Методичні підходи до обробки ЕЕГ

1. Параметричні моделі випадкових процесів

Спектральний аналіз – один з методів обробки сигналу, що дозволяє охарактеризувати частотний склад вимірюваного сигналу. Перетворення Фур'є є основою, що пов'язує часовий сигнал з його представленням у частотній області. По одному відрізку сигналу можна одержати тільки оцінку його спектра. Крім того, обмеженість сигналу в часі приводить до зростання ширини його спектра. Це випливає зі співвідношення невизначеності. Воно звучить так: чим менше тривалість імпульсу, тим ширше його спектр. Наприклад, розглядаючи рис. 1 (амплітудний спектр ЕЕГ), важко виділити ритми ЕЕГ.

Рисунок 1 – Амплітудний спектр ЕЕГ

До параметричного опису статистик другого порядку можна прийти, розглядаючи модель часового ряду, що відповідає аналізованому випадковому процесу. Приймаємо, що модель збуджується білим шумом і
має раціональні системні функції. Цей клас моделей включає модель авторегресійного (АР) процесу, модель процесу ковзного середнього (КС) і модель процесу авторегресії – ковзного середнього (АРКС). Вихідні процеси в цих моделях описуються за допомогою параметрів моделі і дисперсії білого шумового процесу.

Основна причина застосування параметричних моделей – одержання більш точних оцінок спектральної щільності потужності (СЩП), ніж при використанні класичних методів класичного оцінювання. Інша важлива причина – більш високе спектральне розрізнювання. Під час використання класичних методів оцінювання відсутні дані за межами вікна неявно вважаються рівними нулю, що призводить до спотворень спектральних оцінок.

Параметричний метод спектрального оцінювання складається з трьох етапів. На першому етапі проводиться вибір параметричної моделі часового ряду. На другому обчислюються оцінки параметрів моделі. На третьому етапі оцінені значення параметрів вводяться у вираз для спектральної щільності потужності, що відповідає обраній моделі. Ступінь поліпшення розрізнювання і підвищення вірогідності спектральних оцінок визначається відповідністю обраної моделі аналізованому процесу і можливістю апроксимації виміряних даних за допомогою декількох параметрів моделі.

Модель часового ряду, що апроксимує аналізований процес, описується виходом фільтра, що виражається таким лінійним різницевим рівнянням:

, (1)

де – послідовність на виході казуального фільтра;

– вхідна збуджуюча послідовність.

Вхідний процес зазвичай недоступний для спостереження. Приймається допущення, що це білий шум з нульовим середнім значенням і дисперсією . Якщо всі КС-параметри, за винятком , дорівнюють нулю, то

. \(2)

Отримуємо АР-процес порядку .

З усіх моделей часових рядів у нашому випадку найбільш придатною є АР-модель, тому що авторегресивні спектри мають гострі піки. Оцінки параметрів АР-моделі можна одержати як розв’язки лінійних рівнянь, у той час, як оцінки СС- і АРСС-параметрів вимагають розв’язку нелінійних рівнянь.

Модифікований коваріаційний метод забезпечує найкращі результати за наявності у даних синусоїдальних компонентів. Цей метод фактично дає оцінки лінійного передбачення, що потім використовується як оцінки АР-параметрів.

За обчисленими оцінками АР-параметрів визначається авторегресивна оцінка спектральної щільності потужності

, (3)

де – інтервал відліків.

Рисунок 2 – Результат спектрального оцінювання ЕЕГ на основі моделі авторегресії

2. Метод Проні

Метод Проні – це метод моделювання вибіркових даних у вигляді лінійної комбінації експоненціальних функцій. За допомогою методу Проні здійснюється апроксимація даних з використанням детермінованої експоненціальної моделі. Метод Проні складається з трьох етапів. На першому етапі визначаються параметри лінійного передбачення. На другому – з коефіцієнтів лінійного передбачення формується поліном і визначаються його корені, за якими знаходяться оцінки коефіцієнтів затухання і частот синусоїд. На третьому етапі знаходяться оцінки амплітуд експонент і початкові фази синусоїд.

Метод Проні дозволяє оцінити відлік за допомогою деякої
- членної моделі комплексних експонент:

, (4)

де – інтервал відліків у секундах;

і – амплітуда і коефіцієнт затухання (у з-1) -ї комплексної складової;

– частота -ї синусоїди у Гц;

– початкова фаза -ї синусоїди у рад.

У випадку відліків дійсних даних одержуємо

. (5)

Якщо число комплексних компонент парне, то матимемо затухаючих синусоїд. Якщо непарне – , затухаючих косинусоїд і одну цілком затухаючу експоненту.

Амплітудний спектр сигналу, розрахований методом Проні, наведений на рис. 3. Видно, що основним недоліком детермінованої моделі є обмежений порядок, пов'язаний з тим, що факторизація характеристичного полінома здійснюється явно. Навіть при використанні удосконалених алгоритмів факторизації максимально досяжний порядок не перевищує 256, що ускладнює виділення спектральних піків для зашумленої вибірки, якою є електроенцефалограма. Таким чином, оптимальними методами спектрального оцінювання в клінічній електроенцефалографії слід вважати статистичні алгоритми на основі АР-моделі.

Рисунок 3 – Спектр енергії сигналу, розрахований методом Проні

Проведений аналіз показує можливості комп'ютерних методів аналізу випадкових процесів типу ЕЕГ. Розрахунок спектрів ЕЕГ дозволяє уникнути суб'єктивних помилок, викликаних впливом артефактів і шумів, особливо під час аналізу інтервалів великої тривалості. Порівняння результатів розрахунку спектрів ЕЕГ за допомогою непараметричного методу дискретного перетворення Фур'є і параметричних методів: модифікованого ковариаційного методу та апроксимації за допомогою детермінованої експоненціальної моделі (метод Проні), показує, що найбільш високе частотне розрізнювання ритмів ЕЕГ забезпечується при використанні параметричного авторегресивного методу, який можна рекомендувати під час розробки програмного забезпечення комп'ютерних енцефалографів.

