Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз

У багатьох випадках на результативну ознаку впливає не один, а кілька факторів Між факторами існують складні взаємозв'язки, тому їхній вплив на результативну ознаку с комплексним, а не просто сумою ізольованих впливів

Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз дає змогу оці­нити міру впливу на досліджуваний результативний показник кожного із введених у модель факторів при фіксованому положенні на середньому рівні інших факторів Важливою умовою с відсутність функціональ­ного зв'язку між факторами

Математично завдання зводиться до знаходження аналітичного виразу, котрий якнайкраще відображував би зв'язок факторних ознак з результативною, тобто знайти функцію

=f(X₁,X₂,X₃,... ,Х_п).

Найскладнішою проблемою є вибір форми зв'язку, аналітичного виразу зв'язку, На підставі чого за наявними факторами визначають результативну ознаку-функцію Ця функція мас краще за інші відо­бражати реальні зв'язки між досліджуваним показником і факторами. Емпіричне обгрунтування типу функції за допомогою графічного аналізу зв'язків для багатофакторних моделей майже непридатне. Форму зв'язку можна визначати добиранням функцій різних типів, але це пов'язане з великою кількістю зайвих розрахунків. Зважаючи на те, що будь-яку функцію багатьох змінних шляхом логарифмування або заміни змінних можна звести до лінійного вигляду, рівняння множинної регресії можна виразити у лінійній формі:

= a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + …+a_nX_n.

Параметри рівняння обчислюють способом найменших квадратів Так, для розрахунку параметрів рівняння лінійної двофакторноі регресії

= a₀ + a₁X₁ + a₂X₂,

де — розрахункові значення результативної ознаки-функції; Х₁ і Х₂ — факторні ознаки; a₀, a_l i a₂ — параметри рівняння, які можна обчислити способом найменших квадратів, розв'язавши систему нор­мальних рівнянь:

Кожний коефіцієнт рівняння вказує на ступінь впливу відпо­відного фактора на результативний показник при фіксованому поло­женні решти факторів, тобто як зі зміною окремого фактора на одиницю змінюється результативний показник Вільний член рівнян­ня множинної регресії економічного змісту не має.

Звернемося до прикладу Стаж роботи, тарифний розряд і денна заробітна плата десяти робітників підприємства характеризуються певними даними (табл.1) Треба встановити залежність заробітної плати Y від двох факторів, стажу роботи робітників X, і тарифного розряду Х₂. Заповнимо розрахункову таблицю.

Таблиця 1. Розрахункові дані до визначення рівняння зв'язку

Hoмep робіт-ника n	Стаж роботи X1	Тариф­ний розряд X2	Денна заро-бітна плата Y, грн.	YХ1	YХ2	X12	X22	Y2	X1X2	Yx
1	1	2	3	3	6	1	4	9	2	2,3
2	3	3	6	18	18	П	9	36	9	5,0
3	6	3	5	30	15	36	9	25	18	7,4
4	5	2	7	35	14	25	4	49	10	5,7
5	8	5	10	80	50	64	25	100	40	10,8
6	10	4	9	90	36	100	16	8	40	11,6
7	9	6	13	117	78	81	36	169	54	12,5
8	15	5	18	270	90	225	25	324	75	16,6
9	12	5	15	180	75	144	25	225	60	14,1
10	18	6	20	360	120	324	36	400	108	20,0
Разом	87	41	106	1183	502	1009	189	1418	416	106,0
У серед-ньому	8,7	4,1	10,6	118,3	50,2	100,9	18,9	141,8	41,6	10,6

Підставимо знайдені дані в систему нормальних рівнянь:

106= 10а₀ + 87а₁ + 41 а₂,

1183 = 87а₀ + 1009а₁ + 416а₂;

502 = 41а₀ + 416а₁ + 189а₂.

Для розв'язання системи нормальних рівнянь поділимо всі члени рівнянь на коефіцієнти при а₀:

10,6 = а₀ + 8,73, + 4,1а₁;

13,6 = а₀ + 11,6а₁ + 4,78а₂;

12,244 = а₀ + 10,146а₁ + 4,61а₂.

Віднімемо від другого рівняння перше, а від третього рівняння -друге:

3 = 2,9а₁ + 0,68а₂;

-1,356 = -1,454а₁-0,17а₂.

Розділимо кожний член обох рівнянь на коефіцієнт при а₁ і віднімемо від першого рівняння друге:

1,034 = а₁ + 0,234а₂

-

0,932 = а₁ +0,117а₂

0,102 = 0,117а₂,

звідки

a₂ = = 0,872.

Підставивши параметр а₂ у рівняння, дістанемо

а₁ = 1,034-0,234 * 0,872 = 0,83;

а₀ = 10,6-8,7 * 0,83-4,1 * 0,872 = - 0,196.

