Реферат з вищої математики

на тему:

Кореляційний і регресивний

методи аналізу зв’язку.

Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для виявлення математичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку.

Після того, як через економічний аналіз встановлено, що зв’язок між явищами є, і визначено загальний характер цього зв’язку, статистика за допомогою кореляційного і регресійного методів надає цим зв’язкам числового виразу.

Кореляційний і регресій ний методи аналізу вирішують два основні завдання :

• визначають за допомогою рівнянь регресії аналітичного форму зв’язку між

варіацією ознак X i Y,

• встановлюють ступінь щільності зв’язку між ознаками.

Найчастіше трапляються такі типи кореляційних зв’язків:

• факторна ознака безпосередньо пов’язана з результативною,

• результативна ознака визначається комплексом діючих факторів,

• дві результативні ознаки спричинені дією однієї загальної причини.

У практиці економіко-статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку яку описує рівняння регресії ( рис.1 ) .

На цьому графіку середній арифметичній результативної ознаки Y відповідає пряма, паралельна осі абсцис, лінійне кореляційне рівняння Y(X) зображує похила пряма, а кут нахилу між ними характеризує щільність зв’язку.

Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки.

У разі лінійної форми зв’яку результативна ознака змінються під впливом факторної ознаки рівномірно:

Ŷ_x = a₀ +a₁ X,

Де, Ŷ_x - згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака,

a₀ і a₁ - параметри рівняння , a₀ – значення Y при X = 0, a₁ – коефіцієнт регресії.

Коефіцієнт регресії a_1, вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю.

Якщо a₁ має позитивний знак,то зв’язок прямий, якщо від’ємний - зв’язок обернений.

Y X

Y(X)

Y

0

X

Рис. 1. Теоретична лінія регресії .

Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і роз’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:

 Y= na₀ +a₁  X ,

 YX= a₀  X + a₁  X ²,

де n - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів,

 X - сума значень факторної ознаки ,  X ² - сума кадратів значень факторної ознаки ,  Y - сума значень результативної ознаки,  YX - cума добутків значень факторної та результативної ознак.

Рзв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри:

 X ²  Y -  X  XY n  XY -  X Y

a₀ = , a₁ =

n X ^{2 -}  X  X ⁿ  X ^{2 -}  X  X

Обчисливши за фактичними даними всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.

Рз\озглянемо розрахунок параметрів лінійного рівняння зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції за даними десяти однорідних підприємств. (табл.1.)

Табл. 1

Розрахунки для визначення параметрів лінійного рівняння зв’язку факторної та результативної ознак.

Номер заводу	Вартість основних виробничих фондів X, млн. грн	Випуск продукції Y, млн. грн	X 2	XY	Y2	Yx = 0.167+0.421X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12 8 10 6 9 15 11 13 14 10	5,6 4,0 4,0 2,4 3,6 5,0 4,6 6,5 7,0 4,5	144 64 100 36 81 225 121 169 196 100	67,2 32,0 40,0 14,4 32,4 75,0 50,6 84,5 98,0 45,0	31,36 16,00 16,00 5,76 12,96 25,00 21,16 42,25 49,00 20,25	5,2 3,5 4,4 2,7 4,0 6,5 4,8 5,6 6,1 4,4
Разом	108	47,2	1236	539,1	239,74	47,2
У середньому на один завод	10,8	4,72	123,6	53,91	23,972	-

За способом найменших квадратів визначемо параметри :

1236 · 47.2 – 108 · 539.1 58339.2 – 58222.8 116.4

a₀ = = = = 0.167

10 · 1236 – 108 · 108 12360 – 11664 696.0

10 · 539.1 – 108 · 47.2 5391.0 – 5097.6 293.4

a₁ = = = = 0.421

696.0 696.0 696.0

Тоді лінійне рівняння регресії зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції матиме такий вигляд :

Ŷ_x = 0.167 + 0.421X.

Отже, при збільшенні вартості основних виробничих фондів на 1 млн грн. Випуск продукції зросте на 0,42 млн грн.

Послідовно підставляючи в дане рівняння значення факторної ознаки X , дістанемо згладжені значення результативної ознаки Ŷ_x, які й укажуть на те, яким має бути середній розмір випущеної продукції для даного розміру основних виробничих фондів ( за інших рівних умов ).

Згладжені ( теоретичні ) значення ( із заокругленням до десятих ) наведено в останній графі табл. 1. Якщо параметри рівняння визначено правильно,то

 Y =  Ŷ_х = 47,2.

Побудуємо графік, який покаже згладжування емпіричних даних рівняння прямої ( рис.1.).

Y

5 7 9 11 13 15 17

Рис. 2. Емпіричний і згладжені рівні ряду : 1 - Y, 2 - Ŷ_x =0.167+ 0.421 X, 3- Y = 4.72

Для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків між двома досліджуваними явищами часто використовують розраховані за рівняннями регресії коефіцієнти еластичності.

