Питання про взаємозв'язок математики і філософії

Питання про взаємозв'язок математики і філософії (Мілетська школа, Піфагорійська школа, Елейска школа, Демокріт, Платонівській ідеалізм, система філософії математики Аристотеля)

ВСТУП

Питання про взаємозв'язок математики і філософії вперше був заданий досить давно. Аристотель, Бекон, Леонардо і Вінчі - багато великих розумів людства займалися цим питанням і досягли видатних результатів. Це не дивовижно: адже основу взаємодії філософії з якийсь із наук складає потреба використання апарату філософії для проведення досліджень у даній області; математика ж, безсумнівно, найбільше серед точних наук піддається філософському аналізу (у силу своєї абстрактності). Поряд із цим прогресуюча математизація науки робить активний вплив на філософське мислення.

Спільний шлях математики і філософії почався в Древній Греції біля VI століття до н.е. Не стиснуте рамками деспотизму, грецьке товариство тієї доби було подібно живильному розчину, на якому виростило багато чого, що дійшло до нас у сильно зміненому часом вигляді, проте зберігши основними, закладену греками ідею: театр, поезія, драматургія, математика, філософія. У цій роботі я спробував простежити за процесом формування, розвитку і взаємний вплив математики і філософії Древньої Греції, а також привести різноманітні точки зору на рушійні сили і результати цього процесу.

Відомо, що грецька цивілізація на початковому етапі свого розвитку відштовхувалася від цивілізації древнього Сходу. Яка ж була математична спадщина, отримана греками?

З математичних документів, які дійшли до нас, можна зробити висновок, що в Древньому Єгипті були сильно розвинуті галузі математики, пов'язані з рішенням економічних задач. Папірус Райнда (бл. 2000 р. до н.е.) починався з обіцянки навчити "зробленому й обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їхніх сутностей, пізнанню всіх таємниць". Фактично викладається мистецтво обчислення з цілими числами і дробами, в які посвячувались державні чиновники для того, щоб уміти вирішувати широке коло практичних задач, таких, як розподіл заробітної плати між відомим числом робочих, обчислення кількості зерна для готування певної кількості хліба, обчислення поверхонь і обсягів і т.д. Далі рівнянь першого ступеня і найпростіших квадратних рівнянь єгиптяни, очевидно, не пішли. Весь зміст відомої нам єгипетської математики переконливо свідчить, що математичні знання єгиптян призначалися для задоволення конкретних потреб матеріального виробництва і не могли скільки-небудь серйозно бути пов'язаними з філософією.

Математика Вавилона, як і єгипетська, була викликана до життя потребами виробничої діяльності, оскільки вирішувалися задачі, пов'язані з потребами зрошення, будівництва, господарського обліку, відношеннями власності, численням часу. Збережені документи показують, що, базуючись на 60-річної системі числення, вавілоняни могли виконувати чотири арифметичних дії, існували таблиці квадратних коренів, кубів і кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, були відомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані в області чисельної алгебри. Хоча вавілоняни і не знали алгебраїчної символіки, але рішення задач проводилося за планом, задачі зводилися до єдиного "нормального" виду і потім рішались по загальних правилах, причому тлумачення перетворень "рівняння" не зв'язувалося з конкретною природою вихідних даних. Зустрічалися задачі, що зводяться до рішення рівнянь третього ступеня й особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого і шостого ступенів.

Якщо ж порівнювати математичні науки Єгипту і Вавилона по способу мислення, то неважко буде встановити їхню спільність по таких характеристиках, як авторитарність, некритичність, проходження за традицією, украй повільна еволюція знань. Ці ж риси виявляються й у філософії, міфології, релігії Сходу. Як писав із цього приводу Е.Кольман, "у цім місці, де воля деспота вважалася законом, не було місця для мислення, що дошукується до причин і обгрунтувань явищ, ні тим більше для вільного обговорення".

Аналіз давньогрецької математики і філософії варто почати з мілетської математичної школи, що заклала основи математики як доказової науки.

Мілетська школа

Мілетська школа - одна з перших античних математичних шкіл, що зробила суттєвий вплив на розвиток філософських уявлень того часу. Вона існувала в Іонії наприкінці V - IV ст. до н.е.; основними діячами її були Фалес (бл. 624-547 р. до н.е.), Анаксимандр (бл. 610-546 р. до н.е.) і Анаксимен (бл. 585-525 р. до н.е.). Розглянемо на прикладі мілетської школи основні відмінності грецької науки від догрецької і проаналізуємо їх.

Якщо зіставити вихідні математичні знання греків із досягненнями єгиптян і вавілонян, то навряд чи можна сумніватися в тому, що такі елементарні положення, як рівність кутів у основі рівнобедреного трикутника, відкриття якого приписують Фалесу Мілетському, не були відомі древній математикові. Проте, грецька математика вже у вихідному своєму пункті мала якісну відмінність від своїх попередників.

Її своєрідність полягає, насамперед, у спробі систематично використовувати ідею доказу. Фалес прагне довести те, що емпірично було отримано і без належного обгрунтування використовувалося в єгипетській і вавилонській математиці. Можливо, у період найбільше інтенсивного розвитку духовного життя Вавилона і Єгипту, у період формування основ їхніх знань виклад тих або інших математичних положень супроводжувалося обгрунтуванням у тій або іншій формі. Проте, як пише Ван дер Варден, "у часи Фалеса єгипетська і вавилонська математика давно вже були мертвими знаннями. Можна було показати Фалесу, як треба обчисляти, але вже невідомий був хід міркувань, що лежать в основі цих правил".

