Міністерство освіти України

Київський національний економічний університет

Кафедра вищої математики

Доповідь

Тема:”Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач ”

Виконав: студент І-го курсу

Факультету ІСіТ

Солом’яний Максим Михайлович

Київ 2000

Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач

У економічних дослідженнях здавна застосовувалися найпростіші математичні методи. У господарському житті широко використовуються геометричні формули. Так, площа ділянки поля визначається шляхом перемножування довжини на ширину або об’єм силосної траншеї - перемножуванням довжини на середню ширину і глибину. Існує цілий ряд формул і таблиць, що полегшують господарським працівникам визначення тих або інших розмірів.[5 (52)].

Нема що говорити про застосування арифметики, алгебри в економічних дослідженнях, це вже питання про культуру дослідження, кожний економіст, що шанує себе, володіє такими навиками. Особняком тут коштують так називані методи оптимізації, частіше називані як економіко-математичні методи.

У 60-ті роки нашого сторіччя розгорнулася дискусія про математичні методи в економіці. Наприклад, академік Немчинов виділяв п'ять базових методів дослідження при плануванні:

1) балансовий метод;

2) метод математичного моделювання;

3) векторний-матричний метод;

4) метод економіко-математичних множників (оптимальних суспільних оцінок);

5) метод послідовного наближення.[9 (153)].

У той же час академік Канторович виділяв математичні методи в чотирьох групи:

- макроекономічні моделі, куди відносив балансовий метод і моделі попиту;

- моделі взаємодії економічних підрозділів (на основі теорії ігор);

- лінійне моделювання, включаючи ряд задач, що трохи відрізняються від класичного лінійного програмування;

І з тієї, і з іншій класифікацією можна сперечатися, оскільки, наприклад моделі попиту можна по ряді особливостей віднести до нелінійного програмування, а стохастичне моделювання іде коренями в теорію ігор. Але все це проблеми класифікації, що мають визначене методологічне значення, але в даному випадку не настільки важливі.

З точки ж зору ролі математичних методів варто говорити лише про широту застосування різних методів у реальних процесах планування.

З цього погляду безсумнівним лідером є метод лінійної оптимізації, що був розроблений академіком Канторовичем у 30-ті роки ХХ-го століття. Частіше усього задача лінійного програмування застосовується при моделюванні організації виробництва. От як по Канторовичу виглядає математична модель організації виробництва:

У виробництві беруть участь M різних виробничих чинників (інгредієнтів) - робоча сила, сировина, матеріали, устаткування, кінцеві і проміжні продукти й ін. Виробництво використовує S технологічних способів виробництва, причому для кожного з них задані об'єми вироблених інгредієнтів, розраховані на реалізацію цього способу з одиничною ефективністю, тобто заданий вектор ak = (a1k, a2k,... , amk ), k = 1,2... ,S, у котрому кожна з компонент aik вказує об'єм виробництва відповідного ( i-го ) інгредієнта, якщо вона позитивна; і об'єм його витрати, якщо вона негативна ( у способі k ).

Вибір плану означає вказівка інтенсивностей використання різних технологічних способів, тобто план визначається вектором x = (x1, x2,... , x ) з невід’ємними компонентами [4 (32)].

Звичайно на кількості що випускаються і що затрачаються інгредієнтів накладаються обмеження: зробити потрібно не менше, ніж потрібно, а затрачати не більше, ніж є. Такі обмеження записуються у виді

s

 a _ikxk > bi ; i=1,2,... ,m. (1)

k=1

Якщо i > 0, то нерівність означає, що є потреба в інгредієнті в розмірі i, якщо i < 0,то нерівність означає, що є ресурс даного інгредієнтів розмірі - i =: i:. Далі передбачається, що використання кожного способу, зв'язаного з витратою одного з перерахованих інгредієнтів або особо виділеного інгредієнта в кількості Ck при одиничній інтенсивності способу k. У якості цільовій функції приймається сумарна витрата цього інгредієнта в плані.

s

f(x) =  ckxk. (2)

k=1

Тепер загальна задача лінійного програмування може бути подана в математичній формі.