Коефіцієнт еластичності показує,на скільки процентів зміниться в середньому результативна ознака Y при зміненні факторної ознаки X на 1 %.

Відповідно до лінійної залежності коефіцієнт еластичності визначається за формулою

X X

 = a₁ або  = a₁ ,

Ŷ_x Y

де , коефіцієнт еластичності.

Підставивши в формулу різні значення X, дістанемо різні .

У наведеному прикладі коефіцієнт еластичності на першому підприємстві при X= 12:

X 12

₁ = a₁ = 0.421· = 0.97. Отже, 1% приросту вартості основних виробничих

Ŷ_X 5.2

9

фондів випуск продукції зростає на 0,97%.На п’ятому підприємстві при X=9: ₅ =0.421· = 0.95,

4

На десятому при X = 10: ₁₀ =0.96%.

Для всіх підприємств разом коефіцієнт еластичності

X 10.8

= a₁ = 0.421 · = 0.963 % .

Y 4.72

Це означає, що при збільшенні середньої вартості основних виробничих фондів на 1 % випуск продукції зростає в середньому на 0,963 %.

Якщо залежність між ознаками представити за даними,згладженими параболою другого порядку, то коефіцієнт еластичності має такий вигляд:

X

= (a₁ + a₂ X ) .

Y

Визначення щільності зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі ґрунтується на правилі додавання дисперсій,як і в методі аналітичного групування. Але на відміну від нього, де для оцінки лінії регресії застосовують групові середні результативної ознаки, в кореляційно-регресійному аналізі для цієї мети використовують теоретичні значення результативної ознаки.

Зобразити і обґрунтувати кореляційно-регресійний аналіз можна на прикладі графіка на рис.1. На ньому є три лінії Y – ламана лінія фактичних даних(1),Ŷ_X - пряма похила лінія 2 теоретичних значень Y при абстрагуванні від впливу всіх факторів, крім фактора X(змінна середня) ,Y – пряма горизонтальна лінія 3, із середнього значення якої виключено вплив на Y всіх без винятку факторів ( стала середня ).

Розбіг лінії змінної середньої Ŷ_х з лінією сталої середньої Y пояснюється впливом факторної ознаки Х, що,в свою чергу , свідчить про існування між ознаками Y і X наповного не функціонального зв’язку.Для визначення щільності цього зв’язку потрібно обчислити дисперсію відхилень Y і Ŷ_х , тобто залишкову дисперсію,яка зумовлена впливом усіх факторів, крім Х. Різниця між загальною і залишковою дисперсіями дає теоретичну

( факторну ) дисперсію , яка вимірює варіацію,зумовлену фактором Х . На зіставленні цієї різниці із загальною дисперсією побудовано індекс кореляції, або теоретичне кореляційне відношення:

² _заг - ² _е ² _е ² _у

R =  =  1 - , або R = 

² _заг  _заг ² _заг

де ² _заг - загальна дисперсія, ² _е - залишкова дисперсія, ² _у - факторна ( теоретична ) дисперсія.

Факторну дисперсію обчислюють з теоретичних значень за формулою :

 ( Ŷ_x - Y ) ²

²_Ŷ =

n

або за формулою без теоретичних значень:

( a ₀  Y + a ₁  XY ) – (Y) ²

²_Ŷ = .

n

 ( Y – Ŷ _x )

Залишку дисперсію визначають або за формулою ² _е =

n

або за правилом додавання дисперсій ² _е = ² _заг - ² _Ŷ .

У наведеному прикладі ( за даними розрахунків у табл..1 ) факторна дисперсія

( 0.167 · 47.2 + 0.421 · 539.1 ) - 4.72 ²

² _Ŷ = = 1.206.

10

Загальну дисперсію обчислимо за формулою

² _{заг =} Y² - ( Y )² = 23.974 – 22.278 = 1.696.

Залишкову дисперсію визначаємо як різницю між загальною і факторною дисперсіями :

² _е = ² _{заг -} ²_Ŷ = 1.696 –1.206 = 0.409

Отже, знаходимо індекс кореляції за наведеними вище формулами :

² _заг - ² _е 1.696 - 0.490

R =  =  = 0.843.

² _заг 1.696

або ² _е 0.490

R =  1 - =  1 - = 0.843

² _заг 1.696

² _Ŷ 1.206

або R =  =  =  0.711 = 0.843

² _заг 1.696

Індекс кореляції вказує на щільну залежність випуску продукції від вартості основних виробничих фондів.

