Реферат

Реферат Інтегрування з допомогою заміни змінної Інтегрування частинами

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024
















Пошукова робота на тему:

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.

План

  • Інтегрування частинами

  • Інтегрування часток

  • Заміна змінної

1. Інтегрування частинами

 Нехай  і  – диференційовані функції  на  

Тоді   або

Звідси

                                                (8.16)     

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :

де  –поліном ,  – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за, а що – за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40 і 50 , одержимо інтеграли вигляду  , де  - одна з функцій в яких слід за  брати  , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де - одна з функцій  вигідно за  брати  . В інших випадках вибір  здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти  за  , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати .

Інтегруючи вирази , доцільно за  взяти . Знаходження  із співвідношень  теж здійснюється інтегрування частинами .

Для прикладу знайдемо

 Приймаючи, а , знайдемо

 Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл   .

Знову, взявши , знайдемо . Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно  та :

Звідси     

                   

Приклад 1 .

Позначивши ,

одержимо  . Звідси

       .                       (8.17)

Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де  – ціле число,

більше за одиницю . Наприклад, при 

Звідси  .

Приклад 2.     .

 Нехай Тоді

  і

У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був .

Знайдемо тепер . Маємо .

Звідси

Отже , на основі формули (8.16) одержимо

Враховуючи значення   , знаходимо

.

Приклад 3.

 

Із останньої рівності одержимо

  .

Обчислимо тепер

Звідси .

Остаточно з урахуванням , матимемо

Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою  , про що мова буде іти пізніше.

2. Інтегрування часток

Через те , що  то

                     .                            (8.18)

Користуючись цим , стають очевидними такі формули :

.

Нехай маємо  , причому  , де  – довільне дійсне число. Тоді

.

Розглянемо інтеграл вигляду  якщо , то

        ,                          (8.19)

де .

Приклади .

1..                           

2..

3..

Через те що , то

.

3. Заміна змінної

           Нехай потрібно обчислити інтеграл  причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.

            Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі

де  неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді  і в цьому випадку має місце формула

                                                (8.20)

            Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість  буде підставлено його вираз через

 Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за  від обох частин рівності рівні між собою:

Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.

            Отже, похідні за  від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.

            Функцію  потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20).

Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися .

Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду

застосувати відповідно такі заміни змінних:  або

або  .

За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних .

Приклади .

1.. Підстановка  зводить інтеграл  до такого :

2.. Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної  .Тоді  і інтеграл набере вигляду

 


1. Реферат на тему Захист інформації в телефонних лініях
2. Курсовая Сущность государства общечеловеческие и классовые начала
3. Реферат на тему Global Warming Essay Research Paper After a
4. Реферат на тему America Essay Research Paper Opposing views on
5. Курсовая на тему Аудиторская деятельность 2
6. Диплом на тему Соціальний захист дітей з обмеженими функціональними можливостями
7. Реферат на тему Lewis And Clark Across Idaho Essay Research
8. Курсовая на тему Методика виявлення фармацевтичних препаратів що містять кальцій
9. Реферат на тему Prejudice Essay Research Paper By engaging in
10. Курсовая Учет расчетов с разными дебиторами и кредиторами на примере ЧПУП Скидельагропродукт Гр