Реферат на тему Методы обучения математике общая характеристика и классификация
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-05-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
Методы обучения математике: общая характеристика и классификация
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Коровина А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1 Общая характеристика методов научного исследования
2 Классификация методов обучения в дидактике
3 Общие методы обучения математике
Заключение
Литература
Введение
Оперируя «идеальными» объектами, отражающими свойства математических приемов и законы материального мира в сочетании с отвлечением от несущественных свойств рассматриваемых объектов, математики в своих понятиях и положениях выражает наиболее глубокие и общие свойства реальной действительности.
Процесс познания и процесс обучения учащихся выражает самостоятельное открытие математических фактов истин, поэтому научные методы математического исследования одновременно служат и методами учебной работы учащихся.
Проблема методов обучения выражается в вопросе «как учить?», для чего необходимо: 1) выяснить, для чего это изучается, какие знания, умения и навыки должны приобрести учащиеся в результате изучения; 2) провести логико-дидактический анализ того, что изучается (структура и особенности содержания обучения; изложение в школьном учебнике); 3) знать объект обучения (уровень мыслительной деятельности учащихся, объем знаний, умений и навыков, необходимых для обучения по данному содержанию).
1. Общая характеристика методов научного исследования
Различают традиционные и современные методы обучения. Традиционные методы направлены на обучение готовым знаниям и учебная деятельность учащихся носит репродуктивный характер, и не способствует эффективному развитию. Внешне традиционный метод проявляется в хорошо известной форме, когда учитель излагает учебный материал с привлечением различных средств наглядности, а ученики воспринимают учебную информацию, заучивают и воспроизводят ее по требованию учителя. Учебная деятельность ученика репродуктивна, а главный результат обучения – усвоение суммы фактов. Развивающий эффект весьма низок, т.к. нет активной деятельности учеников.
Современные методы, которые не противопоставляются традиционным, ориентированы на обучение деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, на обучение познавательной деятельности, включающей следующие компоненты: 1) общие логические приемы мышления (индукция, дедукция, анализ, синтез, аналогия, обобщение, абстрагирование, конкретизация, классификация); 2) специальные приемы мыслительной деятельности, составляющие основу математических методов познания (метод построения математических моделей процессов; способов абстрагирования, присущих математике; аксиоматический метод); 3) система знаний.
Усвоение математических знаний и уровень математического развития учащихся всегда проверяется через умение решать задачи. Методы обучения, ориентированные на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить их отыскивать и описывать общие методы (алгоритмы) решения классов задач однотипных через анализ и обобщение способов решения частных задач, принадлежащих этим классам.
2. Классификация методов обучения в дидактике
Методы обучения, выделяемые по источнику знаний:
Словесные методы обучения: рассказ, беседа, лекция, которые проводятся для всего класса.
Признаки рассказа:
предполагает устное повествовательное изложение учебного материала;
применяется при изложении учебного материала ознакомительного характера;
не прерывается вопросами к учащимся;
позволяет при минимальных затратах времени сообщить максимум знаний;
предполагает использование таких методических приемов, как изложение информации, активизация внимания, ускорение запоминания; логических приемов сопоставления, сравнения, выделения неявного, резюмирование;
характеризуется недостаточной долей самостоятельного познания учащихся, ограниченностью элементов поисковой деятельности;
затрудняет обратную связь (учитель не получает достаточной информации о качестве усвоения знаний, не может учесть индивидуальных особенностей всех учащихся).
Виды рассказа: рассказ-вступление, рассказ-изложение, рассказ-заключение.
Эффективность достигается при наличии продуманного плана, выбора наиболее рациональной последовательности раскрытия темы, удачного подбора примеров и иллюстраций, поддержание должного эмоционального тона изложения.
Эффективность беседы зависит от подобранных вопросов, которыми управляется беседа. При разбиении материала на смысловые части упрощается сам процесс постановки вопросов, которые помогают учащимся перейти от одной части к другой, примером может служить анализ и решение текстовой задачи.
Наглядные методы обучения:
а) метод иллюстраций - предполагает показ учащимся различных иллюстративных пособий (карты, чертежи, схемы, картины, фотографии, графики, таблицы, модели);
б) метод демонстраций - предполагает показ динамичных пособий, натуральных объектов, кинофильмов, диафильмов, видеозаписей, слайдов, различных приборов и оборудования в действии.
В частности, к методу иллюстраций можно отнести «опорные сигналы Шаталова».
Эффективность достигается при: 1) хорошем обозрении наглядного пособия; 2) постановка учебной цели, четкого выделения главного при демонстрации пособия; 3) умелого сочетания слова и показа средства наглядности, осуществление ориентации действий учащихся на достижение учебной цели с помощью средств наглядности; 4) привлечение учащихся к нахождению желаемой информации.
Практические методы обучения:
в математике связаны с построениями, измерениями, вычислениями, изготовлением наглядных пособий, выполнением чертежей фигур, наиболее полно отвечающих условию задачи; письменные упражнения (тренировочные и комментированные), лабораторно-практические работы, работа на ЭВМ по обучающим программам; работа в группах.
Методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся.
К ним относятся:
1) репродуктивные: методы обучения, основу которого составляют словесный, наглядный и практический методы;
2) проблемно-поисковый метод обучения: проблемное изложение учебного материала, эвристическая беседа, исследовательский метод.
3) методы самостоятельной работы:
а) работа с учебником и другой литературой;
б) самостоятельные письменные работы (проводятся почти на каждом уроке по 7-15 минут; первые – по теме – обучающего характера и корректирующего, позволяющие установить оперативную обратную связь, в журнал выставляются только хорошие оценки, а удовлетворительные оценки - по желанию; последующие – контролирующего характера с выставлением всех оценок в журнал);
в) самостоятельное решение задач;
г) самостоятельная работа с приборами;
д) самостоятельное наблюдение;
е) самостоятельное выполнение произвольных заданий.
Методы научного познания в обучении математике.
К ним относятся:
1) логические методы познания: индукция, дедукция, анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, моделирование, классификация, доказательство.;
2) эмпирические методы познания.
Наблюдение, описание, измерение и эксперимент, которые не являются характерными для математики. История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как науки, самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и ТСО предполагает применение различных эмпирических методов, помогающих избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу.
Задача. Найти все такие натуральные числа, квадрат которых оканчивается цифрой 7.
Поиск решения данной задачи предполагает небольшой числовой эксперимент и формулирование гипотезы в процессе обобщения полученных данных.
Метод измерения применим к поиску решения планиметрических задач, когда производим инструментальное исследование чертежа данной фигуры. Измерение: вывод о сумме внутренних углов в произвольном треугольнике, для чего учащимся предлагается вырезать из бумаги остроугольный, тупоугольный треугольники, транспортиром измерить величины их углов и найти их сумму: 
. Опыт: по табличным данным или отмеченным точкам на координатной плоскости определить вид функции:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Наблюдение: простые и составные числа; сформулировать определения. Простое ли число 1?