Коефіцієнт детермінації ( R ² ) характеризує ту частину варіації результативної ознаки Y, яка відповідає лінійному рівнянню регресії :

²_Ŷ 1.206

R² = = = 0.711

² _заг 1.696

Отже, в обстеженій сукупності заводів 71.1% варіації випуску продукції пояснюється різними рівнями оснащеності заводів основними виробничими фондами.

Індекс кореляції набирає значень від 0 до 1. Коли R=0, то зв’язку між варіацією ознак Y i X немає.Залишкова дисперсія дорівнює загальній, ² _е = ² _заг , а теоретична дисперсія дорівнює нулю, ² _заг= 0, Всі теоретичні значення Y_X збігаються із середніми значеннями Y, лінія Ŷ_X на графіку збігається з лінією Y, тобто набуває горизонтального положення .

При R=1 теоретична дисперсія дорівнює загальний, ² _Ŷ = ² _заг , а залишкова ² _е = 0.

Фактичні значення Y збігаеться з теоретичними Ŷ_{X ,} зв’язок між досліджуваними ознаками лінійно-функціональний.

Індекс кореляції оцінює щільність зв’язку.Він, як і емпіричне кореляційне відношення,вимірує лише щільність зв’язку і не вказує на її напрямок.

Аби доповнити дослідження визначенням напрямку зв’язку в разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції.

XY – X Y

r = .

 _x  _у

_{Значення r коливається в межах від – 1 до +1. Додатне значення відповідає прямову зв’язку між ознаками, а від’ємне – зворотному. Оцінюють щільність зв’язку за схемою ( табл. 1 )}

_{Таблиця 2}

Зв’язок	Лінійний коефіцієнт кореляції
	Прямий зв’язок	Зворотний зв’язок
Слабкий Середній Щільний	0.1....0.30 0.3....0.70 0.7....0.99	0.1... - 0.30 0.3....- 0.70 0.7....- 0.99

Всі дані для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції в наведеному прикладі є в табл.1.

 _{x= } Х² - (Х)² =  123.6 – 10.8² = 6.96 = 2.638

 _{y= } Y² - (Y)² =  23.974 – 4.72² = 1.302

XY – X Y 53.91 – 10.8 · 4.72 2.9340

r = = = = 0.854

 _x  _{у 2.638} · _{1.302 3.4349}

Скористкємося для знаходження лінійного коефіцієнта кореляції іншою формулою:

 _x 2.638

r = а₁ = 0.421 · = 0.853,

 _у 1.302

тобто відповідь вийшла ідентичною.Це означає,що зв’язок між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції сильний ( щільний ) і прямий.

Абсолютне значення лінійного коефіцієнта кореляції збугається з індексом кореляції ( відхилення становить 0.01 ).

Знаведених формул коефіцієнта кореляції можна визначити коефіцієнт регресії, не розраховуючи рівняння зв’язку:

XY – X Y 2.934

a₁ = = = 0.421

²_x 6.960

або  _y 1.302

а₁ = r = 0.853 · = 0.421.

_x 2.638

Перевірку сили зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв і процедур,що й у аналітичному групуванні.Ступені вільності залежать від числа параметрів рівняння регресії k₁ = m –1 і кількості одиниць дослуджіваної сукупності

k₂ = n – m.

Істотність зв’язку коефіцієнта детермінації R² перевіряють за допомогою таблиці критерію F для 5 % - го рівня значущості. Так, при k₁ = m –1= 2 – 1 = 1 ( для лінійної моделі) і k₂ = n – m = 10 – 2 = 8.

Фактичне значення F-критерію у наведеному вище прикладі визначають за формулою

R² k₂ 0.711 8

F _ф = = · = 19.68.

1 - R² k₁ 1 – 0.711 1

Критичне значення F_т ( 0.95 ) = 5.32 набагато менше від фактичного F_т ( 0.95 )  F_ф ( 5.32 19.68) , що підтверджує істотність кореляційного зв’язку між досліджуваними ознаками.

Для встановлення достовірності обчисленого нами лінійного коефіцієнта кореляції використовують критерій Стьюдента ( t – критерій ):

r

t_r = ,

_r

де _r - середня похибка коефіцієнта кореляції,яку визначають за формулою :

1 – r²

_r =

• n – 1

При достатньо великому числі спостережень ( n > 50) коефіцієнт кореляції можна вважати достовірним, якщо він перевищує свою похибку в три і більше разів, а якщо він менший ніж три, то зв’язок між досліджуваними ознаками X i Y не доведено.

У наведеному прикладі середня похибка коефіцієнта кореляції

1 – r² 1 – 0.853 ² 1 – 0.723 0.277

_r = = = = = 0.092

• n – 1  9 3 3

Відношення коефіцієнта кореляції до його середньої похибки

0.853

t_r = = 9.27

0.092

Це дає підставу вважати, що обчислений лінійний коефіцієнт кореляції достатньо точно характеризує щільність зв’язку між досліджуваними ознаками.