Для заданих чисел aik, ck, і bi найти

s

min  ckxk

k=1

при умовах

k > 0, k = 1,2,... ,s [1]

s

 aikxk > bi, i = 1,2,...,m [2]

k=1

План, що задовольняє умовам [1] і [2], є припустимим, а якщо в ньому , крім того, досягається мінімум цільової функції, то цей план оптимальний. [K33]

Задача лінійного програмування двоїста, тобто, якщо пряма задача має рішення, (вектор x =( x1, x2,... , xk)), те існує і має рішення зворотна задача заснована на транспонуванні матриці прямої задачі. Рішенням зворотної задачі є вектор y = ( y1, y2... ,ym) компоненти якого можна розглядати як об'єктивно обумовлені оцінки ресурсів, тобто оцінки, що показують цінність ресурсу і наскільки повно він використовується.

На основі об'єктивно обумовлених оцінок американським математиком Дж. Данцигом - був розроблений симплекс-метод рішення задач оптимального програмування. Цей метод дуже широко застосовується. Алгоритм його дуже детально пророблений, і навіть складені прикладні пакети програм, що застосовуються в багатьох галузях планування.

Метод лінійної оптимізації з того моменту, як він був розроблений Канторовичем, не залишався без змін, він розвивався і продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) у сучасній інтерпретації виглядає в такий спосіб.

 aij xj < bi (i  I) (3)

j A1

У чому ж відмінність?

По-перше обмеження записується не більше, або дорівнює , а менше, або дорівнює, що більше відповідає економічному змісту правої сторони обмеження (bi - кількість ресурсів). У Канторовича ж ресурс записується - bi = :bi: - тобто негативним числом, що для економічного складу розуму неприродно ( як може бути ресурсу менше нуля).

По-друге, підсумовування робиться не по всіх способах виробництва, а лише по визначеній їх підмножині (j ( A1), що також відповідає економічним реаліям, коли по технологічним, або іншим причинам не всі способи виробництва беруть участь у якому конкретному обмеженні.

Аналогічно і з ресурсами, в обмеженні беруть участь не всі ресурси відразу , а яка їхня підмножина (i ( I).

Введенням підмножин не обмежилося удосконалювання методу лінійної оптимізації. Потреби практики змусили розробити ще цілий ряд прийомів і методів для різних випадків опису реалій господарської практики у виді обмежень. Це такі прийоми, як запис обмежень по використанню виробничих ресурсів, запис обмежень по гарантованому об'ємі робіт або виробництва продукції, прийоми моделювання при невідомих значеннях показників і багато хто інші, на котрих тут не варто зупинятися.

Ціль усіх цих прийомів - дати більш розгорнуту модель якогось явища з господарської практика, зекономивши при цьому на кількості змінних і обмежень.

Незважаючи на широту застосування методу лінійного програмування, він враховує лише три особливості економічних задач - велика кількість перемінних, обмеженість ресурсів і необхідність цільової функції. Звичайно, багато задач з іншими особливостями можна звести до лінійної оптимізації, але це не дає нам права випустити з уваги інший добре розроблений метод математичного моделювання - динамічне програмування. По суті, задача динамічного програмування є описом багатокрокових процесів прийняття рішень. Задача динамічного програмування можна сформулювати в такий спосіб :

є деяка кількість ресурсу х, що можна використовувати N різними способами. Якщо позначити через хi кількість ресурсу, використовувана i-m способом, то кожному способові зіставляється функція корисності (хi), що виражає прибуток від цього способу. Передбачається, що всі прибутки вимірюються в однакових одиницях і загальному прибутку дорівнює сумі прибутків, отриманих від використання кожного способу.

Тепер можна поставити задачу в математичній формі. Знайти

max y1(x1)+ y2(x2)+ ... + yn(xn) (4)

(загальний прибуток від використання ресурсів усіма способами) при умовах:

- що виділяються кількості ресурсів невідємні;

[1] x1 > 0,... , x > 0

- загальна кількість ресурсів дорівнює x .

[2] x1 + x2 + ... + x = x

Для загальної задачі можуть бути побудовані рекурентні співвідношення

₁(x) = max {₁(x1)}, (5)

0 <=X1<= X

_k(x) = max {_k(xk)+ _k-1(x - xk)}. (6)

до = 2,3,... , N,

за допомогою яких знаходиться її рішення.

При виводі цих рекурентних співвідношень, по суті, використовувався наступний принцип, оптимальна стратегія володіє тим властивістю, що стосовно будь-якого початкового стану після деякого етапу вирішення сукупність наступних рішень повинна складати оптимальну стратегію. Цей принцип оптимальності лежить в основі всієї концепції динамічного програмування. Саме завдяки йому вдасться при наступних переходах випробувати не всі можливі варіанти, а лише оптимальні виходи. Рекурентні співвідношення дозволяють замінити надзвичайні-трудомісткі обчислення максимуму по N перемінним у вихідній задачі рішенням N задач, у кожній із який максимум знаходиться лише по однієї перемінної.