3) математические методы познания:
а) метод математических моделей. Математическая модель – описание какого-либо класса явлений реального мира на языке математики. Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятие числа, геометрической фигуры, уравнения, неравенства, функции, производной являются примерами математических моделей.
К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить модель), используя абстракции отождествления, идеализации, обобщения.
Задача. 6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га, 8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га. Сколько дней смогут пастись 12 коров на участке площадью 0,6 га? (Прирост травы на участке пропорционален его площади и времени).
x – количество травы, съедаемое одной коровой в день;
y – начальное количество травы на 1 га;
z – прирост травы на 1 га в день;
6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га:
6*х*3=у*0,2+3*z*0,3.
8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га:
8*х*4=у*0,3+4*z*0,3
Решим эту систему:
Определим первоначальное количество травы на одном га:
12 коров за t дней съедают траву на участке 0,6 га:
Ответ: 12 дней.
б) аксиоматический метод:
Методическая схема: 1) составить набор математических утверждений (это может быть выполнено учащимися на основе математизации эмпирического материала или предложено учителем в готовом виде); полученные таким образом математические предложения пока логически не связаны друг с другом, поэтому необходимо логически организовать имеющийся математический материал; 2) найти исходные утверждения, на основе которых могут быть доказаны остальные; 3) провести доказательство утверждений, не отнесенных к числу исходных; 4) сформулировать аксиомы, определения, теоремы.
Задача. 
a
c b
Выделить из этого перечня утверждений, на основе которых можно доказать остальные.
Методы стимулирования и мотивации.
Формирование познавательного интереса: занимательность, новизна, приближенность к открытиям науки, познавательные игры, проблемность, успех, анализ жизненных ситуаций (применимо к словесным, наглядным и практическим методам).
Стимулирование долга и ответственности: общественная значимость учения; личностная значимость учения; предъявление учебных требований; поощрение; порицание.
Методы контроля и самоконтроля.
«Повторение – мать учения» гласит народная пословица, поэтому каждый новый факт должен быть закреплен, понят и усвоен учеником. Насколько прочны знания учитель судит по ответам учеников. Кроме хорошо известного метода устного опроса существуют и такие: письменный, лабораторный, машинный контроль (контролирующие программы на ЭВМ), взаимоконтроль, самоконтроль, зачет.
Наиболее быструю обратную связь дает устный опрос, забирающий большой промежуток времени, полную информацию дает письменный контроль, однако он запаздывает по времени. Математический диктант позволяет учителю получить наиболее своевременную и полную информацию о подготовленности учеников. Методика проведении математического диктанта: несколько вопросов, включающих основные вопросы темы, либо основные учебные умения и навыки; после каждого вопроса ученикам дается время на запись ответа. Например, в 9-от классе после изучения темы «Арифметический корень» может быть предложен диктант такого содержания:
Записать определения арифметического корня из числа а.
Записать свойство, связанное с извлечением корня:
а) из произведения; б) из корня.
3. Упростить следующие выражения:
Кроме перечисленных форм контроля каждый из них может носить текущий, промежуточный, итоговый характер.
Основная «идея» работы учителя Романа Григорьевича Хозанкина (СШ №14, г. Белорецк, Башкирия) состоит в структуре обучения, при котором учащиеся сами творят урок. Непременное условие успешного овладения знаниями – логическое мышление, которое формируется не вдруг и для каждого ученика индивидуально. Беда наших уроков в том, что следует выполнять все, что «намечено», ответы должны быть «сиюминутными»; на размышления времени нет, а следовательно создается подбор типовых задач и стандартных ответов, результат которого – «натаскивание» школьников. Развитие логического мышления требует время на его развитие через решение задач на обобщение и анализирование; ученик должен иметь время на изучение вариантов построения контрпримеров, составление задач не только по подобию, но и таких, которые возникают при изучении какой-либо теоремы, правила. (М. в школе, №4, 1987 г.).
Зачетный урок – урок индивидуальной работы; возможность организовать шефство старших классов над младшими. В частности, после повторения старшеклассниками зачетной теме для младшего класса, они подготавливают зачетную карточку для приема зачета. На зачет отводится 2 урока: на первом – подготовка, на втором – ответ (зачет).
3. Общие методы обучения математике
Сравнение и аналогия.
Сравнение – выявление сходства и различия сравниваемых предметов. Например, 1) треугольник и четырехугольник общим имеют соответствие числа сторон числу углов; отличие в их количестве; 2) алгебраические и обыкновенные дроби: общее – не имеют смысла при нулевом знаменателе; наличие числителя и знаменателя; различие – в природе числителей и знаменателей.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: 1) сравниваемые понятия однородны; 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют для них существенное значение. Иначе говоря, основные требования к сравнению: иметь смысл; планомерно; полно.
Сравнение – почва для аналогии (греческое – соответствие, сходство), которая осуществляется по схеме:
А обладает свойствами a, b, c, d
В обладает свойствами a, b, c
Вероятно В обладает и свойством d.
Заключение по аналогии правдоподобно, но не достоверно, поэтому аналогия не является доказательным рассуждением.
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении:1) натуральные числа и десятичные дроби; 2) если a||b и a^b, то b^c – теорема на плоскости и в пространстве. Когда будет верным обратное утверждение: a^b и b^c Þ a||b
Недостаток в нашей практике обучения – мы не учим ребят опровержению. В качестве опровержения обратному утверждению пространстве может служить пример (см. рисунок).
Поиск сходства – путь к плодотворным рассуждениям по аналогии. Например, треугольник и тетраэдр имеют сходство минимальности линий на плоскости и плоскостей в пространстве; биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности и биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в центре вписанного в него шара.
Следует различать полезную и вредную аналогии.
Полезная аналогия: прямоугольник – прямоугольный параллелепипед;
окружность – сфера;
прямая на плоскости – плоскость в пространстве.
Вредная аналогия: 
- "аналогия" с основным свойством дроби;
- "аналогия" с извлечением корня из произведения
Обобщение и специализация, абстрагирование и конкретизация.
Обобщение – мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.
Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных (с математической точки зрения) или не общих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание.
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
Методы обучения математике: общая характеристика и классификация
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Коровина А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1 Общая характеристика методов научного исследования
2 Классификация методов обучения в дидактике
3 Общие методы обучения математике
Заключение
Литература
Введение
Оперируя «идеальными» объектами, отражающими свойства математических приемов и законы материального мира в сочетании с отвлечением от несущественных свойств рассматриваемых объектов, математики в своих понятиях и положениях выражает наиболее глубокие и общие свойства реальной действительности.
