Реферат Краевые задачи и разностные схемы
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Реферат з курсу “Введение в численные методы”
Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”
Содержание
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
4. Краевые задачи второго порядка
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
6. Повышение точности разностных схем
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Литература
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.
Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.
Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:
где – соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,
– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.
Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную
– следующей переменной:
, первую производную
– переменной
и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем
дифференциальное уравнение первого порядка:
При таких заменах производных искомой функции ее n-ная производная оказывается равной первой производной от
:
В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:
В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид
то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:
Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.
И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:
Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:
Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные
путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных
:
Умножив каждое выражение для на коэффициенты
и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных
.
Система уравнений имеет вид:
В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:
где – вектор известных коэффициентов,
– вектор искомых коэффициентов,
– соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:
.
Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты
легко вычисляются последовательной подстановкой значений
, начиная с
.
Начальные условия для вычисляются по выражениям для
следующим образом:
или в векторно-матричной форме:
,
.
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ():
,
погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h.
Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.
При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор
:
.
Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:
Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.
Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.
Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора как
,
обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение
, или набор комбинаций из значений
и
Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы ,
,
и матрица
в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования
, в котором
с шагом по оси абсцисс равном
. Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:
.
Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:
Заменив конечно-разностные операторы (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига
и вспомнив, что
, получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:
.
Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.
Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2 для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
|
y(0) |
y(1) |
y(2) | |
y’(0) | -3 | 4 | -1 | 2 |
y’(1) | -1 | 0 | 1 | -1 |
y’(2) | 1 | -4 | 3 | 2 |
Четырех точечная аппроксимация первой производной
| | | | | |
| -11 | 18 | -9 | 2 | -3 |
| -2 | -3 | 6 | -1 | 1 |
| 1 | -6 | 3 | 2 | -1 |
| -2 | 9 | -18 | 11 | 3 |
Пятиточечная аппроксимация первой производной
| | | | | | |
| -25 | 48 | -36 | 16 | -3 | 12 |
| -3 | -10 | 18 | -6 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 0 | 8 | -1 | 2 |
|
-1
6
-18
10
3
-3
3
-16
36
-48
25
12
Шести точечная аппроксимация первой производной
| | | | | | | |
| -137 | 300 | -300 | 200 | -75 | 12 | -10 |
| -12 | -65 | 120 | -60 | 20 | -3 | 2 |
| 3 | -30 | -20 | 60 | -15 | 2 | -1 |
| -2 | 15 | -60 | 20 | 30 | -3 | 1 |
| 3 | -20 | 60 | -120 | 65 | 12 | -2 |
| -12 | 75 | -200 | 300 | -300 | 137 | 10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
| | | | | | | | |
| -147 | 360 | -450 | 400 | -225 | 72 | -10 | 60 |
| -10 | -77 | 150 | -100 | 50 | -15 | 2 | -10 |
| 2 | -24 | -35 | 80 | -30 | 8 | -1 | 4 |
| -1 | 9 | -45 | 0 | 45 | -9 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 30 | -80 | 35 | 24 | -2 | 4 |
| -2 | 15 | -50 | 100 | -150 | 77 | 10 | -10 |
| 10 | -72 | 225 | -400 | 450 | -360 | 147 | 60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной
| | | | |
| 1 | -2 | 1 | -12 , 2 |
| 1 | -2 | 1 | 0 , -1 |
| 1 | -2 | 1 | 12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
| | | | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | -5 | 4 | -1 | 55 , -6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | -2 | 1 | 0 | -5 , -2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пятиточечная аппроксимация второй производной
Шести точечная аппроксимация второй производной
Семи точечная аппроксимация второй производной
Например, производная первого порядка Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2: Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения. 4. Краевые задачи для уравнений второго порядка При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями. Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования. В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору. Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n+1)-й точки или более. Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.
В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти. 5. Разностные схемы для уравнений в частных производных Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток, использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений. Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения. Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка. Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа: где Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y: Значения функции в узлах сетки обозначим через После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида: В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов
Уравнения для 25 внутренних точек u(i,k):
Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:
Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах: – матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная; – соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами. В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках: Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки. Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений из окружающих точек. 6. Повышение точности разностных схем Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z в значение функции в точке z+h выражается через оператор производной Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y соответственно несложно записать с их помощью следующие операторные выражения: Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы
Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки: Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм: Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции. Например, из выражения для что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных. Суммируя Если значения частных производных в точках области решения малы, то радикальным способом увеличения точности аппроксимации уравнения является уменьшение шага сетки. При задании в правой части уравнения Лапласа функции g(x,y) последняя в приведенных конечно-разностных суммах должна заменить 7. Сеточные методы для нестационарных задач Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями ее решения, рассмотренными ранее. Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения. Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида: которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1. Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е. Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h=1/8) и обозначим значение температуры в каждой точке через После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:
Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной В рассматриваемом примере
Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня 12,5°С. Пятиточечная аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента. Литература
2. Реферат Внутренние устройства системного блока компьютера 3. Реферат на тему Kentucky Virginia Resolution Essay Research Paper The 4. Курсовая на тему Прояви синдрому вигорання в медицині 5. Реферат на тему Gastrocnemius Essay Research Paper Gastrocnemius Origin 1medial 6. Реферат на тему Преобразования в военном судоустройстве и судопроизводстве России 7. Реферат на тему Заветный камень Российской Империи 8. Реферат Фізична культура 9. Контрольная работа на тему Участие башкир в крестьянской войне 1773 1775 гг их предводители Положе 10. Реферат Історія хвороби гангрена |