Греки вводять процес обгрунтування як необхідний компонент математичної дійсності, доказовість дійсно являється відмітною рисою їхньої математики. Технікою доказу ранньої грецької математики, як у геометрії, так і в арифметиці спочатку була проста спроба надання наочності. Конкретними різновидами такого доказу в арифметиці був доказ за допомогою камінчиків, у геометрії - шляхом накладення. Але сам факт наявності доказу говорить про те, що математичні знання сприймаються не догматично, а в процесі міркування. Це, у свою чергу, виявляє критичний склад розуму, впевненість (може бути, не завжди усвідомлену), що міркуванням можна встановити правильність або хибність розглянутого положення, впевненість у силі людського розуму.

Греки на протязі одного-двох сторіччя зуміли опанувати математичною спадщиною попередників, накопиченою на протязі тисячоріч, що свідчить про інтенсивність, динамізм їхнього математичного пізнання. Якісна відмінність досліджень Фалеса і його послідовників від догрецької математики виявляється не стільки в конкретнім змісті досліджуваної залежності, скільки в новому засобі математичного мислення. Вихідний матеріал греки взяли в попередників, але засіб засвоєння і використання цього матеріалу був новий. Відмінними рисами їхнього математичного пізнання являється раціоналізм, критицизм, динамізм.

Ці ж риси характерні і для філософських досліджень мілетської школи. Філософська концепція і сукупність математичних положень формується за допомогою однорідного по своїх загальних характеристиках розумового процесу, якісно відмінного від мислення попередньої епохи. Як же сформувався цей новий засіб сприйняття дійсності? Звідки бере свій початок прагнення до наукового знання?

Ряд дослідників зазначає відзначені вище характеристики розумового процесу "уродженими особливостями грецького духу". Проте це посилання нічого не пояснює, тому що незрозуміло, чому той же "грецький дух" після закінчення епохи еллінізму втрачає свої якості. Можна спробувати виявити причини такого світорозуміння в соціально-економічній сфері.

Іонія, де проходила діяльність мілетської школи, була достатньо розвиненою в економічному відношенні областю. Тому саме вона серед інших вступила на шлях повалення первісно-общинного ладу і формування рабовласницьких відношень. У VIII-VI ст. до н.е. земля все більше зосереджувалася в руках крупної родової знаті. Розвиток ремісничого виробництва і торгівлі ще в більшій мірі прискорював процес соціально-майнового розшарування. Відношення між аристократією і демосом стають напруженими; згодом ця напруженість переростає у відкриту боротьбу за владу. Калейдоскоп подій у внутрішньому житті, не менш мінлива зовнішня обстановка формують динамізм, гостроту суспільної думки.

Напруженість у політичній і економічній сферах призводить до сутичок в області релігії, оскільки демос, ще не сумніваючись у тому, що релігійні і світські установлення вічні, тому що дані богами, вимагає, щоб вони були записані і стали загальнодоступними, тому що правителі спотворюють божественну волю і тлумачать її по-своєму. Проте неважко зрозуміти, що систематичний виклад релігійних і міфологічних уявлень (спроба такого викладу була зроблена Гесіодом) не могло не завдати серйозного удару релігії. При перевірці релігійних вигадувань логікою перші, безсумнівно, показалися б конгломератом дурниць.

Таким чином, матеріалістичний світогляд Фалеса і його послідовників не є якимось загадковим, не від світу цього породженням "грецького духу". Воно є продуктом цілком визначених соціально-економічних умов і виражає інтереси історично-конкретних соціальних сил, насамперед торгово-ремісничих прошарків товариства" - пише О.И.Кедровський.

На підставі всього перерахованого вище ще не можна з великою впевненістю стверджувати, що саме вплив світогляду виявився вирішальним чинником для виникнення доказу; не виключено ж, що це відбулося в силу інших причин: потреб виробництва, запитів елементів природознавства, суб'єктивних спонукань дослідників. Проте можна переконатися, що кожна з цих причин не змінила принципово свого характеру в порівнянні з догрецькою епохою і безпосередньо не призводить до перетворення математики в доказову науку. Наприклад, для задоволення потреб техніки було цілком достатньо практичної науки древнього Сходу, у справедливості положень якої можна було переконатися емпірично. Сам процес виявлення цих положень показав, що вони дають достатню для практичних потреб точність.

Можна вважати одним із спонукальних мотивів виникнення доказу необхідність осмислення й узагальнення результатів попередників. Проте і цьому чиннику не належить вирішальна роль, тому що, наприклад, існують теорії, які сприймаються нами як очевидні, але отримали суворе обгрунтування в античній математиці (наприклад, теорія подільності на 2).

Поява потреби доказу в грецькій математиці одержує задовільне пояснення, якщо врахувати взаємодію світогляду на розвиток математики. У цьому відношенні греки істотно відрізняються від своїх попередників. У їх філософських і математичних дослідженнях виявляються віра в силу людського розуму, критичне відношення до досягнень попередників, динамізм мислення. У греків вплив світогляду перетворився зі стримуючого чинника математичного пізнання в стимулюючий, у діючу силу прогресу математики.