Процесс познания и процесс обучения учащихся выражает самостоятельное открытие математических фактов истин, поэтому научные методы математического исследования одновременно служат и методами учебной работы учащихся.
Проблема методов обучения выражается в вопросе «как учить?», для чего необходимо: 1) выяснить, для чего это изучается, какие знания, умения и навыки должны приобрести учащиеся в результате изучения; 2) провести логико-дидактический анализ того, что изучается (структура и особенности содержания обучения; изложение в школьном учебнике); 3) знать объект обучения (уровень мыслительной деятельности учащихся, объем знаний, умений и навыков, необходимых для обучения по данному содержанию).
1. Общая характеристика методов научного исследования
Различают традиционные и современные методы обучения. Традиционные методы направлены на обучение готовым знаниям и учебная деятельность учащихся носит репродуктивный характер, и не способствует эффективному развитию. Внешне традиционный метод проявляется в хорошо известной форме, когда учитель излагает учебный материал с привлечением различных средств наглядности, а ученики воспринимают учебную информацию, заучивают и воспроизводят ее по требованию учителя. Учебная деятельность ученика репродуктивна, а главный результат обучения – усвоение суммы фактов. Развивающий эффект весьма низок, т.к. нет активной деятельности учеников.
Современные методы, которые не противопоставляются традиционным, ориентированы на обучение деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, на обучение познавательной деятельности, включающей следующие компоненты: 1) общие логические приемы мышления (индукция, дедукция, анализ, синтез, аналогия, обобщение, абстрагирование, конкретизация, классификация); 2) специальные приемы мыслительной деятельности, составляющие основу математических методов познания (метод построения математических моделей процессов; способов абстрагирования, присущих математике; аксиоматический метод); 3) система знаний.
Усвоение математических знаний и уровень математического развития учащихся всегда проверяется через умение решать задачи. Методы обучения, ориентированные на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить их отыскивать и описывать общие методы (алгоритмы) решения классов задач однотипных через анализ и обобщение способов решения частных задач, принадлежащих этим классам.
2. Классификация методов обучения в дидактике
Методы обучения, выделяемые по источнику знаний:
Словесные методы обучения: рассказ, беседа, лекция, которые проводятся для всего класса.
Признаки рассказа:
предполагает устное повествовательное изложение учебного материала;
применяется при изложении учебного материала ознакомительного характера;
не прерывается вопросами к учащимся;
позволяет при минимальных затратах времени сообщить максимум знаний;
предполагает использование таких методических приемов, как изложение информации, активизация внимания, ускорение запоминания; логических приемов сопоставления, сравнения, выделения неявного, резюмирование;
характеризуется недостаточной долей самостоятельного познания учащихся, ограниченностью элементов поисковой деятельности;
затрудняет обратную связь (учитель не получает достаточной информации о качестве усвоения знаний, не может учесть индивидуальных особенностей всех учащихся).
Виды рассказа: рассказ-вступление, рассказ-изложение, рассказ-заключение.
Эффективность достигается при наличии продуманного плана, выбора наиболее рациональной последовательности раскрытия темы, удачного подбора примеров и иллюстраций, поддержание должного эмоционального тона изложения.
Эффективность беседы зависит от подобранных вопросов, которыми управляется беседа. При разбиении материала на смысловые части упрощается сам процесс постановки вопросов, которые помогают учащимся перейти от одной части к другой, примером может служить анализ и решение текстовой задачи.
Наглядные методы обучения:
а) метод иллюстраций - предполагает показ учащимся различных иллюстративных пособий (карты, чертежи, схемы, картины, фотографии, графики, таблицы, модели);
б) метод демонстраций - предполагает показ динамичных пособий, натуральных объектов, кинофильмов, диафильмов, видеозаписей, слайдов, различных приборов и оборудования в действии.
В частности, к методу иллюстраций можно отнести «опорные сигналы Шаталова».
Эффективность достигается при: 1) хорошем обозрении наглядного пособия; 2) постановка учебной цели, четкого выделения главного при демонстрации пособия; 3) умелого сочетания слова и показа средства наглядности, осуществление ориентации действий учащихся на достижение учебной цели с помощью средств наглядности; 4) привлечение учащихся к нахождению желаемой информации.
Практические методы обучения:
в математике связаны с построениями, измерениями, вычислениями, изготовлением наглядных пособий, выполнением чертежей фигур, наиболее полно отвечающих условию задачи; письменные упражнения (тренировочные и комментированные), лабораторно-практические работы, работа на ЭВМ по обучающим программам; работа в группах.
Методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся.
К ним относятся:
1) репродуктивные: методы обучения, основу которого составляют словесный, наглядный и практический методы;
2) проблемно-поисковый метод обучения: проблемное изложение учебного материала, эвристическая беседа, исследовательский метод.
3) методы самостоятельной работы:
а) работа с учебником и другой литературой;
б) самостоятельные письменные работы (проводятся почти на каждом уроке по 7-15 минут; первые – по теме – обучающего характера и корректирующего, позволяющие установить оперативную обратную связь, в журнал выставляются только хорошие оценки, а удовлетворительные оценки - по желанию; последующие – контролирующего характера с выставлением всех оценок в журнал);
в) самостоятельное решение задач;
г) самостоятельная работа с приборами;
д) самостоятельное наблюдение;
е) самостоятельное выполнение произвольных заданий.
Методы научного познания в обучении математике.
К ним относятся:
1) логические методы познания: индукция, дедукция, анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, моделирование, классификация, доказательство.;
2) эмпирические методы познания.
Наблюдение, описание, измерение и эксперимент, которые не являются характерными для математики. История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как науки, самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и ТСО предполагает применение различных эмпирических методов, помогающих избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу.
Задача. Найти все такие натуральные числа, квадрат которых оканчивается цифрой 7.
Поиск решения данной задачи предполагает небольшой числовой эксперимент и формулирование гипотезы в процессе обобщения полученных данных.
Метод измерения применим к поиску решения планиметрических задач, когда производим инструментальное исследование чертежа данной фигуры. Измерение: вывод о сумме внутренних углов в произвольном треугольнике, для чего учащимся предлагается вырезать из бумаги остроугольный, тупоугольный треугольники, транспортиром измерить величины их углов и найти их сумму:
а)
Наблюдение: простые и составные числа; сформулировать определения. Простое ли число 1?
3) математические методы познания:
а) метод математических моделей. Математическая модель – описание какого-либо класса явлений реального мира на языке математики. Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятие числа, геометрической фигуры, уравнения, неравенства, функции, производной являются примерами математических моделей.
К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить модель), используя абстракции отождествления, идеализации, обобщения.
