Реферат

на тему:

Коефіцієнт кореляції

та детермінації

Побудова кореляційних моделей дає можливість вивчати залежність економічних показників, що не зв’язані між собою функціонально. Кореляційний зв’язок на відміну від функціонального проявляється лише взагалі та в середньому і тільки в масі спостережень.

Кореляційний аналіз вирішує два завдання:

1) визначення форми зв’язку, тобто встановлення математичної формули, яка описує даний зв’язок;

2) вимірювання щільності зв’язку.

У найпростішому випадку вивчається зв’язок між двома показниками, один з яких розглядається як незалежний показник – факторна ознака (х), а інший – як залежна величина, результативна ознака (у). Це є так звана “парна кореляція”. В загальному вигляді вона описується функцією у=ƒ(х).

Попередньо вид математичної функції встановлюється за допомогою якісного аналізу зв’язку між явищами та графічного його зображення у вигляді кореляційного поля.

Кореляційне поле – це сукупність точок у прямокутній системі координат, абсциса кожної з яких відповідає значенню факторної ознаки (х), а ордината – значенню результативної ознаки (у) певної одиниці спостереження. Кількість точок на графіку відповідає кількості одиниць спостереження. Напрямленість кореляційного поля вказує на наявність прямого, зворотного зв’язку між ознаками, або його відсутність, а також на форму лінії регресії (пряма лінія, парабола, гіпербола тощо).

Після того, як визначені невідомі параметри регресійної моделі спробуємо оцінити щільність зв’язку між залежною величиною у і незалежною х. Тобто спробуємо відповісти на запитання, наскільки значним є вплив змінної х на у. Чи є якийсь критерій, який дозволяє кількісно оцінити цей вплив? Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками є коефіцієнт кореляції (для прямолінійного зв’язку). Він розраховується за такою формулою:

Щільність зв’язку між ознаками вимірюється за допомогою коефіцієнта кореляції (для прямолінійного зв’язку) та індексу кореляції (для криволінійного зв’язку).

Коефіцієнт кореляції може бути обчислений  також за формулою:

,

де  – середній добуток ознак х та у;

– середнє значення ознаки відповідно х і у;

σ_х – середнє квадратичне відхилення ознаки х; σ_у – середнє квадратичне відхилення ознаки у.

   

; ,

Коефіцієнт кореляції на відміну від коефіцієнта коваріації є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома ознаками, тому він може набувати значення від -1 до +1. Чим ближче значення r до ±1, тим щільніший зв’язок. Знак “+” вказує на прямий, а знак “-“ – на  зворотний зв’язок. При r=0 зв’язок відсутній.

Поряд з коефіцієнтом кореляції використовується ще один критерій, за допомогою якого також вимірюється щільність зв’язку між двома або більше показниками та перевіряється адекватність (відповідність) побудованої регресійної моделі реальній дійсності. Тобто дається відповідь на запитання, чи дійсно зміна значення у лінійно залежить саме від зміни значення х, а не відбувається під впливом різних випадкових факторів. Таким критерієм є коефіцієнт детермінації.

Щоб пояснити, що саме являє собою коефіцієнт детермінації та як він пов’язаний з коефіцієнтом кореляції, розглянемо питання про декомпозицію дисперсій.

У статистиці різницю  прийнято називати загальним відхиленням. Різницю  називають відхиленням, яке можна пояснити, виходячи з регресійної прямої. Різницю  називають відхиленням, яке не можна пояснити, виходячи з регресійної прямої, або не пояснюваним відхиленням. Загальне відхилення розкладається на дві складові:

=+

Піднесемо ці різниці до квадрату і просумуємо для всіх одиниць спостереження. Одержимо:

 - загальна сума квадратів

 - сума квадратів, що пояснює регресію;

 - сума квадратів помилок.

Справедливий такий вираз:

=+.

Поділивши цей вираз на п, отримаємо вираз для дисперсій:

+,

де

 - загальна дисперсія ознаки у;

 - дисперсія, що пояснює регресію;

 - дисперсія помилок.

Таким чином ми здійснили декомпозицію дисперсії, тобто розклали загальну дисперсію на дві частини: дисперсію, що пояснює регресію, та дисперсію помилок (або дисперсію випадкової величини). Запишемо це у  такому вигляді:

.

Поділимо обидві частини на загальну дисперсію  і отримаємо:

У цьому виразі перша частина – це частка дисперсії, що пояснюється регресією, а друга – частка помилок в загальній дисперсії.

Частина дисперсії, що пояснює регресію, називається коефіцієнтом детермінації і позначається r². Коефіцієнт детермінації використовується як критерій адекватності моделі, бо є мірою пояснювальної сили незалежної змінної х.

Коефіцієнт детермінації визначається за формулою:

, або

Коефіцієнт детермінації завжди позитивний і перебуває в межах від нуля до одиниці. Він показує, яка частка коливань результативної ознаки y зумовлена коливанням факторної ознаки х.

