y(0)

y(1)

y(2)

y’(0)

-3

4

-1

2

y’(1)

-1

0

1

-1

y’(2)

1

-4

3

2

-11

18

-9

2

-3

-2

-3

6

-1

1

1

-6

3

2

-1

-2

9

-18

11

3

-25

48

-36

16

-3

12

-3

-10

18

-6

1

-3

1

-8

0

8

-1

2

-137

300

-300

200

-75

12

-10

-12

-65

120

-60

20

-3

2

3

-30

-20

60

-15

2

-1

-2

15

-60

20

30

-3

1

3

-20

60

-120

65

12

-2

-12

75

-200

300

-300

137

10

-147

360

-450

400

-225

72

-10

60

-10

-77

150

-100

50

-15

2

-10

2

-24

-35

80

-30

8

-1

4

-1

9

-45

0

45

-9

1

-3

1

-8

30

-80

35

24

-2

4

-2

15

-50

100

-150

77

10

-10

10

-72

225

-400

450

-360

147

60

1

-2

1

-12 , 2

1

-2

1

0 , -1

1

-2

1

12 , -2

2

-5

4

-1

55 , -6

1

-2

1

0

-5 , -2

Пятиточечная аппроксимация второй производной

Шести точечная аппроксимация второй производной

Семи точечная аппроксимация второй производной

Например, производная первого порядка в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.

4. Краевые задачи для уравнений второго порядка

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n+1)-й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток, использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений.

Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.

Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.

Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:

,

где – непрерывная функция, заданная на границе области.

Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y:

Значения функции в узлах сетки обозначим через и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:

После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:

В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов и значениями функции на границе, как показано ниже:

Уравнения для 25 внутренних точек u(i,k):

Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:

Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных одномерной

,

преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах:

,

, , I

– матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная;

, , ,

, ,

– соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами.

В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках:

.

Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки.

Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений из окружающих точек.

6. Повышение точности разностных схем

Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z в значение функции в точке z+h выражается через оператор производной , как , а его применение представляется выражением:

Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y соответственно

несложно записать с их помощью следующие операторные выражения:

Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы , для каждой представленной индексом точки записано значение функции, выраженное через значение функции в центральной точке, преобразованное соответствующими операторами сдвига:

Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки:

Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм:

и любых других.

Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции.

Например, из выражения для непосредственно следует

что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных. Суммируя и с весами соответственно 4 и 1, получим аппроксимацию производных по значениям в восьми точках:

Если значения частных производных в точках области решения малы, то радикальным способом увеличения точности аппроксимации уравнения является уменьшение шага сетки.

При задании в правой части уравнения Лапласа функции g(x,y) последняя в приведенных конечно-разностных суммах должна заменить на , – на и т.д.:

7. Сеточные методы для нестационарных задач

Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями ее решения, рассмотренными ранее.

Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения.

Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:

,

которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1.

Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е. , значения температуры на пластинах и начальное распределение температуры по длине .

Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h=1/8) и обозначим значение температуры в каждой точке через , k=0,1,..., Применим пяти- и шести точечную аппроксимацию частной производной второго порядка: первую симметричную - для внутренних точек, и вторую (несимметричную) – для приграничных точек . Температуры в точках с k=0 и k=8 заданы: 100° и 0°.

После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторно-матричной форме:

Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:

Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной и по пространственной должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении неравенства решение будет численно неустойчивым и интегрирование по времени с каждым шагом будет давать неограниченно возрастающие значения.

В рассматриваемом примере =0,015625, поэтому интегрирование трех систем по формулам Рунге-Кутта было выполнено с шагом по времени = 0,001 до значения 0,01 и с шагом 0,005 – до значения времени, равного 0,75. Выборка ряда значений температуры из решений в интервале времени (0,0.75] показана в таблице колонками из трех чисел, соответствующих сверху-вниз трем приведенным выше системам.

Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня 12,5°С. Пятиточечная аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента.

Литература

1. Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с.

2. Рено Н.Н. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ: МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ. Изд-во: "Книжный дом Университет" (КДУ), 2007. – 24с.

3. Самарcкий А. А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд.3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208с.

4. Самарский А.А. Введение в численные методы Учебное пособие для вузов 3-е изд.,стер. ЛАНЬ, 2005. – 288с.

5. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304с.

6. Тыртышников Е.Е. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА (1-Е ИЗД.) УЧЕБ. ПОСОБИЕ Издательство "Академия/Academia", 2007. – 320с.