Задача. 6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га, 8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га. Сколько дней смогут пастись 12 коров на участке площадью 0,6 га? (Прирост травы на участке пропорционален его площади и времени).
x – количество травы, съедаемое одной коровой в день;
y – начальное количество травы на 1 га;
z – прирост травы на 1 га в день;
6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га:
6*х*3=у*0,2+3*z*0,3.
8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га:
8*х*4=у*0,3+4*z*0,3
Решим эту систему:
Определим первоначальное количество травы на одном га:
12 коров за t дней съедают траву на участке 0,6 га:
Ответ: 12 дней.
б) аксиоматический метод:
Методическая схема: 1) составить набор математических утверждений (это может быть выполнено учащимися на основе математизации эмпирического материала или предложено учителем в готовом виде); полученные таким образом математические предложения пока логически не связаны друг с другом, поэтому необходимо логически организовать имеющийся математический материал; 2) найти исходные утверждения, на основе которых могут быть доказаны остальные; 3) провести доказательство утверждений, не отнесенных к числу исходных; 4) сформулировать аксиомы, определения, теоремы.
Задача.
a c b Выделить из этого перечня утверждений, на основе которых можно доказать остальные.
Методы стимулирования и мотивации.
Формирование познавательного интереса: занимательность, новизна, приближенность к открытиям науки, познавательные игры, проблемность, успех, анализ жизненных ситуаций (применимо к словесным, наглядным и практическим методам).
Стимулирование долга и ответственности: общественная значимость учения; личностная значимость учения; предъявление учебных требований; поощрение; порицание.
Методы контроля и самоконтроля.
«Повторение – мать учения» гласит народная пословица, поэтому каждый новый факт должен быть закреплен, понят и усвоен учеником. Насколько прочны знания учитель судит по ответам учеников. Кроме хорошо известного метода устного опроса существуют и такие: письменный, лабораторный, машинный контроль (контролирующие программы на ЭВМ), взаимоконтроль, самоконтроль, зачет.
Наиболее быструю обратную связь дает устный опрос, забирающий большой промежуток времени, полную информацию дает письменный контроль, однако он запаздывает по времени. Математический диктант позволяет учителю получить наиболее своевременную и полную информацию о подготовленности учеников. Методика проведении математического диктанта: несколько вопросов, включающих основные вопросы темы, либо основные учебные умения и навыки; после каждого вопроса ученикам дается время на запись ответа. Например, в 9-от классе после изучения темы «Арифметический корень» может быть предложен диктант такого содержания:
Записать определения арифметического корня из числа а.
Записать свойство, связанное с извлечением корня:
а) из произведения; б) из корня.
3. Упростить следующие выражения:
Кроме перечисленных форм контроля каждый из них может носить текущий, промежуточный, итоговый характер.
Основная «идея» работы учителя Романа Григорьевича Хозанкина (СШ №14, г. Белорецк, Башкирия) состоит в структуре обучения, при котором учащиеся сами творят урок. Непременное условие успешного овладения знаниями – логическое мышление, которое формируется не вдруг и для каждого ученика индивидуально. Беда наших уроков в том, что следует выполнять все, что «намечено», ответы должны быть «сиюминутными»; на размышления времени нет, а следовательно создается подбор типовых задач и стандартных ответов, результат которого – «натаскивание» школьников. Развитие логического мышления требует время на его развитие через решение задач на обобщение и анализирование; ученик должен иметь время на изучение вариантов построения контрпримеров, составление задач не только по подобию, но и таких, которые возникают при изучении какой-либо теоремы, правила. (М. в школе, №4, 1987 г.).
Зачетный урок – урок индивидуальной работы; возможность организовать шефство старших классов над младшими. В частности, после повторения старшеклассниками зачетной теме для младшего класса, они подготавливают зачетную карточку для приема зачета. На зачет отводится 2 урока: на первом – подготовка, на втором – ответ (зачет).
3. Общие методы обучения математике
Сравнение и аналогия.
Сравнение – выявление сходства и различия сравниваемых предметов. Например, 1) треугольник и четырехугольник общим имеют соответствие числа сторон числу углов; отличие в их количестве; 2) алгебраические и обыкновенные дроби: общее – не имеют смысла при нулевом знаменателе; наличие числителя и знаменателя; различие – в природе числителей и знаменателей.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: 1) сравниваемые понятия однородны; 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют для них существенное значение. Иначе говоря, основные требования к сравнению: иметь смысл; планомерно; полно.
Сравнение – почва для аналогии (греческое – соответствие, сходство), которая осуществляется по схеме:
А обладает свойствами a, b, c, d
В обладает свойствами a, b, c
Вероятно В обладает и свойством d.
Заключение по аналогии правдоподобно, но не достоверно, поэтому аналогия не является доказательным рассуждением.
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении:1) натуральные числа и десятичные дроби; 2) если a||b и a^b, то b^c – теорема на плоскости и в пространстве. Когда будет верным обратное утверждение: a^b и b^c Þ a||b
Недостаток в нашей практике обучения – мы не учим ребят опровержению. В качестве опровержения обратному утверждению пространстве может служить пример (см. рисунок).
| c a b |
 |
Поиск сходства – путь к плодотворным рассуждениям по аналогии. Например, треугольник и тетраэдр имеют сходство минимальности линий на плоскости и плоскостей в пространстве; биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности и биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в центре вписанного в него шара.
Следует различать полезную и вредную аналогии.
Полезная аналогия: прямоугольник – прямоугольный параллелепипед;
окружность – сфера;
прямая на плоскости – плоскость в пространстве.
Вредная аналогия:
Обобщение и специализация, абстрагирование и конкретизация.
Обобщение – мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.
Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных (с математической точки зрения) или не общих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание.
Абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию. Абстрагирование и обобщение неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переходе от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический метод.
Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.
Примеры: обобщения. 1) Изучение формулы n-го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданному первому ее члену и разности. При проведении этих вычислений учащиеся используют равенства: 
Естественно возникает полезное обобщение этих равенств в одной форму
.
NÌZÌQÌRÌC.
При обобщении а)замене постоянной на переменную; б)снятие ограничений:
1) 
2) 
3) 
Абстрагирование: 1) параллельные прямые (линии электрических передач; линии тротуара; кромка проезжей части);
число 3 (в чувственном познании и в реальном познании).
Под конкретизацией понимают обратный переход – от более общего к менее общему, от общего к единичному. Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Пример: а) наглядная иллюстрация; б) подтверждение абстрактных понятий; в) применение к конкретным теоремам = характеристика конкретизации.
б)1) 
в)2) 
скрещивающиеся прямые (определение и отыскание их в окружающей нас действительности).
Процесс специализации – мысленное выделение некоторого свойства из множества свойств изучаемого объекта.
Например: выделяя их множества ромбов ромбы с равными диагоналями, мы получаем квадрат.
