Поняття функції

Вивчаючи те чи інше явище, ми, як правило, оперуємо кількома ве­личинами, які пов'язані між собою так, що зміна деяких з них приво­дить до зміни інших.

Такий взаємозв'язок у математиці виражається за допомогою функ­ції. Цей термін вперше ввів Г. Лейбніц.

Приклади

1. Нехай електричне коло складається з джерела постійної напруги U і реоста­та R. При зміні опору й змінюватиметься сила струму. Напруга U — величина стала (в даному колі), а опір R і струм І — змінні, причому І змінюється залежно від змі­ни R за законом Ома: І = , тобто сила струму І є функція опору R.

2. Під час вільного падіння тіла пройдений шлях S залежить від зміни часу t. Зв'язок між змінними величинами S і t задається формулою

де g — прискорення при вільному падінні (стала величина). Величина S залежить від зміни величини t, тобто шлях S є функцією часу t.

Спільним у цих прикладах є те, що зв'язок між змінними величинами описується певним правилом (залежністю, законом, відповід­ністю) так, що кожному значенню однієї величини (R, Р, t, d) від­повідає єдине значення другої (I, V, S, l).

Дамо тепер означення функції. Якщо кожному числу х з деякої числової множини X за певним правилом поставлене у відповідність єдине число у, то кажуть, що у є функція від х і пишуть у = f(х), хХ. Це означення належить М.І. Лобачевському і Л. Діріхле.

Змінна х називається незалежною змінною, або аргументом, а змінна у — залежною змінною, або функцією; під символом f розуміють те правило, за яким кожному х відповідає у, або ті операції, які треба виконати над аргументом, щоб дістати відповідне значення функції.

Множина X називається областю визначення функції. Множина Y усіх чисел у, таких, що у= f (х) для кожного х X називається множиною значень функції, тобто

Іноді у означенні функції припускають, що одному значенню аргумента відповідає не одне, а кілька значень у або навіть нескінченна множина значень у. У цьому випадку функцію називають багато­значною, на відміну від означеної вище однозначної функції. Прикла­дами многозначних функцій є у = ± , у = Агсsіn х тощо. Надалі ми розглядатимемо лише однозначні функції.

У ширшому розумінні поняття функції вживається як синонім поняття відображення множини на множину.

Нехай задано дві непорожні множини X і Y з елементами х X і у Y і нехай перетворення f переводить х в у. Тоді це перетворен­ня f (правило, закон, відповідність, відображення, залежність) нази­вають функцією і пишуть

(X та Y множини деяких елементів, не обов'язково числові).

У цьому випадку, як і у випадку числових множин X та Y, ці множини називають областю визначення та множиною значень функції. Залежно від природи множини X та Y для функції f вживають різні назви. Так, якщо X та Y — множини дійсних чисел, то кажуть, що f — дійсна функція дійсного аргументу; якщо X — множина ком­плексних чисел (гл. 7, п. 14), а Y — множина дійсних чисел, то f — дійсна функція комплексного аргументу; якщо X — множина функ­цій, а Y — числова множина, то f називається функціоналом.

Порівнюючи означення функції, бачимо, що в першому з них під функцією у = f(х) розуміють її значення — число у. За другим означенням функція — це закон або правило f, за яким кожному елементу хX ставиться у відповідність єдиний елемент уY. Таким чином, за першим означенням поняття функції зводиться до поняття змінної величини, а за другим — до поняття відповідності. Іноді поняття функції виражається і через інші поняття (наприклад, множину). Надалі користуватимемось першим означенням функції.

У курсі математичного аналізу розглядають функції, для яких область визначення X і множина значень Y складаються з дійсних чисел. Тому під поняттям «число», якщо не зроблено застереження, розумітимемо дійсне число.

З означення функції не випливає, що різним значенням аргументу відповідають різні значення функції. Функція може в усій області визначення набувати кількох або навіть одного значення. Зокрема, якщо множина значень функції складається лише з одного числа с, то таку функцію називають сталою і пишуть у = с.

