Ранг матриці

Нехай задано матрицю А_тхп = А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k — число, не більше чисел т і п, тобто k min (т, п).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перети­ні виділених рядків і стовпців, називається мінором k-гo порядку мат­риці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мі­норів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці А_тхп, причому

2) r (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці п-го порядку ранг дорівнює п тоді і тіль­ки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мі­норів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого по­рядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого по­рядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори по­рядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k-l.

Приклад

Знайти ранг матриці

О Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля) тому r (А) 1.

Оскільки один з мінорів другого порядку

а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то r (А) = 2. •

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Про­стіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1]:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи друго­го рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.