Специализация выступает как переход от данного множества к рассмотрению множества, содержащегося в данном. Специализация достигается при: а) замене переменной на постоянную 
б) при введении ограничения: параллелограмм ® параллелограмм с прямым углом.
Приведу пример совместного применения наблюдения, опыта, сравнения, обобщения, абстрагирования и специализации – вывод признака делимости на 3. по схеме: число – сумма цифр – делимость суммы на 3 
делимость числа на 3.
Анализ и синтез
Анализ – логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого. Анализ – это рассуждение от неизвестного к известному (аналитическое рассуждение). Ведущий вопрос: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?
Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое. Синтетические рассуждения – это путь от данного к искомому. Ведущий вопрос: что можно узнать по данным условиям?
Анализ и синтез выступают в самых разнообразных формах: как методы решения задач, доказательства теорем, изучение свойств математических понятий и т.д.
Первоначально анализ и синтез воспринимали как методы мышления: анализ – от целого к частям целого; синтез – от частей к целому; затем как прием мышления: анализ – от следствия приходят к причине, породившей это следствие; синтез – от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной. Это иллюстрирует арифметическое и алгебраическое решение задачи: «Маше и Тане вместе 12 лет. Тане – 5 лет. Сколько лет Маше?»
анализ: 12-5=7
синтез: х+5=12, х=12-5; х=7.
С точки зрения психологии, процесс мышления – это прежде всего анализирование и синтезирование того, что выделено анализом.
Формы анализа:
а) типа «фильтр» – хаотический способ решения данной задачи. Например, требуется из 6 спичек сложить 4 равносторонних треугольника (пространственное решение).
Задача: «Поверхность пруда постепенно зарастает ряской. Площадь поверхности занимаемая ряской, с каждым днем увеличивается в два раза. Весь пруд зарастает ряской в течение 100 дней. За сколько дней зарастает ряской половина поверхности пруда?»
б) анализ через синтез – объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается все новые содержания. Например, доказать, что периметр равностороннего треугольника, описанного около окружности, вдвое больше периметра равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.
AO=R; OK=r; 
; AB=OB 
=R ; OB1= 
OB 
r= R A1B1= AB= R
=3AB=3R ; 
= 
R , ч.т.д.
Рассмотрим анализ и синтез как методы изучения математики.
I а) Аналитические и синтетические методы доказательства теорем и неравенств.
Аналитический метод доказательства: исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному, как истинное.
Синтетический метод доказательства: отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение. Для него характерным является описание того, что делается, но не объясняется, почему берется в качестве исходного то или иное утверждение. Вот почему доказательство большинства теорем в геометрии не понятны ученика, т.к. они являются синтетическим рассуждением. Преодолеть это затруднение возможно при предварительном анализе условий и заключения теоремы, т.е. теорему следует воспринимать как обычную задачу.
Пример: Доказать, что сумма внутренних углов в треугольнике равна 1800.
Аналитический путь: 1800–величина развернутого угла, значит, достаточно показать, что при угле любого треугольника «вложатся» в развернутый угол: строим развернутый угол при вершине M:
; 
2-есть; 5= 1; 4= 3; т.к. 5+ 2+ 4=1800 1+ 2+ 3=1800 ч.т.д.
Синтетический путь: проводим CK||AB;
5= 1; 4= 3 5+ 2+ 4=1800 1+ 2+ 3=1800 ч.т.д
Пример: Доказать неравенство: 
, где 
.
Используя аналитический метод, учащийся действует сознательно и убежденно, т.к. он знает с чего начать. Но аналитический метод доказательства не всегда правомерен. Покажем это на примере простого софизма.
Пример: Доказать, что 3= -3.
Док-во: Пусть 3=-3 32=(-3)2 – возвели почленно в квадрат 9=9 и получили истинное утверждение, значит, и исходное (требуемое) утверждение верно (!?).
II. б) Восходящий анализ:
Дано: Окружность; CD, AB – хорды, AB 
CD=M.
Доказать: AM∙MB=CM∙MD.
Док-во: не известно, верно ли доказываемое равенство, но если получим пропорцию: 
, будем иметь подобия треугольников: 
AMD~ CMB. А это возможно в случае равенства соответствующих углов:
1= 2, т.е. BCD= BAD – как вписанные;
3= 4, т.е. ADC= ABC – как вписанные.
Восходящий анализ проиллюстрировал процесс сведения задачи к подзадачам.
Идея этого метода: для того чтобы А было верно, достаточно, чтобы было верно В и так далее.
Преимущество этого метода в процессе изучения математики: а) восходящий анализ обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание метода доказательства теоремы самими учащимися; б) Способствует развитию логического мышления; в) обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства; г) схема метода проста: что требуется доказать? Что для этого достаточно доказать?
III. в) Нисходящий анализ.
Задача. Доказать, что квадрат медианы, проведенной к катеты прямоугольного треугольника, сложенный с утроенным квадратом половины этого катета, равен квадрату гипотенузы.
Дано: ABC, C=900, BM – медиана: AM=MC
Доказать:
(1)
Док-во: рассмотрим BCM. Он прямоугольный, тогда: 
(2) в уравнение (1):
(3) 
(4).
Получили второе неравенство. Но сказать, что этим самым задача решена, неверно. Нисходящий анализ приводит к синтетическому рассуждению. Для получения логического доказательства необходимо провести все рассуждения в обратном порядке.
IV. г) Анализ и синтез при решении геометрических задач на построение.
Пример: Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе С и радиусу r вписанной в него окружности.
Анализ. Пусть задача решена сделаем эскиз.
ABC построим, если построим AOB;
AOB построим, зная AB=C, OK=h и AOB.
AOB=1800-( A+ B)/2=1800-450=1350.
треугольник по данным С, AOB, h построить можем.
Синтез: Строим ABC, начиная с построения AOB по данным С, AOB, h.
Задача. Построить четырехугольник, если даны все его четыре стороны и известно, что одна из диагоналей делит один из углов пополам.
Анализ. Пусть задача решена, сделаем эскиз.
Поиск проведем через синтез, т.е. исходя из того, что нам известно: BAC= CAD строим D1, симметричную D относительно AC, тогда СD1=СD D1BC можно построить по трем сторонам, если AB=a; BC=b; CD=c; AD=d BC=b; D1C=c; D1B=a-d.
V. д) Анализ и синтез при решении текстовых задач.
Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда 8м, ширина 6м, а высота 12 м. найдите сумму площадей его наибольшей и наименьшей граней.
Данная задача – арифметическая. Проанализируем ее. Что надо знать для того, чтобы найти требуемую сумму? – ТК она является прямоугольником, то достаточно знать его ширину и длину. Можем ли мы найти искомые площади?– Наименьшая грань – 6м и 8м, наибольшая грань – 8м и 12 м. Синтез в задаче – ее решение: 6∙8+8∙12=8∙18=144
Ответ: 144 м2.