У тому, що обгрунтування прийняло саме форму доказу, а не зупинилося на емпіричній перевірці, вирішальним є поява нової, світоглядної функції науки. Фалес і його послідовники сприймають математичні досягнення попередників, насамперед для задоволення технічних потреб, але наука для них - щось більше, ніж апарат для рішення виробничих задач. Окремі, найбільше абстрактні елементи математики вплітаються в натурфілософську систему і тут виконують роль антипода міфологічним і релігійним віруванням. Емпірична підтверджуваність для елементів філософської системи була недостатньою в силу спільності їхнього характеру й убогості підтверджуваних фактів. Математичні знання ж на той час досягли такого рівня розвитку, що між окремими положеннями можна було встановити логічні зв'язки. Така форма обгрунтувань виявилася об'єктивно прийнятною для математичних положень.

Піфагорійська школа

На підставі даного вище дослідження мілетської школи можна лише переконатися в активному впливі світогляду на процес математичного пізнання тільки при радикальній зміні соціально-економічних умов життя товариства. Проте залишаються відкритими питання про те, чи впливає зміна філософської основи життя товариства на розвиток математики, чи залежить математичне пізнання від зміни ідеологічної спрямованості світогляду, чи має місце обернений вплив математичних знань на філософські ідеї. Можна спробувати відповісти на поставлені питання, звернувшись до діяльності піфагорейської школи.

Піфагореїзм як напрямок духовного життя існував протягом всієї історії Древньої Греції, починаючи з VI століття до н.е. І пройшов у своєму розвитку ряд етапів. Питання про їхню тимчасову тривалість складне і дотепер не вирішене однозначно. Основоположником школи був Піфагор Самосський (бл. 580-500 до н.е.). Жоден рядок, написаний Піфагором, не зберігся; взагалі невідомо, чи вдавався він до письмової передачі своїх думок. Що було зроблено самим Піфагором, а що його учнями, встановити дуже важко. Свідчення про нього старогрецьких авторів суперечливі; якоюсь мірою різноманітні оцінки його діяльності відбивають різноманіття його навчання.

У піфагореїзмі виділяють дві складові: практичну ("піфагорейський спосіб життя") і теоретичну (визначена сукупність навчань). У релігійному навчанні піфагорійців найбільш важливою рахувалась обрядова сторона, потім малося на увазі створити визначений щиросердечний стан і лише потім по значимості йшли вірування, у трактуванні яких припускалися різні варіанти. У порівнянні з іншими релігійними плинами в піфагорійців були специфічні уявлення про природу і долю душі. Душа - істота божественна, вона укладена в тіло на кару за гріхи. Вища ціль життя - звільнити душу з тілесної в’язниці, не впустивши в інше тіло, що нібито відбувається після смерті. Шляхом для досягнення цієї цілі є виконання визначеного морального кодексу, "піфагорейський спосіб життя". У численній системі розпоряджень, що регламентували майже кожен крок життя, значне місце приділялося заняттям музикою і науковими дослідженнями.

Теоретична сторона піфагореїзму тісно пов'язана з практичною. У теоретичних вишукуваннях піфагорійці бачили кращий засіб звільнення душі з кола народжень, а їхні результати ринулися використовувати для раціонального обгрунтування гаданої доктрини. Мабуть, у діяльності Піфагора і його найближчих учнів наукові положення були перемішані з містикою, релігійними і міфологічними уявленнями. Вся ця "мудрість" викладалася в якості изречений оракула, яким придавався прихований зміст божественного одкровення.

Основними об'єктами наукового пізнання в піфагорійців були математичні об'єкти, у першу чергу числа натурального ряду (пригадаємо знамените "Число є сутність усіх речей"). Значне місце приділялося вивченню зв'язків між парними і непарними числами. В області геометричних знань увага акцентується на найбільших абстрактних залежностях. Піфагорійцями була побудована значна частина планіметрії прямокутних фігур; вищим досягненням у цьому напрямку був доказ теореми Піфагора, окремі випадки якої за 1200 років до цього приводяться в клинописних текстах вавилонян. Греки доводять її загальною уявою. Деякі джерела приписують піфагорійцям навіть такі видатні результати, як побудова п'ятьох правильних багатогранників.

Числа в піфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняття одержали математичне фарбування. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основне місце в системі світогляду, тобто фактично математика об'являється філософією. Як писав Аристотель, "...у чисел вони вбачали, здавалося б, багато подібних рис із тим, що існує і відбувається, - більше, ніж у вогню, землі і води... У них, очевидно, число приймається за початок і в якості матерії для речей, і в якості вираження для їхніх станів і властивостей... Наприклад, такою-то властивістю чисел є справедливість, а такою-то - душа і розум, іншою - вдача, і можна сказати - у кожному з інших випадків точно також. "

Якщо порівнювати математичні дослідження ранньої піфагорейської і мілетської шкіл, то можна виявити ряд істотних розходжень. Так, математичні об'єкти розглядалися піфагорійцями як першосутність світу, тобто радикально змінилося саме розуміння природи математичних об'єктів. Крім того, математика перетворена піфагорійцями в складове релігії, у засіб очищення душі, досягнення безсмертя. І нарешті, піфагорійці обмежують область математичних об'єктів найбільше абстрактними типами елементів і свідомо ігнорують додатки математики для рішення виробничих задач. Але чим же обумовлені такі глобальні розбіжності в розумінні природи математичних об'єктів у школах, що існували практично в той самий час і черпали свою мудрість, очевидно, із того самого джерела - культури Сходу? Втім, Піфагор, швидше за все, користувався досягненнями мілетської школи, тому що в нього, як і у Фалеса, виявляються основні ознаки розумової діяльності, що відрізняються від догрецької епохи; проте математична діяльність цих шкіл носили істотно різноманітний характер.

