Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x₁, x₂, …, x_n.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x₁, _x2, …, x_n на число цих даних n,

або (- знак суми – “сигма” велика)

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо:

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м'яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1

Номер тренувань	1	2	3	4	5
	Перший учень
	4	3	5	3	6
Кількість влучень	Другий учень
	5	4	3	6	5

Розв'язання.

Знаходимо середню кількість влу­чень.

Для першого учня:

Для другого учня:

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення x_j від се­реднього. Різниця х —може бути від'є­мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2.

2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне пере­твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

Значення

Середнє арифметичне

Відхилення

0

2

-2

0

2

-2

1

2

-1

1

2

-1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

5

2

3

 

 

-

0

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім по­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.

Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою

,де

f_i — частота повторення результату x_i.

Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18^o, 19^o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°_, 19°, 20°, 19^o, 18°, 17°, 16°, 19°.

Знайти середню температуру за цими даними.

Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці.

Таблиця 3

Вихідні дані			xi	Час­тота fi	xifi	Остаточне обчис­лення
2	6	10	2	2	4	де I=1,2,3,…,11
2	6	10	3	1	3
3	6	11	4	3	12
4	6	12	5	2	10
4	8	12	6	4	24
4	9	15	8	1

	8
5	9	15	9	3	27
5	9	15	10	2	20
			11	1	11
			12	2	24
			15	3	45

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки

Оцінки (бали) 5 4 3 2

Кількість

учнів 6 7 4 17

Чи достатньо засвоєний матеріал?

Знайдемо середню величину оцінок.

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.

Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала):

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.

Таблиця 4

Зна­чен­ня xi	Сере­днє ариф­ме­ти­чне	Відхи­лення xi —	Квадрат відхи­лення (xi-)2	Квадратичне від­хилення σ
5		- 7	49
8		- 4	16
10		- 2	4
12		0	0
17		5	25
20		8	64
=72	= =12

У статистиці користуються також величиною σ² (квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.

Середнє геометричне п додатних чисел х_1, х₂, х₃, ...,х_п визначається виразом

, тобто середнє ге­ометричне х₁ х₂ х₃...п є корінь n-го степеня з добутку всіх x_i (і = 1, 2, ...).

У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності т_с = аb випливає, що а : m_c= т_с : b.

На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу­вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.

Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.