Рівняння зв'язку, яке визначає залежність результативної ознаки від двох факторних, .має такий вигляд:

= -0,196 + 0,83х₁+0,872х₂.

Отже, зі збільшенням стажу роботи робітника на 1 рік денна заробітна плата підвищується на 0,83 грн., а при підвищенні тарифного розряду на одиницю денна заробітна плата зростає на 0,872 грн.

Підставивши в рівняння значення X₁ і Х₂, дістанемо відповідні зна­чення змінної середньої (остання графа табл. 1), які досить близько відтворюють фактичні рівні заробітної плати Це свідчить про правильний добір форми математичного вираження кореляційного зв'язку між трьо­ма досліджуваними ознаками

Однак на підставі коефіцієнтів регресії не можна судити, яка з факторних ознак найбільше впливає на результативну, оскільки коефіцієнти регресії між собою непорівняльні, адже їх виражено різними одиницями 3 метою виявлення порівняльної сили впливу окремих факторів та їхніх резервів, статистика обчислює часткові коефіцієнти еластичності , а також бета-коефіцієнти , за форму­лами:

де а_і — коефіцієнт регресії при і-му факторі; — середнє значення і-го фактора; — середнє значення результативної ознаки; — середнє квадратичне відхилення і-го фактора; — середнє квадра­тичне відхилення результативної ознаки.

Часткові коефіцієнти еластичності є показують, на скільки про­центів у середньому зміниться результативна ознака при зміненні на 1 % кожного фактора та фіксованому положенні інших факторів.

Для визначення факторів, які мають найбільші резерви поліпшен­ня досліджуваної ознаки, з урахуванням ступеня варіації факторів, закладених у рівняння множинної регресії, обчислюють часткові -коефіцієнти, які показують, на яку частину середнього квадратич­ного відхилення змінюється результативна ознака при змінені від­повідної факторної ознаки на значення її середнього квадратичного відхилення.

На підставі даних наведеного прикладу (табл. 1) обчислимо коефіцієнти еластичності і - коефіцієнти:

Аналіз часткових коефіцієнтів еластичності показує, що за абсо­лютним приростом найбільший вплив на заробітну плату робітників має стаж роботи — фактор Х₁, зі збільшенням якого на 1 % заробіток під­вищується на 0,68 %, а при збільшенні тарифного розряду на 1 % заробітна плата підвищується на 0,34 %

Для розрахунку - коефіцієнтів потрібно обчислити відповідні середи квадратичні відхилення:

тоді

Аналіз - коефіцієнтів показує, що на заробітну плату робітників найбільший вплив із двох досліджуваних факторів з урахуванням їхньої варіації мас фактор X₁ — стаж роботи, бо йому відповідає найбільше значення - коефіцієнта

Для характеристики щільності зв'язку в множинній лінійній ко­реляції використовують множинний коефіцієнт кореляції

де — парні коефіцієнти лінійної кореляції:

Множинний коефіцієнт кореляції показує, яку частину загальної кореляції складають коливання, під впливом факторів Х₁, Х₂, ..., Х_п, закладених у багатофакторну модель для дослідження.

Множинний коефіцієнт кореляції коливається в межах від 0 до ± 1 При R = 0 зв'язку між досліджуваними ознаками немає, при R = 1 — зв'язок функціональний.

Перш ніж розраховувати множинний коефіцієнт кореляції, потрібно обчислити парні коефіцієнти кореляції:

Високі значення парних коефіцієнтів кореляції свідчать про сильний вплив (окремо) стажу роботи і тарифного розряду на заробітну плату робітників.

На основі парних коефіцієнтів кореляції можна обчислити часткові коефіцієнти кореляції першого порядку:

Як бачимо з розрахунків часткових коефіцієнтів кореляції, зв'язок кожного фактора з досліджуваним показником за умови комплексної взаємодії факторів дещо слабший, але достатньо щільний.

Для виявлення щільності зв'язку між результативною ознакою і обома факторними ознаками водночас обчислюємо сукупний коефіцієнт множинної кореляції

Обчислений коефіцієнт множинної кореляції R = 0,998 показує, що між двома факторними і результативною ознаками існує достатньо щільний зв'язок.

Сукупний коефіцієнт множинної детермінації R² = 0,995 свідчить про те, що варіація заробітної плати робітників на 99,5 % зумовлюється двома факторами (стажем роботи і тарифним розрядом), уведеними в кореляційну модель. Це означає, що вибрані фактори суттєво впливають на досліджуваний показник.

Аби поглибити економічний аналіз, збільшують кількість суттєвих факторів, які вводять у модель досліджуваного показника і будують багатофакторні рівняння регресії, використовуючи сучасні методи і засоби обчислювальної техніки.