Аристотель був одним із перших, хто спробував пояснити причини появи піфагорівської концепції математики. Він бачив їх у межах самої математики: "Так звані піфагорійці, зайнявшись математичними науками, уперше рушили їх вперед і, виховавшись на них, стали вважати їх початками всіх речей." Подібна точка зору не позбавлена підстави хоча б у силу придатності математичних положень для вираження відношень між різноманітними явищами. На цій підставі можна, неправомірно розширивши даний момент математичного пізнання, прийти до твердження про виразність всього існуючого за допомогою математичних залежностей, а якщо вважати числові відношення універсальними, то "число є сутність усіх речей". Крім того, до часу діяльності піфагорійців математика пройшла довгий шлях історичного розвитку; процес формування її основних положень губився в темряві століть. Таким чином, з'являлася спокуса зневажити ним і оголосити математичні об'єкти чимось первинним стосовно існуючого світу. Саме так і зробили піфагорійці.

У радянській філософській науці проблема появи піфагорівської концепції математики розглядалася, природно, із позицій марксистсько-ленінської філософії. Так, О.И.Кедровський пише: "...Вироблена ним (Піфагором) концепція об'єктивно виявилася ідеологією цілком визначених соціальних прошарків товариства. Це були ...представники аристократії, які утискалися демосом... Для них характерне прагнення піти від тяготи земного життя, обертання до релігії і містики". Ця точка зору, як і перша, не позбавлена змісту; істина ж, мабуть, знаходиться десь посередині. Проте, на мій погляд, крах піфагорійського навчання варто зв'язувати в першу чергу не з виродженням аристократії як класу, а зі спробою піфагорійців зіпсувати самому природу процесу математичного пізнання, позбавивши математику таких важливих джерел прогресу, як додатки до виробництва, відкрите обговорення результатів досліджень, колективна творчість, утримати прогрес математики в рамках рафінованого навчання для присвячених. До речі, самі піфагорійці підірвали свій основний принцип "число є сутність усіх речей", відкривши, що відношення діагоналі і сторони квадрата не виражається за допомогою цілих чисел.

Таким чином, вже у вихідному пункті свого розвитку теоретична математика була схильна впливу боротьби двох типів світогляду - матеріалістичного і релігійно-ідеалістичного. Ми ж переконалися, що поряд із впливом світогляду на розвиток математичного пізнання має місце й обернений вплив.

Елейска школа

Елейска школа досить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейскої школи вважають Парменида (кінець VI - V ст. до н.е.) і Зенона (перша половина V ст. до н.е.).

Філософія Парменида полягає в наступному: усілякі системи світорозуміння базуються на одній з трьох посилок: 1)Є тільки буття, небуття немає; 2)Існує не тільки буття, але і небуття; 3)Буття і небуття тотожні. Вірною Парменид визнає тільки першу посилку. Відповідно до нього, буття єдине, неподільне, незмінне, позачасне, закінчено в собі, тільки воно істинно існуюче; множинність, мінливість, переривчастість, текучість - усе це уділ мнимого.

З захистом навчання Парменида від заперечень виступив його учень Зенон. Древні приписували йому сорок доказів для захисту навчання про єдність існуючого (проти множинності речей) і п'ять доказів його нерухомості (проти рухомості). З них до нас дійшло усього дев'ять. Найбільшою популярністю за всіх часів користувалися зенонові докази проти рухомості; наприклад, "рухомість не існує на тій підставі, що тіло, що переміщається, повинно колись дійти до половини, перед тим як до кінця, а щоб дійти до половини, потрібно пройти половину цієї половини і т.д.".

Аргументи Зенона призводять до парадоксальних, з погляду "здорового глузду", висновків, але їх не можна було просто відкинути як неспроможні, оскільки і за формою, і по змісту задовольняли математичним стандартам тієї пори. Розклавши апорії Зенона на складові частини і рухаючись від висновків до посилок, можна реконструювати вихідні положення, що він узяв за основу своєї концепції. Важливо відзначити, що в концепції еліатів, як і в дозеноновскій науці фундаментальні філософські уявлення істотно спиралися на математичні принципи. Значне місце серед них займали такі аксіоми:

1. Сума нескінченно великого числа будь-яких, хоча б і нескінченно малих, але протяжних розмірів повинна бути нескінченно великою;

2. Сума будь-якого, хоча б і нескінченно великого числа непротяжних розмірів завжди дорівнює нулю і ніколи не може стати деяким заздалегідь заданим протяжним розміром.

Саме в силу тісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнув системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що рахувалися до цього безсумнівно вірними, у світлі зеноновських побудов виглядали як суперечливі. Міркування Зенона призвели до необхідності переосмислити такі важливі методологічні питання, як природа безкрайості, співвідношення між безупинним і перериваним і т.п. Вони звернули увагу математиків на нетривкість фундаменту їхньої наукової діяльності й у такий спосіб зробили стимулюючий вплив на прогрес цієї науки.