Таким чином, метод динамічного програмування дозволяє врахувати таку важливу особливість економічних задач, як детермінованість більш пізніх рішень від більш ранніх.

Крім цих двох, досить детально розроблених методів, в економічних дослідженнях останнім часом стали застосовуватися множина інших методів.

Одним із підходів до рішення економічних задач є підхід, заснований на застосуванні нової математичної дисципліни - теорії ігор.

Суть цієї теорії полягає в тому, що гравець (учасник економічних взаємовідносин) повинний вибрати оптимальну стратегію в залежності від того, якими він представляє дії супротивників (конкурентів, чинників зовнішнього середовища і т.д.). У залежності від того, наскільки гравець інформований про можливі дії супротивників, гри (а під грою тут розуміється сукупність правил, тоді самий процес гри це партія) бувають відкриті і закриті. При відкритій грі оптимальною стратегією буде вибір максимального мінімуму виграшу (у термінах Моргерштерна - "максимина") із усієї сукупності рішень, поданих у матричній формі. Відповідно супротивник буде прагне програти лише мінімальний максимум ("мінімаск") який у випадку ігор із нульовою сумою буде дорівнює "максимину". У економіці ж частіше зустрічаються ігри з ненульовою сумою, коли виграють обидва гравці.

Крім цього ,в реальному житті число гравців рідко буває дорівнює усього двом. При більшому ж числі гравців з'являються можливості для кооперативної гри, коли гравці до початку гри можуть утворювати коаліції і відповідно впливати на хід гри.

Стратегії гравців не обов'язково повинні містити одне рішення, може бути так, що для досягнення максимального виграшу буде потрібно застосовувати змішану стратегію (коли дві або декілька стратегій застосовуються з якійсь імовірністю). Крім того в закритих іграх теж потрібно враховувати імовірність того або іншого рішення супротивника. Таким чином, у теорії ігор стало необхідним застосування апарата теорії імовірності, що згодом знайшов своє застосування в економічних дослідженнях у виді окремого методу - стохатистичного моделювання.

Утримання методу стохатистичного програмування перебуває у введенні в матрицю задачі або в цільову функцію елементів теорії імовірності. У цьому випадку звичайно береться просто середнє значення випадкового розміру, узяте щодо всіх можливих станів .

У випадку не жорсткої, або двохпідрядної задачі стохатистичного моделювання з'являється можливість редактування отриманого плану після того, як стане відомим стан випадкового розміру.

Крім цих методів застосовуються методи нелінійного, цілочисленого програмування і багато хто інші. Коротенько, сутність методу нелінійного програмування полягає в перебуванні або седловиннії точці, або загального максимуму або мінімуму функції. Основна складність тут у трудності визначення, чи є цей максимум загальним або локальним. Для цілочисленого моделювання основна трудність саме і полягає в трудності добору цілого значення функції. Загальним для застосування цих методів на сучасному етапі є можливість часткового зведення їх до задачі лінійного моделювання. Можливо, у недалекому майбутньому буде знайдене яке оригінальне рішення таких задач специфічними методами, більш зручними, чим сучасні методи рішення подібних задач (для який вони є), і більш точні, ніж наближені рішення методами лінійного програмування.

Список використаної літератури

1. Беллман Р. Динамическое программирование. Пер. с англ. И.М. Андреевой [ и др.]. Под ред. Н.Н. Воробьева. М., Изд. Иностр. лит., 1960. 400 с.

2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. Пер. с англ. Н.М. Митрофановой [и др.] Под ред. А.А. Первозванского. М., "Наука", 1965. 458 с.

3. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.M. и др. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. - М.,Агропромиздат,1990. 432 c.

4. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.,"Наука",1972. 232 c.

5. Кравченко Р.Г., Попов И.В., Толпекин С.З. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М., "Колос", 1973. 528с.

6. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. Проблемы формализованного описания. - М., "Наука", 1982. 240 с.

7. Моисеев Н.Н. Математик задает вопросы.( Приглашение к диалогу). М.,"Знание",1975. 191 с.

8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Пер. с англ. Под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. М.,"Наука",1970. 707 с.

9. Немчинов В.С. Избранные произведения. Том 3.Экономика и математические методы. М.,"Наука",1967. 490 с.