Способи задання функцій

Щоб задати функцію у = f (х), треба вказати її область визначен­ня X, множину значень Y і правило f, за яким для довільного числа х X можна знайти відповідне йому число у Y.

Основні способи задання функції: аналітичний, графічний і табличний.

При аналітичному способі задання функції відповідність між аргументом і функцією задається формулою (аналітичним виразом), де зазначено, які дії потрібно виконати над значенням аргументу та сталими числами, щоб дістати відповідне значення функції. Якщо при цьому область визначення не вказується, то під останньою розумі­ють область існування функції — множину всіх дійсних значень аргу­менту, для яких аналітичний вираз має зміст.

Зауваження. Не слід ототожнювати функцію і формулу, за допомогою якої ця функція задана. Однією й тією формулою можна задавати різні функції, і навпаки, одна й та сама функція на різних ділянках її області визначення може задаватись різними формулами. Так, функції у = х³, х І0; 1] і у = х³, х (2; 5) — різні, бо вони мають різні області визначення; функція

визначена на проміжку (, але для недодатних і додатних значень аргументу її задано різними формулами.

Приклад

Знайти області визначення функції:

а)

б)

в)

г) y =

д) у = nl.

а) Х =

б) Х =

в) Х =

г) Х =

д) формула у = n! ставить у відповідність кожному натуральному числу п чис­ло у = n!. Наприклад, якщо n = 3, то у = 3! = 1 • 2 • 3 = 6, якщо n = 5, то у = 5! = 1  2  3  4  5 = 120. Отже, X = Z₀ (вважають, що 0! = 1).

Ці приклади показують, що областю існування функції можуть бути досить різноманітні множини: відрізок, кілька або навіть нескінченна кількість відрізків, дискретна множина точок тощо.

Зазначимо, що задача знаходження множини У значень аналітичне заданої функції набагато складніша і пов'язана з задачею про екстремуми функції (гл. 6, п. 6.3).

При графічному способі задання функції у = f (х) відповідність між змінними х і у задається графіком — множиною точок (х; у) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність у = f(x). Залежно від того, яку задано функцію, графік її може скла­датись з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини то­чок площини тощо.

Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов'язаних з використанням таких самописних приладів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму або напруги), електрокардіо­граф (для запису електричних явищ, пов'язаних з діяльністю серця), термограф (для запису змін температури повітря) тощо. Криві (їх називають відповідно барограма, осцилограма, електрокардіограма, термограма), що їх виписують прилади, задають цілком певну функ­цію, властивості якої характеризують перебіг того чи іншого процесу.

Графіки функцій можна спостерігати на дисплеях комп'ютерів. У математиці графіками широко користуються для геометричного зображення функцій, навіть тоді, коли ці функції задані аналітичне. Якщо функція у = f (х) задана на деякій множині X формулою, то завжди можна вважати, що їй відповідає певний графік, який визначає цю функцію геометричне. А якщо функція задана довільним графі­ком, то чи можна її задати деякою формулою? Це дуже складне запи­тання. Щоб відповісти на нього, потрібно з'ясувати, який зміст має по­няття формули. Якщо функція у = f (х) задана формулою, то ми по­ки що вважаємо, що функція у утворюється за допомогою скінченного числа таких операцій над х, як додавання, віднімання, множення, ді­лення, добування кореня, логарифмування, взяття sin, агсsіn тощо. Математичний аналіз дає змогу значно розширити поняття формули. Зокрема, формулою вважається також і нескінченний ряд, членами якого є ті чи інші функції, тобто допускається нескінченне число опе­рацій над цими функціями. За допомогою таких формул більшість кривих, що зустрічаються на практиці, можна задати аналітичне (гл. 9)..

Приклади

1. Графіком функції у = 2 n - 3 n N є нескінченна множина ізольованих точок, які лежать на прямій у = 2х — 3.

2. Графіком функції у = |х| є сукупність бісектрис першого і другого коорди­натних кутів.