Варто звернути увагу і на зворотну зв'язок - на роль математики у формуванні елейскої філософії. Так, встановлено, що апорії Зенона пов'язані з перебуванням суми безкінечної геометричної прогресії. На цій підставі радянський історик математики Э. Кольман зробив припущення, що "саме на математичний грунті підсумовування таких прогресій і виростили логіко-філософські апорії Зенона". Проте таке припущення, очевидно, позбавлено достатніх основ, тому що воно занадто жорстко зв'язує навчання Зенона з математикою при тому, що існуючі історичні дані не дають підстави підтверджувати, що Зенон взагалі був математиком.

Величезне значення для наступного розвитку математики мало підвищення рівня абстракції математичного пізнання, що відбулося у великому ступені завдяки діяльності еліатів. Конкретною формою прояву цього процесу було виникнення побічного доказу ("від противного"), характерною рисою якого є доказ не самого твердження, а абсурдності оберненого йому. У такий спосіб був зроблений крок до становлення математики як дедуктивної науки, створені деякі передумови для її аксіоматичної побудови.

Отже, філософські міркування еліатів, з одного боку, стали потужним поштовхом для принципово нової постановки найважливіших методологічних питань математики, а з іншого боку - послужили джерелом виникнення якісно нової форми обгрунтування математичних знань.

Демокріт

Аргументи Зенона розкрили внутрішні протиріччя, що мали місце в сформованих математичних теоріях. Тим самим факт існування математики був поставлений під сумнів. Якими ж шляхами вирішувалися протиріччя, виявлені Зеноном ?

Найпростішим виходом із положення, що створилося, була відмова від абстракцій на користь того, що можна безпосередньо перевірити за допомогою відчуттів. Таку позицію зайняв софіст Протагор. Він вважав, що "ми не можемо уявити собі нічого прямого або круглого в тому змісті, як подає ці терміни геометрія; справді, коло стосується прямої не в одній точці". Таким чином, із математики варто прибрати як ірреальні: уявлення про безкінечне число речей, тому що ніхто не може вважати до безкрайості; безкінечну подільність, оскільки вона нездійсненна практично і т.д. Таким шляхом математику можна зробити невразливою для міркувань Зенона, але при цьому практично скасовується теоретична математика. Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, у якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Цю задачу вирішив Демокріт, розробивши концепцію математичного атомізму.

Демокріт був, на думку Маркса, "першим енциклопедичним розумом серед греків". Диоген Лаерцій (III ст. н.е.) називає 70 його творів, у яких були освітлені питання філософії, логіки, математики, космології, фізики, біології, громадського життя, психології, етики, педагогіки, філології, мистецтва, техніки й інші. Аристотель писав про нього: "Взагалі, крім поверхневих вишукувань, ніхто нічого не встановив, крім Демокріта. Що ж стосується його, то утворюється таке враження, що він передбачив усе, та й у методі обчислень він вигідно відрізняється від інших".

Вступною частиною наукової системи Демокріта була "каноніка", у якій формулювалися й обгрунтовувались принципи атомістичної філософії. Потім випливала фізика, як наука про різноманітні прояви буття, і етика. Каноніка входила у фізику в якості вихідного поділу, етика ж будувалася як породження фізики. У філософії Демокріта насамперед установлюється розходження між "справді існуючим" і тим, що існує тільки в "загальній думці". Справді існуючими рахувалися лише атоми і пустота. Як справді існуюче, пустота (небуття) є така ж реальність, як атоми (буття). "Велика пустота" безмежна й укладає в собі все існуюче, у ній немає ні верха, ні низу, ні краю, ні центру, вона робить переривану матерію і можливим її прямування. Буття утворять незліченні дрібні якісно однорідні першотільця, що різняться між собою по зовнішніх формах, розміру, положенню і порядку, вони далі неподільних внаслідок абсолютної твердості і відсутності в них пустоти і "по розміру неподільні". Атомам самим по собі властиво безперестанне прямування, розмаїтість якого визначається безкінечною розмаїтістю форм атомів. Прямування атомів вічно і в остаточному підсумку є причиною всіх змін у світі.

Задача наукового пізнання, відповідно до Демокріта, щоб явища, що спостерігаються, зводити до області "істинного існуючого" і дати їм пояснення виходячи з загальних принципів атомістики. Це може бути досягнуте за допомогою спільної діяльності відчуттів і розуму. Гносеологічну позицію Демокріта Маркс сформулював у такий спосіб: "Демокріт не тільки не віддалився від світу, а, навпаки, був емпіричним натуралістом". Зміст вихідних філософських принципів і гносеологічні установки визначили основні риси наукового методу Демокріта:

а) У пізнанні виходити від одиничного;

б)Будь-які предмет і явище розкладені до найпростіших елементів (аналіз) і з'ясовні виходячи з них (синтез);

в) Розрізняти існування "по істині" і "відповідно до думки";

г) Явища дійсності - це окремі фрагменти упорядкованого космосу, що виник і функціонує в результаті дій чисто механічної причинності.

