2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х₀ = 0:

(41)

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f´(х), f˝(х), ...., f^п(х), ...;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена R_п (х) → 0 при п → ∞.

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Доведемо формули (42) – (48).

1. Нехай f (x)=e^x. Маємо:

а) б) в)

отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– ∞;+ ∞);

г)

тому за теоремою 3 (п.2.4.) функцією е^х можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (— R; R) (—∞; + ∞), а отже, і на всьому інтервалі (—∞; + ∞). Формулу (42) доведено.

2. Нехай f (x) = sin x. Дістанемо

а) f’(x) = cos x = sin (x + );

fⁿ(x) = sin x = sin (x + 2);

f’’’(x) = cos x = sin (x + 3);

……………………………..

fⁿ(x) = sin (x + 2), nN;

б) fⁿ(0) = sin n =

в) (-1)ⁿ= ;

R= lim= =

г) x тобто формулу (43) доведено.

3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).

4.Нехай f(х) = (1+x)^m, mR.Маємо:

а) f^’(x) =m(1+x)^m-1, fⁿ(x) =m(m-1) (1+x)^m-2,…,

f⁽ⁿ⁾(x) =m(m-1)…(m-n+1) (1+x)^m-n, nN;

б) f⁽ⁿ⁾(0) =m(m-1)…(m-n+1) (1+x)^m-n, nN;

в) 1+ mx

+

R=

тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (1,1). Доведення, що на цьому інтервалі , опускаємо.

Ряд (45) називають біноміальним. Якщо дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить від числа m.

Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)^m в таких випадках:

при m, якщо ;

при -1<m < 0, якщо ;

при m, якщо.

Приймемо ці твердження без доведення.

5. Нехай f(x) =. Формулу (46) виводимо трьома способами: користуючись правилом розкладання функції в ряд; застосувавши формуу (45) і поклавши в ній m=-1 і –x замість х; розглядаючи ряд 1+х+х²+...хⁿ+... як геометричну прогресію, перший член якої дорівнює одиниці, а знаменний q=x. Відомо (п.1.1), що даний ряд збіжний при і сума його дорівнює (1-х)^-1.

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти – х замість х, потім – х² замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).

Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.

Приклади

1.Розкласти в ряд функцію f(x) = x² ln (1-x³).

Поклавши у форму (47) – х³ замість х, маємо

ln(1-x³)=-x³-

x² ln(1-x³) =-x⁵-