3. Графіком функції

що задана різними аналітичними виразами на різних частинах області зміни х, є сукупність параболи і прямої. Стрілка на графіку означає, що точка М (2, 2) не належить прямій.

4. Функція

(читається «сигнум ікс») визначена на всій числовій осі і набуває трьох значень:

— 1; 0; 1; Х = (—; + ), Y = {—1, 0, 1).

5. Функція у = визначена при х0 і набуває двох значень:

-1; 1; Х = (-; 0) U (0; +); Y = {—1, 1).

Зауважимо, що в прямокутній системі координат Оху функцію задає лише така крива 1₂, яку кожна пряма, що проходить через точку хX паралельно осі Оу, перетинає лише в одній точ­ці. Область визначення цієї функції — відрізок [а; b], який є проек­цією кривої на вісь Ох. Щоб знайти значення функції у₀ = f(х₀), що відповідає значенню аргументу х₀, потрібно через точку х₀ [а; b] провести перпендикуляр до осі Ох. Довжина цього перпендикуля­ра від осі Ох до точки М₀ (х₀; у₀) перетину з кривою, взята з належ­ним знаком, і є значенням функції в точці х₀, тобто у₀ = f(х₀). Кри­ва 1₁ не задає функцію.

Табличний спосіб задання функції у = f(x) полягає в тому, що відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.

Табличний спосіб досить часто використовується при проведенні експериментів, коли задають певну сукупність х₁, х₂, ...,х_n значень аргументу і дослідним шляхом знаходять відповідні значення функції: y₁, у₂, ..., у_п.

Якщо функція задана аналітичне, то для неї можна побудувати таблицю, тобто табулювати функцію. Табулюються, як правило, функ­ції, які виражаються складною формулою, але часто зустрічаються в практиці. Такими є, наприклад, таблиці логарифмів, тригонометричні

таблиці тощо. І тут, як і при графічному заданні функції, виникає обернене запитання: чи завжди можна від табличного задання функ­ції перейти до аналітичного, тобто чи можна функцію, задану таб­лицею, задати формулою? Щоб відповісти на нього, зауважимо, що таблиця дає не всі значення функції. Проміжні її значення, які не вхо­дять у задану таблицю, можна знайти наближено за допомогою так званої операції інтерполювання функції. Тому в загальному випад­ку знайти точний аналітичний вираз функції за її таблицею неможли­во. Проте можна побудувати формулу, причому не одну, яка для зна­чень x_і, що є в таблиці, буде давати відповідні значення у_і, функції. Такі формули називаються інтерполяційними.

Останнім часом табличний спосіб широко застосовується у зв'язку з використанням електронно-обчислювальних машин (ЕОМ), тому що вихідну інформацію ЕОМ видає у вигляді числових масивів (таб­лиць). У зв'язну з цим все більше поширюється і стає одним з основних четвертий спосіб задання функції — за допомогою комп'ютерних програм. Як правило, цим способом задаються такі функції, які є розв'язками складних математичних задач. Жодним з поперед­ніх способів подібні функції задати не можна.

Крім розглянутих існують й інші способи задання функції. Так, функцію можна задати словесним описом залежності між змінними.

Приклади

1. Функцію у задано умовою кожному дійсному числу х ставиться у відповід­ність найбільше ціле число, яке не перевищує х. Ця функція, визначена на множині дійсних чисел, називається цілою частиною х і позначається у = [а] або у = Е (х) (Е — початкова літера французького слова entier — цілий). Наприклад, [0, 2] = 0, [—2, 5] = —3, [5] = 5 і т. д.

2. Кожному раціональному числу ставиться у відповідність число 1, а ірраціо­нальному — число 0. Ця функція теж визначена па множині R. Вона позначається через D (х) і називається функцією Діріхле:

Графік функції D(х) практично зобразити не можна, бо він складається з точок прямої у = 1, що мають абсцисами раціональні числа, і з точок прямої у = 0, в яких абсциси — ірраціональні числа.