Звичайно, нас цікавить, чи є зв’язок між коефіцієнтом кореляції та коефіцієнтом детермінації, і якщо є , то який? Перш ніж відповісти на це питання, розглянемо зв’язок між коефіцієнтом кореляції та нахилом регресійної лінії, тобто параметром а₁. Нагадаємо формули для розрахунків коефіцієнта кореляції та нахилу:

;

.

Помножимо чисельник і знаменник виразу для обчислення коефіцієнта кореляції на .і зробимо деякі перетворення

.

З того, що обидва значення  та  додатні, випливає, що знак коефіцієнта кореляції завжди збігається із знаком параметра а₁.

Крім того, випливає, що значення коефіцієнта кореляції пов’язане із значеннями коефіцієнта регресії а₁ та середніх квадратичних відхилень  та .

Знаючи зв’язок між коефіцієнтом кореляції і коефіцієнтом регресії, розглянемо зв’язок між коефіцієнтом кореляції і коефіцієнтом детермінації. Нагадаємо формулу для розрахунку коефіцієнта детермінації:

Виконаємо прості перетворення з виразом чисельника:

.

Внесемо зміни до виразу коефіцієнта детермінації, враховуючи останні перетворення:

.

Оскільки ,   то .

Отже коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції. Тому коефіцієнт кореляції може розраховуватись за формулою:

, або    ,

де σ_y² – загальна дисперсія ознаки y,   ,

σ_yx² – середній квадрат відхилення фактичних значень ознаки y від теоретичних значень y_x,    .

Якщо коефіцієнт кореляції розраховується як корінь із коефіцієнта детермінації, то йому присвоюється той знак, який має коефіцієнт a₁ , тобто коефіцієнт регресії в рівнянні прямолінійного зв’язку.

Величину 1–r² називають коефіцієнтом залишкової детермінації. Вона характеризує частку варіації ознаки y за рахунок неврахованих факторів.

Індекс кореляції (R) використовується для вимірювання щільності криволінійного зв’язку і визначається аналогічно до коефіцієнта кореляції (r) за формулою:

.

Індекс кореляції приймає значенням  від 0 до 1. Певного знака він не має, оскільки на різних відрізках кривої напрям зв’язку може змінюватись.

Індекс кореляції – умовна величина, розрахована лише по відношенню до певної кривої. ЇЇ значення може бути доведене до 1, якщо в якості кривої, що описує зв’язок, взяти параболу, в якій кількість параметрів доведена до кількості одиниць спостереження. Така крива пройде через всі точки графіка, всі відхилення фактичних значень результативної ознаки від теоретичних, розрахованих за рівнянням такої кривої, будуть дорівнювати 0, і тому величина індекса кореляції досягне 1. Однак, було б помилкою вважати, що це є ознакою того, що дана крива найкраще описує досліджувану залежність. Надто складні рівняння регресії як правило позбавлені реального економічного змісту, оскільки в них втрачається відмінність між нетиповим і суттєвим, а випадковість зводиться в ранг закономірності. Тому не доцільно надто ускладнювати рівняння кривої. Рівняння досліджуваного зв’язку має бути по можливості простим, щоб сутність зв’язку між змінними проявлялась досить чітко, а параметри рівняння піддавались певному економічному тлумаченню.

Приклад  

Відомі дані про рівень електроозброєності та продуктивності праці робітників на 10 підприємствах галузі (табл.6.1, графи 13). Потрібно визначити показники щільності зв’язку між цими показниками.

Для обчислення коефіцієнта кореляції скористаємося формулою

.

Обчислення виконуємо в табл.6.1 (графи 710):

Таблиця 1

Номер заводу	Електро-озброєність праці, х кВт.год	Продук-тивність праці у, тис. грн.	ху	х2	ух			у – ух	( у – ух  )2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	6	4	3,61	-3	9	-0,61	0,3721
2	5	6	30	25	6,00	0	0	0	0
3	3	4	12	9	4,41	-2	4	-0,41	0,1681
4	7	6	42	49	7,59	0	0	-1,59	2,5281
5	2	4	8	4	3,61	-2	4	0,39	0,1521
6	6	8	48	36	6,80	2	4	1,20	1,4400
7	4	6	24	16	5,20	0	0	0,80	0,6400
8	9	9	81	81	9,19	3	9	-0,19	0,0361
9	8	9	72	64	8,38	3	9	0,62	0,3844
10	4	5	20	16	5,20	-1	1	-0,20	0,0400
Разом	50	60	343	304	60	0	40	-	5,7609

 

.

Коефіцієнту кореляції  присвоюється знак, який має коефіцієнт a₁ в рівнянні зв’язку, тобто „плюс” і отже його значення становить +0,925, що свідчить про щільний прямий зв’язок між ознаками.

Коефіцієнт детермінації r²=0,856. Він вказує на те, що 85,6% варіації рівня продуктивності праці на досліджуваних підприємствах зумовлено варіацією електроозброєності. Коефіцієнт залишкової детермінації (1-0,856) вказує на те, що 14,4% варіації рівня продуктивності праці пояснюється дією інших причин.