Реферат

Реферат Частинні похідні і диференціали вищих порядків

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025


















Пошукова робота на тему:

Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

План

  • Частинні похідні вищих порядків

  • Теорема про рівність змішаних похідних

  • Диференціали вищих порядків

6.11.Частинні похідні вищих порядків

Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні  і  є функціями змінних  і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій  і  можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

 - функція  два рази диференціюється по ;

 - функція  диференціюється по , а потім по ;

 - функція  диференціюється по , а потім по ;

 - два рази диференціюється по .

Похідні другого порядку також можна диференціювати по  і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

Приклад.  Знайти другі частини похідних від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

;   .

Диференціюємо кожну з них по  і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

Теорема. Якщо функція  та її частинні похідні  означені і неперервні в точці  і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.

Нехай  - диференційована в області  функція двох незалежних змінних  і . В будь-якій точці  цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень  і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши  і , одержимо функцію двох змінних  і , означену в області .

Диференціал від цієї функції в будь-якій точці  області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції  в точці . Позначається  або .

Отже, за означенням .

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,

.

Якщо функція  в області  має неперервні частинні похідні до  - го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх:

тощо.

Введемо символічну  - у степінь : вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну  - у степінь із подальшою зміною степенів  і , помножених на , частинними похідними відповідного порядку від функції .

Тоді

                                        (6.72)

…………………………………………….

Зауваження. Якщо  - диференційована функція проміжних змінних  і , які, в свою чергу, є диференційованими функціями  і , то, обчислюючи ,  і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.

Так,

Тут   і  - не є постійними (постійні ). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.


1. Реферат Роль государственного сектора в развитии национальной экономики
2. Реферат История Плевенской эпопеи
3. Реферат на тему 1984 Essay Research Paper 1984
4. Сочинение на тему Некрасов н. а. Старая русь в поэме н. а. некрасова
5. Реферат на тему Beowulf Essay Research Paper In the folkepic
6. Биография Бёрр, Аарон
7. Реферат Теории личности и их значение в жизни человека
8. Реферат на тему Guns Essay Research Paper Gun Control Mass
9. Биография Аполлос Байбаков
10. Контрольная работа на тему Особенности применения подготовки и печати рекламных буклетов