3. Автокореляційна функція (АКФ)

Однією з найважливіших часових характеристик сигналу є АКФ, яка дозволяє судити про ступінь зв'язку (кореляції) сигналу з його зміщеною в часі копією. Для дійсного сигналу , заданого в часі і обмеженого за енергією, автокореляційна функція визначається таким виразом:

. (6)

З формули (6) видно, що при функція автокореляції стає рівною енергії сигналу, і подібність сигналу з його не зміщеною копією максимальна

.

Якщо зробити заміну змінних , то одержимо

,

звідси виходить така властивість АКФ, як її парність.

Нарешті, важлива властивість функції автокореляції сигналу полягає в тому, що при будь-якому значенні часового зсуву модуль функції автокореляції сигналу не перевищує енергії сигналу:

.

Зі збільшенням функція автокореляції у всіх сигналів, крім періодичних, спадає (не обов'язково монотонно). Отже, функція автокореляції представляється симетричною кривою з центральним максимумом, що завжди позитивний. При цьому, в залежності від виду сигналу , функція автокореляції може мати як монотонно спадаючий, так і коливний характер.

Рис. 4 пояснює побудову функції автокореляції прямокутного імпульсу, що зображений на рис. 4а. На рис. 4б наведена зміщена на (убік відставання) копія сигналу, а на рис. 4в – їхній добуток . Автокореляційна функція для кожного значення чисельно дорівнює площі під кривою добутку імпульсу і його копії, зміщена у часі. Функція автокореляції прямокутного імпульсу має вид трикутника з основою 2, висота якого визначається енергією сигналу (рис. 4г).

Рисунок 4 – Розрахунок функції автокореляції

Для сигналів, що мають нескінченно велику енергією та обмежених за потужністю, автокореляційна функція визначається в одиницях потужності

.

Відповідно, значення дорівнює середній потужності сигналу

.

При визначенні АКФ періодичної функції усереднення проводиться за її періодом , тобто

.

Автокореляційна функція періодичного сигналу сама є періодичною функцією з тим самим періодом (рис. 5а).

Дійсно, оскільки періодична функція задовольняє умові , де – період, а , то

.

Наприклад, для гармонійного сигналу автокореляційна функція виражається у вигляді

.

При автокореляційна функція визначає середню потужність гармонійного коливання з амплітудою . З отриманого виразу видно, що автокореляційна функція не залежить від початкової фази коливання.

На рис. 5 наведені графіки автокореляційної функцій деяких сигналів.

	γp (τ) – АКФ за потужністю. Має вигляд косинусоїди незалежно від початкової фази сигналу s(t).
	γЕ (τ) – АКФ за енергією. Е – енергія сигналу.
	Огинача АКФ збігається за формою з ΨЕ (τ) для прямокутного імпульсу.
	Період ΨЕ (τ) збігається з періодом s(t), форма згинаючої АКФ збігається з огинаючою АКФ меандра.
	Р– середня потужність сигналу s(t).

Рисунок 5 – Графіки автокореляційної функцій деяких сигналів

4. Дискретна функція автокореляції

Змінимо формулу (6) таким чином, щоб мати можливість обчислити дискретний аналог автокореляційної функції стосовно дискретних сигналів. Зрозуміло, що операція інтегрування тут має бути замінена підсумовуванням, а замість змінної слід використовувати ціле число , що вказує, на скільки позицій копія зміщена відповідно вихідного сигналу. Запишемо дискретну функцію автокореляції у вигляді

.

Ця функція цілісночисельного аргументу , природно, має властивості звичайної автокореляційної функції. Так, легко бачити, що дискретна функція автокореляції парна:

.

При нульовому зміщенні дискретна функція автокореляції перетворюється в енергію дискретного сигналу:

.

5. Теорема Вінера-Хінчина

Функція автокореляції та енергетичний спектр стаціонарного випадкового процесу, що має нульове математичне очікування, пов'язані між собою перетворенням Фур'є (теорема, доведена у 1934р. відомими математиками: радянським – А.Я. Хінчиним і американським – Норбертом Вінером одночасно)

.

Звідси можна отримати зворотне перетворення

. (7)

Білий шум

Під білим шумом прийнято розуміти стаціонарний випадковий процес з постійним на всіх частотах енергетичним спектром:

.

Термін «білий шум» підкреслює аналогію з «білим» природним світлом, у якого в межах видимого діапазону інтенсивність усіх спектральних компонентів приблизно однакова.

За теоремою Вінера – Хінчина, функція автокореляції білого шуму дорівнює

,

що говорить про необмежено велику середню потужність білого шуму.

Білий шум називають також дельта-корельованим випадковим процесом. Некорельованість миттєвих значень реалізацій такого випадкового сигналу означає необмежено велику швидкість зміни їх у часі: яким би малим не був інтервал , миттєве значення сигналу за цей час може змінитися на будь-яку заздалегідь задану величину.

Білий шум є абстрактною математичною моделлю і відповідний йому фізичний процес у природі не існує. Однак це не заважає приблизно заміняти реальні досить широкосмугові випадкові процеси білим шумом.

Розглянемо шум, обмежений за частотою, і такий, що має спектральну щільність вигляду (рис. 6а)

За формулою Вінера–Хінчина можна знайти функцію автокореляції

.

Вигляд функції автокореляції цього шуму наведений на рис. 6б.

Рисунок 6 – Спектр і функція автокореляції