Задача. В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке?
При решении задач алгебраическим методом. Составление уравнения – анализ, решение полученной математической модели – синтез.
SHAPE \* MERGEFORMAT
х-0,125х=(140-х)+0,125х; 1,75х=140; х=80кг;
140-х=60 (кг)
Ответ: 80кг; 60кг.
Наиболее распространенный метод – аналитико-синтетический.
Индукция
Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (с латинского: induction – наведение).
Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.
Индукция имеет три значения:
вид умозаключения: 
, 
, 20 и 30 оканчиваются цифрой ноль число, оканчивающиеся нулем, делятся на 10 (истинно);
SHAPE \* MERGEFORMAT
метод исследования: поиск формулы простого числа: 
, 
, 
и т.д., 
– простые числа, однако 
– число составное;
метод обучения: знакомя учащихся с понятием о высоте треугольника, учитель чертит на доске остроугольный прямоугольный, тупоугольный треугольники и в каждом из них проводит высоту. Из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что если углы прилежащие к основанию треугольника, острые то высота пересекается с основанием, а если один из двух углов, прилежащих к основанию треугольника, тупой, то высота пересекается с продолжением этого основания.
Различают два основных вида индуктивных умозаключений: неполную и полную индукции.
Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.
Единичные суждения:
окружность может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
эллипс может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках.
Частные суждения:
Эллипс (в частности, окружность), парабола представляют собой виды конических сечений, образуя множество кривых второго порядка.
На основании этих суждений получаем новое: кривые второго порядка могут пересекаться с прямой не более чем в двух точках (истинное).
Если число случаев конечно и все они рассмотрены, то вывод, сделанный посредством полной индукции можно считать обоснованным.
Например:
от 1 до 10 четыре простых числа;
описать все возможные решения уравнения х2=а: а<0, a=0, a>0.
Таким образом, заключение, основанное на полной индукции, является в полнее достоверным и она может использоваться как метод строгого научного доказательства (теорема о величине вычисленного угла; «доказать, что запись квадрата числа натурального не может оканчиваться цифрой 7»).
Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.
С точки зрения логики неполной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).
В процессе обучения неполная индукция проявляется, например, при изучении переместительного закона сложения, который ведется по схеме: 5+2=2+5, значит: a+b=b+a.
В процессе обучения методом неполной индукции не следует пренебрегать, т.к. 1) реализуется принцип обучения «от простого к сложному»; 2) изучение новых абстрактных понятий и суждений проходит естественным путем через опыт и наблюдение, через восприятие и представления; 3) обучает математической деятельности.
Дедукция
Дедукция (от латинского deductio – выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).
Дедукция есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение. Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение.
Дедукция имеет три значения:
вид умозаключения: 1) умозаключение от более общего положения к менее общему (или единичному) положению (общее суждение: НОД(a, b)=1, если a и b взаимно простые числа; частное суждение: НОД(14, 15)=1 новая частное суждение: числа 14 и 15 – взаимно простые); 2) умозаключение от общего положения к общему положению (все частные числа кратны 2; все нечетные не кратные 2 ни одно четное число не является одновременно нечетным числом); 3) умозаключение от единичного к частному: (число 3 – простое число; число 3 натуральное число некоторые натуральные числа являются простыми).
метод исследования: для получения нового знания о некотором объекте (понятии, свойстве) находят ближайший к данному объекту (понятию) класс объектов (ближайшее родовое понятие), и применяют к этому объекту (понятию) существенные свойства этого класса объектов (признак рода). Например, изучая свойства квадрата, мы можем сначала установить то, что квадрат является ромбом. Следовательно, все свойства, имеющие место для ромба, имеют место и для квадрата (в частности, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны).
метод обучения. Включает: 1) обучение дедуктивным доказательствам и 2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических приемов (методов), в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.
1) под обучением доказательству понимается обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведение и заучиванию готовых доказательств, т.е. учим рассуждать. Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: «Что?», «Откуда?», «Как?».
а) «Что?» – что доказывается?, каково доказываемое предложение, для которого мы ищем доказательство?, как оно формулируется?, все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе сформулировать доказываемое предложение? Что «дано»?, что «требуется» доказать? Эти вопросы связаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду («вертикальные углы равны» или: если углы вертикальные, то они равны).
б) «Откуда?» – откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких же известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы «вывести» это предложение?
в) «Как?» – как доказываемое предложение получается (выводится), из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)?
В обучении доказательству выделяются два уровня:
– (V–VIII классы) – используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, «что доказывается» и «из чего это следует», но, не «как это следует», т.е. доказательство является рассуждением с помощью которого истинность одного предложения устанавливается на основе истинности других предложений.
– (в старших классах) – разъясняются простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства.
2) в процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов) открывали, что при условии А имеет место некоторое свойство В. в таком случае придется доказать теорему: А→В. Наиболее эффективным является следующее: пусть получено некоторое множество свойств Bi . Возникает проблема выяснения логических связей между предложениями Bi и предложением А с использованием уже известных значений. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения «укрепленными блоками» применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т.п.
Иллюстрацией может служить свойство точек, равноудаленных от концов отрезка.
В процессе обучения математике индукция и дедукция не выступают изолированно; они тесно переплетаются между собой.
Например: изучение переместительного закона сложения натуральных чисел учащиеся на частных примерах 2+7=7+2=9 убеждаются в справедливости свойства a+b=b 
Q, используя индукцию; применяя этот закон для облегчения вычисления (1+42=42+1=43) учащиеся уже действуют дедуктивным путем.
Метод совершенной индукции выражает взаимосвязь индукции и дедукции и используется тогда когда возникает необходимость дать логическое обоснование выводу, полученному индуктивным путем. Он осуществляется с помощью последовательно проводимых этапов: 1) наблюдение и опыт; 2) гипотеза; 3) обоснование (доказательство) гипотезы.
Например, требуется установить, сколькими способами можно совершить перестановку n элементов некоторого конечного множества.
Заключение
Методы обучения – упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение целей обучения как средства образования и воспитания. Описание метода обучения включает:
Описание обучающей деятельности учителя;
Описание учебной (познавательной) деятельности ученика;
Связь между ними или способ управления познавательной деятельности учащихся обучающей деятельностью учителя.
Система методов обучения математике состоит из: а) общих методов обучения, разработанных дидактикой и адаптированных к обучению математике; б) частных (специальных) методов обучения математике, опережающих основные методы познания, используемые в математике. Это обусловлено тем, что:
цели обучения включают усвоение не только определенной совокупности научных фактов, но и методов добывания этих фактов, используемых в самой науке;
методы научных исследований – методы приобретения новых знаний в науке, методы обучения – методы приобретения новых знаний в познавательной деятельности;
специальные методы обучения, отражающие методы самой математики, способствуют формированию и развитию математического мышления учащихся.
