозначим через  множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение₁.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть - делитель нуля, т.е.  для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ▲
Пусть  - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на :  для всех  и .
Предложение₁. Отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца   ;
2. Симметричность: ;
3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Полукольцо  разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим  класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве  всех классов эквивалентности:
 
 т.к. для  , ,  выполнено  отсюда т.к.  получаем  и поскольку  то  следовательно .
Покажем корректность введённых операций:
Пусть , , тогда

▲
Теорема₁.  - коммутативное полукольцо с 1. .
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество  всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
сложение: для  и
1.
2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для   .
Так как
Класс  является нейтральным по +:
 
Из равенства  тогда .
Для    составляет отдельный класс, играющий в  роль нуля.
умножение: для  и
1.
2.

Из равенства правых частей следует, что
3. покажем, что для   .
Пусть
Класс  является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства  тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:


Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что  является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо  называется классическим полукольцом частных полукольца .▲

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь  как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы  неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит  в , где . Аналогично, дробь  определена на идеале  и переводит  в . Эти две дроби эквивалентны, т.е.  они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та  и другая дробь переводят  в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности  одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод можно применить к произвольному  коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение₂. Идеал  коммутативного полукольца  называется плотным, если для  и  выполняется равенство  тогда и только тогда, когда .
Свойства плотных идеалов полукольца :
1⁰  - плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для  выполнено . Положим , тогда . Таким образом  - плотный идеал по определению. ▲
2⁰ Если  - плотный идеал и , то идеал  плотный.
Доказательство:
Если - плотный идеал, то для  из равенства следует . Пусть для  выполнено . Так как по условию  возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем  отсюда . Таким образом  - плотный идеал по определению. ▲
3⁰ Если  и  - плотные идеалы, то  и  - так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для  выполняется . Пусть , где , . Элемент  т.к. , тогда верно равенство  отсюда , т.к.  - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом  - плотный идеал.
Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны  значит . Тогда по 2⁰  - плотный идеал. ▲
4⁰ Если , то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для  и  выполнено  отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение₃.  Дробью назовём элемент , где  - некоторый плотный идеал. (  -  сокращение от  - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )
Таким образом,  - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого  для  и .
Введём так же дроби , положив  и  для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть  и  тогда
,
, .
Покажем, что  является идеалом, где  т.е. сохраняются операции:
1. Если , то .
Пусть , , тогда .
2. Если  и , то . По условию .
Так как  - коммутативное полукольцо, то .
  . Таким образом,  - идеал.
Покажем, что идеал  является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .
По определению сложения и умножения , т.е.  содержит плотный идеал  значит, по свойству 2⁰ идеал  является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу  с нулём и полугруппу  с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство:
1.  По определению сложения и умножения:
, .
,
2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.


5. Дистрибутивность:

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение₄. Будем писать  если  и  согласованы на пересечении своих областей определений, т.е.  для .
Лемма 1.  тогда и только тогда, когда  и  согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если  то  и  согласованы на . По свойству 3⁰ идеал  является плотным. Следовательно,  и  согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть  и  согласованы на плотном идеале . Тогда если  и , то  отсюда в силу плотности идеала ,  для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений  и  является  отсюда следует, что .▲
Лемма 2. Отношение  является конгруэнцией на системе .
Доказательство.
Для того чтобы доказать, что  - конгруэнция, нужно показать:
1. отношение  - рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность:  и  согласованы на плотном идеале .
Симметричность: пусть , т.е.  и  согласованы на .
Транзитивность: пусть  и , т.е.  и  согласованы на плотном идеале
 и  согласованы на плотном идеале . Значит   и  согласованы на идеале , являющемся плотным , и  согласована с  на , тогда      согласована с  на плотном идеале  по Лемме 1
Таким образом,  - отношение эквивалентности.
2. отношение  сохраняет полукольцевые операции.
Ø    Пусть  и , т.е.  для  и  для .
Тогда  и  определены и согласованы на плотном идеале  отсюда по Лемме 1 .
Ø    Пусть  и , т.е.  для  и  для .
Тогда  и  определены и согласованы на плотном идеале  отсюда по Лемме 1 .▲
Теорема₂.Если  - коммутативное полукольцо то система  так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть  полным полукольцом частных полукольца )
Доказательство.
 - разбивает множество дробей  на  непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в  справедливы и в .
Чтобы убедится, что  коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения:  и  согласованы на идеале  покажем, что образы отображений  и  совпадают на этом идеале:
пусть , где .
Тогда .
Областью определения  является . По определению идеала:  то  для , а идеал  (свойство 3⁰) то: . Тогда по определению сложения  отсюда следует . Покажем . По определению
Аналогично .
Тогда:
Таким образом,  где . По свойству 3⁰ - плотный идеал значит  и  согласованы на плотном идеале .
2. Коммутативность.
Отображения  и  согласованы на плотном идеале   докажем что их образы совпадают на этом идеале: .
Доказано ранее, что   пусть элементы  тогда
Отсюда следует, что  и  согласованы на плотном идеале .
Таким образом,  по Лемме 1.
Наконец  сопоставим дробь:  с областью определения   при которой  переходит в .
Предложение₂. Отображение  является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:

Доказательство:
1. Пусть ,  и  где  и .
Нужно показать, что . Покажем равенство образов  и .
Рассмотрим дробь , такую что
 для .     (1)
 С другой стороны рассмотрим дроби  и   , такие что  для .    (2)
Из (1) и (2) следует, что .
По свойству сложения смежных классов:
   для
2. Пусть ,  и  где  и .
Нужно показать, что . Покажем равенство образов  и .
Рассмотрим дробь , такую что
 для .    (3)
 С другой стороны рассмотрим дроби  и   , такие что  для .     (4)
Из (3) и (4) следует, что .
По свойству умножения смежных классов:
   для .
Таким образом  гомоморфизм.
Пусть , тогда
 т.е.  и  согласованы на некотором плотном идеале  значит  для , так как - плотный идеал, то  отсюда  - инъективно.
Поэтому, гомоморфизм  является мономорфизмом и  вкладывается в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм  будем называть каноническим мономорфизмом  в .▲

Глава 3.

Определение₅.Любому мультипликативно сокращаемому элементу  сопоставим плотный идеал . Если , то элемент  назовём классической дробью, полагая  для .
Теорема₃. Множество дробей  образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных  полукольца .
Доказательство:
Рассмотрим отображение , т.е. .
1. Докажем, что  - отображение: если  и , , где , , то .
Имеем
Возьмём элемент  из пересечения плотных идеалов , т.е.  и
Тогда , домножим  на  получим .  Так как  и на  выполняется коммутативность по умножению, то ,  отсюда  для .
2. Докажем, что  является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1


. Покажем, что дробь  согласована с  на плотном идеале .
Пусть , .

для .
Следовательно .
2.2

.
Идеал  содержит , покажем, что  и  согласованы на плотном идеале .
Пусть , . Тогда
 для .
Значит .
Таким образом  - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных  в полное полукольцо частных .
3. Докажем, что  - инъективный гомоморфизм.
Пусть для . Предположим, что дроби  и  согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для  выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на  получим:
т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.
Значит,  является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом  в .
Так как , то , где  - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е.  и . Поскольку  - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм  отсюда следует .
Мономорфизм  называется вложением классического полукольца частных  в полное полукольцо частных  полукольца .▲

Библиографический список

1.                Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
2.                Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
3.                Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.