Математика по праву повинна рахуватися в Демокріта першим поділом власне фізики і випливати безпосередньо за канонікою. Справді, атоми якісно однорідні і їхні первинні властивості мають кількісний характер. Проте було б неправильно трактувати навчання Демокріта як різновид піфагореїзму, оскільки Демокріт хоча і зберігає ідею панування у світі математичної закономірності, але виступає з критикою апріорних математичних побудов піфагорійців, рахуючи, що число повинно виступати не законодавцем природи, а витягатися з її. Математична закономірність виявляється Демокрітом із явищ дійсності, і в цьому контексті він передбачає ідеї математичного природознавства. Вихідні початки матеріального буття виступають у Демокріта в значній мірі як математичні об'єкти, і відповідно до цього математику приділяється значне місце в системі світогляду як науці про первинні властивості речей. Проте включення математики в основу світоглядної системи вимагало її перебудови, приведення математики у відповідність із вихідними філософськими положеннями, із логікою, гносеологією, методологією наукового дослідження. Створена в такий спосіб концепція математики, називана концепцією математичного атомізму, виявилася істотно відмінною від попередніх.

У Демокріта всі математичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) виступають у визначених матеріальних уявах. Ідеальні площини, лінії, точки в його навчанні відсутні. Основною процедурою математичного атомізму є розкладання геометричних тіл на найтонші листочки (площини), площин - на найтонші нитки (лінії), ліній - на дрібні зернятка (атоми). Кожний атом має малий, але ненульовий розмір і далі неподільний. Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, що утримуються в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній на площині і площин у тілі. Число атомів у кінцевому обсязі простору не нескінченне, хоча і настільки велике, що недосяжне почуттям. Отже, головною відмінністю навчання Демокріта від розглянутих раніше є заперечення ним безкінечної подільності. У такий спосіб він вирішує проблему правомірності теоретичних побудов математики, не зводячи їх до почуттєво сприйманих уяв, як це робив Протагор. Так, на міркування Протагора про торкання окружності і прямої Демокріт міг би відповісти, що почуття, що є відправним критерієм Протагора, показують йому, що чим точніше креслення, тим менше ділянка торкання; у дійсності ж ця ділянка настільки мала, що не піддається почуттєвому аналізу, а ставиться до області істинного пізнання.

Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичної перспективи і проекції). Крім того, він зіграв, за свідченням Архімеда, немаловажну роль у доказі Евдоксом теорем про обсяг конуса і піраміди. Не можна з упевненістю сказати, чи користувався він при рішенні цієї задачі методами аналізу нескінченно малих. А.О.Маковельский пише: "Демокріт вступив на шлях, по якому далі пішли Архімед і Кавальєрі. Проте, підійшовши впритул до поняття нескінченно малого, Демокріт не зробив останнього рішучого кроку. Він не припускає безмежного збільшення кількості складових, що утворять у своїй сумі даний обсяг. Він приймає лише надзвичайно велике, що не піддається численню внаслідок своєї величезності число цих складових".

Видатним досягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному плані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.

Платонівський ідеалізм

Твори Платона (427-347 р. до н.е.) - унікальне явище у відношенні виділення філософської концепції. Це високохудожнє, що захоплює опис самого процесу становлення концепції, із сумнівами і непевністю, часом із безрезультатними спробами вирішення поставленого питання, із поверненням до вихідного пункту, численними повтореннями і т.п. Виділити у творчості Платона якийсь аспект і систематично викласти його досить складно, тому що потрібно реконструювати думки Платона з окремих висловлень, що настільки динамічні, що в процесі еволюції думки часом перетворюються у свою протилежність.

Платон неодноразово висловлював своє відношення до математики і вона завжди оцінювалася їм дуже високо: без математичних знань "людина з будь-якими природними властивостями не стане блаженним", у своїй ідеальній державі він припускав "затвердити законом і переконати тих, що мають намір зайняти в місті високі посади, щоб вони тренувались у науці числення". Систематичне широке використання математичного матеріалу має місце в Платона, починаючи з діалогу "Менон", де Платон підводить до основного висновку за допомогою геометричного доказу. Саме висновок цього діалогу про те, що пізнання є пригадування, став основним принципом платонівської гносеології.

Значно в більшій мірі, чим у гносеології, вплив математики виявляється в онтології Платона. Проблема будови матеріальної дійсності в Платона одержала таке трактування: світ речей, сприйманий за допомогою почуттів, не є світ істинно існуючого; речі безупинно виникають і гинуть. Щирим буттям володіє світ ідей, що безтілесні, нечуттєві і виступають стосовно речей як їхньої причини й уяви, по котрим ці речі створюються. Далі, крім почуттєвих предметів і ідей він установлює математичні істини, що від почуттєвих предметів відрізняються тим, що вічні і нерухомі, а від ідей - тим, що деякі математичні істини подібні одна з одною, ідея ж всякий раз тільки одна. У Платона в якості матерії початками є велике і мале, а в якості сутності - єдине, тому що ідеї (вони ж числа) утворюються з великого і малого через прилучення їх до єдності. Почуттєво сприйманий світ, відповідно до Платона, створений Богом. Процес побудови космосу описаний у діалозі "Тимей". Ознайомившись з цим описом, потрібно визнати, що Творець був добре знайомий із математикою і на багатьох етапах створення істотно використовував математичні положення, а часом і виконував точні обчислення.

За допомогою математичних відношень Платон намагався охарактеризувати і деякі явища громадського життя, прикладом чого може служити трактування соціального відношення "рівність" у діалозі "Горгій" і в "Законах". Можна заключити, що Платон істотно спирався на математику при розробці основних поділів своєї філософії: у концепції "пізнання - пригадування", навчанні про сутність матеріального буття, про устрій космосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д. Математика зіграла значну роль у конструктивному оформленні його філософської системи. Так у чому ж полягала його концепція математики?