Литература
1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2.Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3.Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4.Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5.Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6.А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.
Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.
Примеры: обобщения. 1) Изучение формулы n-го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданному первому ее члену и разности. При проведении этих вычислений учащиеся используют равенства:
NÌZÌQÌRÌC.
При обобщении а)замене постоянной на переменную; б)снятие ограничений:
1)
2)
3)
Абстрагирование: 1) параллельные прямые (линии электрических передач; линии тротуара; кромка проезжей части);
число 3 (в чувственном познании и в реальном познании).
Под конкретизацией понимают обратный переход – от более общего к менее общему, от общего к единичному. Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Пример: а) наглядная иллюстрация; б) подтверждение абстрактных понятий; в) применение к конкретным теоремам = характеристика конкретизации.
б)1)
в)2)
скрещивающиеся прямые (определение и отыскание их в окружающей нас действительности).
Процесс специализации – мысленное выделение некоторого свойства из множества свойств изучаемого объекта.
Например: выделяя их множества ромбов ромбы с равными диагоналями, мы получаем квадрат.
Специализация выступает как переход от данного множества к рассмотрению множества, содержащегося в данном. Специализация достигается при: а) замене переменной на постоянную
б) при введении ограничения: параллелограмм ® параллелограмм с прямым углом.
Приведу пример совместного применения наблюдения, опыта, сравнения, обобщения, абстрагирования и специализации – вывод признака делимости на 3. по схеме: число – сумма цифр – делимость суммы на 3
Анализ и синтез
Анализ – логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого. Анализ – это рассуждение от неизвестного к известному (аналитическое рассуждение). Ведущий вопрос: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?
Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое. Синтетические рассуждения – это путь от данного к искомому. Ведущий вопрос: что можно узнать по данным условиям?
Анализ и синтез выступают в самых разнообразных формах: как методы решения задач, доказательства теорем, изучение свойств математических понятий и т.д.
Первоначально анализ и синтез воспринимали как методы мышления: анализ – от целого к частям целого; синтез – от частей к целому; затем как прием мышления: анализ – от следствия приходят к причине, породившей это следствие; синтез – от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной. Это иллюстрирует арифметическое и алгебраическое решение задачи: «Маше и Тане вместе 12 лет. Тане – 5 лет. Сколько лет Маше?»
анализ: 12-5=7
синтез: х+5=12, х=12-5; х=7.
С точки зрения психологии, процесс мышления – это прежде всего анализирование и синтезирование того, что выделено анализом.
Формы анализа:
а) типа «фильтр» – хаотический способ решения данной задачи. Например, требуется из 6 спичек сложить 4 равносторонних треугольника (пространственное решение).
Задача: «Поверхность пруда постепенно зарастает ряской. Площадь поверхности занимаемая ряской, с каждым днем увеличивается в два раза. Весь пруд зарастает ряской в течение 100 дней. За сколько дней зарастает ряской половина поверхности пруда?»
б) анализ через синтез – объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается все новые содержания. Например, доказать, что периметр равностороннего треугольника, описанного около окружности, вдвое больше периметра равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.
| A |
| C1 |
| B |
| A1 |
| B1 |
| C |
| О |
AO=R; OK=r;
Рассмотрим анализ и синтез как методы изучения математики.
I а) Аналитические и синтетические методы доказательства теорем и неравенств.
Аналитический метод доказательства: исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному, как истинное.
Синтетический метод доказательства: отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение. Для него характерным является описание того, что делается, но не объясняется, почему берется в качестве исходного то или иное утверждение. Вот почему доказательство большинства теорем в геометрии не понятны ученика, т.к. они являются синтетическим рассуждением. Преодолеть это затруднение возможно при предварительном анализе условий и заключения теоремы, т.е. теорему следует воспринимать как обычную задачу.
Пример: Доказать, что сумма внутренних углов в треугольнике равна 1800.
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| м |
| с |
| к |
| а |
| Bе |
Аналитический путь: 1800–величина развернутого угла, значит, достаточно показать, что при угле любого треугольника «вложатся» в развернутый угол: строим развернутый угол при вершине M:
2-есть; 5=1; 4=3; т.к. 5+2+4=1800 1+2+3=1800 ч.т.д. Синтетический путь: проводим CK||AB;
5=1; 4=3 5+2+4=1800 1+2+3=1800 ч.т.д Пример: Доказать неравенство:
| Аналитический | Синтетический |
   | |
Пример: Доказать, что 3= -3.
Док-во: Пусть 3=-3
II. б) Восходящий анализ:
Дано: Окружность; CD, AB – хорды, AB
Доказать: AM∙MB=CM∙MD.
Док-во: не известно, верно ли доказываемое равенство, но если получим пропорцию:
| A |
| B |
| C |
| D |
| M |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
1=2, т.е. BCD=BAD – как вписанные; 3=4, т.е. ADC=ABC – как вписанные. Восходящий анализ проиллюстрировал процесс сведения задачи к подзадачам.
Идея этого метода: для того чтобы А было верно, достаточно, чтобы было верно В и так далее.
Преимущество этого метода в процессе изучения математики: а) восходящий анализ обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание метода доказательства теоремы самими учащимися; б) Способствует развитию логического мышления; в) обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства; г) схема метода проста: что требуется доказать? Что для этого достаточно доказать?
III. в) Нисходящий анализ.
Задача. Доказать, что квадрат медианы, проведенной к катеты прямоугольного треугольника, сложенный с утроенным квадратом половины этого катета, равен квадрату гипотенузы.
| C |
| a |
| B |
| A |
| M |
| b |
| mb |
Дано:
C=900, BM – медиана: AM=MC Доказать:
Док-во: рассмотрим
Получили второе неравенство. Но сказать, что этим самым задача решена, неверно. Нисходящий анализ приводит к синтетическому рассуждению. Для получения логического доказательства необходимо провести все рассуждения в обратном порядке.
IV. г) Анализ и синтез при решении геометрических задач на построение.
Пример: Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе С и радиусу r вписанной в него окружности.
| K |
| A |
| r |
| C |
| B |
Анализ. Пусть задача решена сделаем эскиз.
AOB. AOB=1800-(A+B)/2=1800-450=1350. треугольник по данным С,
AOB, h построить можем. Синтез: Строим
AOB, h. Задача. Построить четырехугольник, если даны все его четыре стороны и известно, что одна из диагоналей делит один из углов пополам.
Анализ. Пусть задача решена, сделаем эскиз.
| C |
| D |
| B |
| D1 |
| A |
| |
Поиск проведем через синтез, т.е. исходя из того, что нам известно:
BAC=CAD V. д) Анализ и синтез при решении текстовых задач.
Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда 8м, ширина 6м, а высота 12 м. найдите сумму площадей его наибольшей и наименьшей граней.
Данная задача – арифметическая. Проанализируем ее. Что надо знать для того, чтобы найти требуемую сумму? – ТК она является прямоугольником, то достаточно знать его ширину и длину. Можем ли мы найти искомые площади?– Наименьшая грань – 6м и 8м, наибольшая грань – 8м и 12 м. Синтез в задаче – ее решение: 6∙8+8∙12=8∙18=144
Ответ: 144 м2.
Задача. В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке?
При решении задач алгебраическим методом. Составление уравнения – анализ, решение полученной математической модели – синтез.
|
| X кг |
140-х=60 (кг)
Ответ: 80кг; 60кг.
Наиболее распространенный метод – аналитико-синтетический.
Индукция
Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (с латинского: induction – наведение).
Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.
Индукция имеет три значения:
вид умозаключения:
SHAPE \* MERGEFORMAT
| A |
| B |
| D |
| C |
| A |
| C |
| B |
| D |
| A |
| B |
| C |
метод исследования: поиск формулы простого числа:
метод обучения: знакомя учащихся с понятием о высоте треугольника, учитель чертит на доске остроугольный прямоугольный, тупоугольный треугольники и в каждом из них проводит высоту. Из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что если углы прилежащие к основанию треугольника, острые то высота пересекается с основанием, а если один из двух углов, прилежащих к основанию треугольника, тупой, то высота пересекается с продолжением этого основания.
Различают два основных вида индуктивных умозаключений: неполную и полную индукции.
Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.
Единичные суждения:
окружность может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
эллипс может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках.
Частные суждения:
Эллипс (в частности, окружность), парабола представляют собой виды конических сечений, образуя множество кривых второго порядка.
На основании этих суждений получаем новое: кривые второго порядка могут пересекаться с прямой не более чем в двух точках (истинное).
Если число случаев конечно и все они рассмотрены, то вывод, сделанный посредством полной индукции можно считать обоснованным.
Например:
от 1 до 10 четыре простых числа;
описать все возможные решения уравнения х2=а: а<0, a=0, a>0.
Таким образом, заключение, основанное на полной индукции, является в полнее достоверным и она может использоваться как метод строгого научного доказательства (теорема о величине вычисленного угла; «доказать, что запись квадрата числа натурального не может оканчиваться цифрой 7»).
Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.
С точки зрения логики неполной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).
В процессе обучения неполная индукция проявляется, например, при изучении переместительного закона сложения, который ведется по схеме: 5+2=2+5, значит: a+b=b+a.
В процессе обучения методом неполной индукции не следует пренебрегать, т.к. 1) реализуется принцип обучения «от простого к сложному»; 2) изучение новых абстрактных понятий и суждений проходит естественным путем через опыт и наблюдение, через восприятие и представления; 3) обучает математической деятельности.
Дедукция
Дедукция (от латинского deductio – выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).
Дедукция есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение. Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение.
Дедукция имеет три значения:
вид умозаключения: 1) умозаключение от более общего положения к менее общему (или единичному) положению (общее суждение: НОД(a, b)=1, если a и b взаимно простые числа; частное суждение: НОД(14, 15)=1
метод исследования: для получения нового знания о некотором объекте (понятии, свойстве) находят ближайший к данному объекту (понятию) класс объектов (ближайшее родовое понятие), и применяют к этому объекту (понятию) существенные свойства этого класса объектов (признак рода). Например, изучая свойства квадрата, мы можем сначала установить то, что квадрат является ромбом. Следовательно, все свойства, имеющие место для ромба, имеют место и для квадрата (в частности, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны).
метод обучения. Включает: 1) обучение дедуктивным доказательствам и 2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических приемов (методов), в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.
1) под обучением доказательству понимается обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведение и заучиванию готовых доказательств, т.е. учим рассуждать. Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: «Что?», «Откуда?», «Как?».
а) «Что?» – что доказывается?, каково доказываемое предложение, для которого мы ищем доказательство?, как оно формулируется?, все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе сформулировать доказываемое предложение? Что «дано»?, что «требуется» доказать? Эти вопросы связаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду («вертикальные углы равны» или: если углы вертикальные, то они равны).
б) «Откуда?» – откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких же известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы «вывести» это предложение?
в) «Как?» – как доказываемое предложение получается (выводится), из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)?
В обучении доказательству выделяются два уровня:
– (V–VIII классы) – используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, «что доказывается» и «из чего это следует», но, не «как это следует», т.е. доказательство является рассуждением с помощью которого истинность одного предложения устанавливается на основе истинности других предложений.
– (в старших классах) – разъясняются простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства.
2) в процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов) открывали, что при условии А имеет место некоторое свойство В. в таком случае придется доказать теорему: А→В. Наиболее эффективным является следующее: пусть получено некоторое множество свойств Bi . Возникает проблема выяснения логических связей между предложениями Bi и предложением А с использованием уже известных значений. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения «укрепленными блоками» применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т.п.
Иллюстрацией может служить свойство точек, равноудаленных от концов отрезка.
В процессе обучения математике индукция и дедукция не выступают изолированно; они тесно переплетаются между собой.
Например: изучение переместительного закона сложения натуральных чисел учащиеся на частных примерах 2+7=7+2=9 убеждаются в справедливости свойства a+b=b
Метод совершенной индукции выражает взаимосвязь индукции и дедукции и используется тогда когда возникает необходимость дать логическое обоснование выводу, полученному индуктивным путем. Он осуществляется с помощью последовательно проводимых этапов: 1) наблюдение и опыт; 2) гипотеза; 3) обоснование (доказательство) гипотезы.
Например, требуется установить, сколькими способами можно совершить перестановку n элементов некоторого конечного множества.
Заключение
Методы обучения – упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение целей обучения как средства образования и воспитания. Описание метода обучения включает:
Описание обучающей деятельности учителя;
Описание учебной (познавательной) деятельности ученика;
Связь между ними или способ управления познавательной деятельности учащихся обучающей деятельностью учителя.
Система методов обучения математике состоит из: а) общих методов обучения, разработанных дидактикой и адаптированных к обучению математике; б) частных (специальных) методов обучения математике, опережающих основные методы познания, используемые в математике. Это обусловлено тем, что:
цели обучения включают усвоение не только определенной совокупности научных фактов, но и методов добывания этих фактов, используемых в самой науке;
методы научных исследований – методы приобретения новых знаний в науке, методы обучения – методы приобретения новых знаний в познавательной деятельности;
специальные методы обучения, отражающие методы самой математики, способствуют формированию и развитию математического мышления учащихся.
Литература
1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2.Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3.Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4.Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5.Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6.А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.
