Пошукова робота на тему:
Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості.
План
Похідна за напрямком
Градієнт функції
Основні властивості
1. Похідна функції за напрямком і градієнт
Нехай 
- функція, означена в області 
. Розглянемо деяку точку 
і деякий напрямок 
, визначений напрямними косинусами 
і 
(тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат 
і 
). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки 
в точку 
функція одержує приріст
, (7.46)
який називається приростом функції 
в заданому напрямку .
Якщо 
є величина переміщення точки 
, то із прямокутного трикутника 
одержуємо 
, 
, отже,
. (7.47)
Означення. Похідною 
функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто
. (7.48)
З цієї точки зору похідні і 
можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .
Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція 
диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому
,
де 
і 
при 
і 
. Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо
.
Отже,
.
Переходячи до границі в останній формулі при 
,тобто при і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:
. (7.49)
Приклад. Обчислити в точці 
похідну функції 
в напрямку, що складає кут 
з віссю .
Р о з в ’ я з о к.
.
Зауваження. Для функції 
її похідна в напрямку 
дорівнює
(7.50)
Рис.7.10 Рис.7.11
При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .
Означення. Градієнтом функції в точці в даній точці 
називається вектор, розміщений в площині аргументів 
і 
, який має своїм початком цю точку 
і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці :
(7.51)
Тут 
- орти координатних осей і .
Теорема. Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.
Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної 
як скалярний добуток двох векторів:
.
Перший із співмножників є 
.
Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів 
і 
збігаються; це найбільше значення дорівнює модулю, тобто числу
.
Теорема доведена.
Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання .
Приклад. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції 
в точці 
і обчислити значення похідної в цьому напрямку.
Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :
.
Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю .
Похідна 
.
Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням 
. Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці (рис. 7.11) дорівнює 
(7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює 
.
Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівня , яка проходить через точку .
Зауваження. Градієнт функції 
в точці запишеться так:
, (7.52)
де 
- орти координатних осей.