Відповідно до Платона, математичні науки (арифметика, геометрія, астрономія і гармонія) даровані людині богами, що "зробили число, дали ідею часу і збудили потребу дослідження всесвітом". Споконвічне призначення математики в тому, щоб "очищався і пожвавлювався той орган душі людини, розстроєний і осліплений іншими справами", що "важливіше, чим тисяча очей, тому що ним одним споглядається істина". "Тільки ніхто не користується нею (математикою) правильно, як наукою, що приводить неодмінно до існуючого". "Неправильність" математики Платон бачив насамперед у її придатності для вирішення конкретних практичних задач. Не можна сказати, щоб він взагалі заперечив практичну придатність математики. Так, частина геометрії потрібна для "розташування таборів", "при всіх побудовах, як під час самих боїв, так і під час походів". Але, на думку Платона, "для таких речей ...достатня мала частина геометричних і арифметичних вирахувань, частина ж їх велика, що простирається далі, повинна ...сприяти найлегшому засвоєнню ідеї блага". Платон негативно відзивався про ті спроби використання механічних методів для рішення математичних задач, що мали місце в науці того часу. Його незадоволеність викликала також прийняте сучасниками розуміння природи математичних об'єктів. Розглядаючи ідеї своєї науки як відбиток реальних зв'язків дійсності, математики у своїх дослідженнях поряд з абстрактними логічними міркуваннями широко використовували почуттєві уяви, геометричні побудови. Платон усіляко намагається переконати, що об'єкти математики існують відособлено від реального світу, тому при їхньому дослідженні неправомірно удаватись до почуттєвої оцінки.

Таким чином, в історично сформованій системі математичних знань Платон виділяє тільки умоглядну, дедуктивно побудовану компоненту і закріплює за нею право називатися математикою. Історія математики містифікується, теоретичні поділи різко протипоставляться обчислювальному апарату, до межі звужується область додатка. У такому перекрученому виді деякі реальні сторони математичного пізнання і послужили одним з основ для побудови системи об'єктивного ідеалізму Платона. Адже сама по собі математика до ідеалізму взагалі не веде, і з метою побудови ідеалістичних систем її потрібно істотно деформувати.

Питання про вплив, здійснений Платоном на розвиток математики, досить важке. Тривалий час панувало переконання, що внесок Платона в математику був значний. Проте більш глибокий аналіз призвів до зміни цієї оцінки. Так, О.Нейгебауер пише: "Його власний прямий внесок у математичні знання, очевидно, був рівним нулю... Винятково елементарний характер прикладів математичних міркувань, які наводяться Платоном і Аристотелем, не підтверджує гіпотези про те, що Увдокс або Тєетет чому-небудь навчилися в Платона... Його порада астрономам замінити спостереження спекуляцією міг би зруйнувати один із найбільше значних внесків греків у точні науки". Така аргументація цілком переконлива; можна також погодитися і з тим, що ідеалістична філософія Платона в цілому зіграла негативну роль у розвитку математики. Проте не варто забувати про складний характер цього впливу.

Платонові належить розробка деяких важливих методологічних проблем математичного пізнання: аксіоматична побудова математики, дослідження відношень між математичними методами і діалектикою, аналіз основних форм математичного знання. Так, процес доказу необхідно зв'язує набір доведених положень у систему, в основі якої лежать деякі недовідні положення. Той факт, що початку математичних наук "суть припущення", може викликати сумнів в істинності всіх наступних побудов. Платон вважав такий сумнів необгрунтованим. Відповідно до його пояснення, хоча самі математичні науки, "користуючи припущеннями, лишають їх у нерухомості і не можуть дати для них підстави", припущення знаходять підстави за допомогою діалектики. Платон висловив і ряд інших положень, що виявилися плідними для розвитку математики. Так, у діалозі "Бенкет" висувається поняття межі; ідея виступає тут як межа становлення речі.

Критика, якій піддавалися методологія і світоглядна система Платона з боку математиків, при усій своїй важливості не торкалася самої основи ідеалістичної концепції. Для заміни розробленої Платоном методології математики більш продуктивною системою потрібно було піддати критичному розборові його навчання про ідеї, основні поділи його філософії і як слідство цього – його погляд на математику. Ця місія випала на долю учня Платона - Аристотеля.

Система філософії математики Аристотеля

К.Маркс назвав Аристотеля (384-322 р. до н.е.) "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що "засноване на (деякому) вже раніше наявному знанні... Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясовування чотирьох питань: "що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".

Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати розділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доказує: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкта, предмету і засобам доказу.

Існування математичних об'єктів признавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

1. У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "знаходитися в тому ж самому місці два тіла не в змозі";

2. "Неможливо і те, щоб такі реальності існували окремо".

Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких являється чимось одним, даним у наявності. Та або інша кількість є множина, якщо її можна рахувати, це розмір, якщо його можна виміряти". Множиною при цьому називається те, "що в можливості (потенційно) ділиться на частини не безупинні, величиною те, що ділиться на частині безупинні". Перед тим, як дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття безкінечного, тому що "воно ставиться до категорії кількості" і виявляється насамперед у безупинному. "Що безкінечне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників із п'ятьох основ: із часу (тому що воно нескінченно); із поділу розмірів…; далі, тільки в такий спосіб не вичерпуються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкіля береться виникаюче. Далі, із того, що кінцеве завжди граничить із чим-небудь, тому що необхідно, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більше усього -...на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається безкінечним, і математичні розміри". Чи існує безкінечне як окрема сутність або воно є акциденцією розміру або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо безкінечне не є ні розмір, ні множина, а саме є сутністю..., то воно буде неподільне, тому що ділене буде або розміром, або множиною. Якщо ж воно не неподільне, воно не нескінченно в змісті непрохідного до кінця". Неможливість математичного безкінечного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне безкінечне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час безкінечне" не існує, адже "...якщо можливо перерахувати численне, то буде можливість пройти до кінця і безкінечне". Таким чином, безкраїсть тут у потенції існує, актуально ж - немає.

Спираючись на викладене вище розуміння безкінечного, Аристотель визначає безперервність і переривчастість. Так, "безупинне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, наслідуючи за іншим, стосується його". Число як типово перериване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць. Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що "точкам, із яких було б складене безупинне, необхідно або бути безупинними, або торкатись один одного". Але безупинними вони не будуть: "адже краю точок не утворюють чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краюї, ні іншої частини". Точки не можуть і торкатись одна одної, оскільки торкаються "всі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно торкатись цілком, але те що торкається цілком не утворить безупинного".

Неможливість упорядкування безупинного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди подільні частини, установлені для розміру, Аристотель поширює на рух, простір і час, обгрунтовуючи (наприклад, у "Фізиці") правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних розмірів суперечить основним властивостям руху. Виділення безупинного і перериваного як різних родів буття послужило основою для розмежування в логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.

"Початками... у кожному роді я називаю те, відносно чого не може бути доведено, що воно є. Отже, те, що позначає первинне і з нього що випливає, приймається. Існування початків необхідно прийняти, інше - варто довести. Наприклад, що таке одиниця або що таке пряма або що таке трикутник (варто прийняти); що одиниця і розмір існує, також варто прийняти, інше - довести". У питанні про появу в людей спроможності пізнання початків Аристотель не погоджується з точкою зору Платона про уродженість таких спроможностей, але і не припускає можливості придбання їх; тут він пропонує таке рішення: "необхідно володіти деякою можливістю, проте не такою, що перевершувала б ці спроможності у відношенні точності". Але така можливість, очевидно, властива всім живим істотам; справді, вони мають природжену спроможність розбиратися, що називається почуттєвим сприйняттям. Формування початків йде "від попереднього і більш відомого для нас", тобто від того, що ближче до почуттєвого сприйняття до "попереднього і більш відомого безумовно" (таким є загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію початків, виходячи з різних ознак.

По-перше, він виділяє "початки, з котрих (що-небудь) доводиться, і такі, про котрі (доводиться)". Перші "суть загальні (всім початки)", другі - "властиві (лише даній науці), наприклад, число, розмір". У системі початків загальні займають головне місце, але їх недостатньо, тому що "серед загальних початків не може бути таких, із яких можна було б довести усе". Цим і пояснюється, що серед початків повинні бути "одні властиві кожній науці окремо, інші - загальні всім". По-друге, початки діляться на дві групи в залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс початків науки, що доказує, ділиться на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.

Вибір початків в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доказує; саме початки характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. "Те, що доводиться", можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний силогізм, що доказує, і його висновки. З цих елементарних процесів будується будинок науки, що доказує, у виді окремо взятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Проте не всякий набір доказів утворить теорію. Для цього він повинний задовольняти визначеним вимогам, що охоплюють як утримання доказуваних пропозицій, так і зв'язку між ними. У межах же наукової теорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, що не є первинними, але служать для розкриття предмета теорії.

Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по утриманню в сукупності вони утворять повну систему. У основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відбитка об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платоновим ідеалізмом; адже "якщо в явищах почуттєвого світу не знаходиться зовсім математичне, то яким чином можливо, що до них додаються його властивості?" - писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшому ступені відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду поділів його філософської системи.

Література

1. Сократ. Платон. Аристотель. Ю.М. Шопенгауер: Биографические повествования. – Урал, 1995. – (Жизнь замечательных людей. Биографическая библиотека Ф. Павленкова).

2. Туган – Барановский М.И. К лучшему будущему. – М.: РОССПЗН, 1996. – (Научная философия).

3. Сокуляр З. А. Проблема основания знания: (Гносеологические концепции Л. Витгенштейна и К. Поппера) / отв. ред. Е.А. Мамчур; АН СССР, ИНИНОН. – М.: Наука, 1988.

4. Татаркевич В. Історія філософії. – Львів: Свічадо. 1997.

5. Горан В.П. Необходимость и случайность в философии Демокрита /Отв. ред. М.Г. Федеров. – Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1984.

6. Луканин Р.К. «Органон» Аристотеля /Отв. ред. В.В. Соколов. – М.: Наука, 1984.

7. Панченко Д.В. Платон и Атлантида /АН СССР. – Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1990.

8. Нерсесянц, В.С. Платон. – М.: Юрид. Лит., 1984.

9. Платон. Диалоги / Платон; АН СССР, Ин-т философии. – М.: Мысль, 1986.

10. Учебники платоновской философии. /Сост. Шигалин Ю.А. – М.: Водолей, 1995.

11. Жмузь Л.Я. Пифагор и его школа (ок. 530 – ок. 430 гг. до н.э.) / АН СССР. – Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1990.